高考數學理一輪資源庫第四章 第8講 正弦定理和余弦定理的應用舉例

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1、 精品資料 第8講 正弦定理和余弦定理的應用舉例 一、填空題 1.已知A、B兩地的距離為10 km,B、C兩地的距離為20 km,現測得∠ABC=120,則A,C兩地的距離為________. 解析 如圖所示,由余弦定理可得: AC2=100+400-21020cos 120=700, ∴AC=10(km). 答案 10 km 2.如圖,某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120的扇形AOB,C是該小區(qū)的一個出入口,且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘,從D沿著DC走到C用了3分鐘.若此人步行的

2、速度為每分鐘50米,則該扇形的半徑為________米. 解析 由題圖知,連接OC,在三角形OCD中,OD=100,CD=150,∠CDO=60,由余弦定理可得OC2=1002+1502-2100150=17 500,∴OC=50. 答案 50 3.某人向正東方向走x km后,他向右轉150,然后朝新方向走3 km,結果他離出發(fā)點恰好 km,那么x的值為________. 解析 如圖,在△ABC中,AB=x,BC=3,AC=,∠ABC=30,由余弦定理得()2=32+x2-23xcos 30,即x2-3x+6=0,解得x1=,x2=2,經檢測均合題意. 答案 或2 4. 如圖所

3、示,為了測量河對岸A,B兩點間的距離,在這一岸定一基線CD,現已測出CD=a和∠ACD=60,∠BCD=30,∠BDC=105,∠ADC=60,則AB的長為________. 解析 在△ACD中,已知CD=a,∠ACD=60,∠ADC=60, 所以AC=a.① 在△BCD中,由正弦定理可得BC==a.② 在△ABC中,已經求得AC和BC,又因為∠ACB=30, 所以利用余弦定理可以求得A,B兩點之間的距離為 AB==a. 答案 a 5.一艘海輪從A處出發(fā),以每小時40海里的速度沿東偏南50方向直線航行,30分鐘后到達B處,在C處有一座燈塔,海輪在A處觀察燈塔,其方向是東偏南20

4、,在B處觀察燈塔,其方向是北偏東65,那么B、C兩點間的距離是________. 解析 如圖所示,由已知條件可得,∠CAB=30,∠ABC=105, 即AB=40=20(海里). ∴∠BCA=45. ∴由正弦定理可得:=. ∴BC==10(海里). 答案 10(海里) 6.已知A、B兩地的距離為10 km,B、C兩地的距離為20 km,現測得∠ABC=120,則A、C兩地的距離為________km. 答案 10 7.如圖,設A、B兩點在河的兩岸,一測量者在A所在的同側河岸邊選定一點C,測出AC的距離為50 m,∠ACB=45,∠CAB=105后,就可以計算A、B兩點的距

5、離為________m. 答案 50 8.如圖,飛機的航線和山頂在同一個鉛垂面內,若飛機的高度為海拔18 km,速度為1 000 km/h,飛行員先看到山頂的俯角為30,經過1 min后又看到山頂的俯角為75,則山頂的海拔高度為(精確到0.1 km)________. 解析 AB=1 0001 000= (m), ∴BC=sin 30= (m). ∴航線離山頂h=sin 75≈11.4 (km). ∴山高為18-11.4=6.6 (km). 答案 6.6 km 9.已知等腰三角形腰上的中線長為,則該三角形的面積的最大值是________. 解析 如圖,設AB=AC=2x,

6、 則在△ABD中,由余弦定理,得3=x2+4x2-4x2cos A, 所以cos A=.所以sin A==,所以S△ABC=(2x)2sin A=.故當x2=時, (S△ABC)max= ==2. 答案 2 10.已知△ABC中,B=45,AC=4,則△ABC面積的最大值為________. 解析 法一 如圖,設△ABC的外接圓為圓O,其直徑2R===4.取AC的中點M,則OM=Rcos 45=2,則AC=4.過點B作BH⊥AC于H,要使△ABC的面積最大,當且僅當BH最大.而BH≤BO+OM,所以BH≤R+R=2+2,所以(S△ABC)max=ACBHmax=4(2+2)=4+4,

7、當且僅當BA=BC時取等號. 法二 如圖,同上易知,△ABC的外接圓的直徑2R=4.S△ABC=ABBCsin B=2R2sin Asin Bsin C=8sin Asin C=4.當A=C=67.5時,(S△ABC)max=4+4. 答案 4+4 二、解答題 11.如圖,在半徑為、圓心角為60的扇形的弧上任取一點P,作扇形的內接矩形PNMQ,使點Q在OA上,點N、M在OB上,設矩形PNMQ的面積為y, (1)按下列要求寫出函數的關系式: ①設PN=x,將y表示成x的函數關系式; ②設∠POB=θ,將y表示成θ的函數關系式; (2)請你選用(1)中的一個函數關系式,求出y的最大

8、值. 解 (1)①∵ON==,OM=x, ∴MN=-x, ∴y=x,x∈. ②∵PN=sin θ,ON=cos θ,OM=sin θ=sin θ, ∴MN=ON-OM=cos θ-sin θ, ∴y=sin θ(cos θ-sin θ), 即y=3sin θcos θ-sin2θ,θ∈. (2)選擇y=3sin θcos θ-sin2θ=sin-, ∵θ∈,∴2θ+∈,∴ymax=. 12.如圖,甲船以每小時30海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向勻速直線航行.當甲船位于A1處時,乙船位于甲船的北偏西105方向的B1處,此時兩船相距20海里,當甲船航行20分鐘到達A2處時

9、,乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2處,此時兩船相距10海里.問:乙船每小時航行多少海里? 解:如圖所示,連接A1B2, 由已知A2B2=10, A1A2=30=10,[來源: ] ∴A1A2=A2B2. 又∠A1A2B2=180-120=60, ∴△A1A2B2是等邊三角形, ∴A1B2=A1A2=10. 由已知,A1B1=20,∠B1A1B2=105-60=45, 在△A1B2B1中,由余弦定理得 B1B=A1B+A1B-2A1B1A1B2cos 45=202+(10)2-22010=200, ∴B1B2=10. 因此,乙船的速度為60=30(海里/小時).

10、13. 如圖,當甲船位于A處時獲悉,在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險等待營救.甲船立即前往救援,同時把消息告知在甲船的南偏西30相距10海里C處的乙船,接到信號后乙船朝北偏東θ方向沿直線前往B處救援,問θ的正弦值為多少? 解 如題圖,在△ABC中,AB=20海里,AC=10海里,∠BAC=120, 由余弦定理知BC2=AB2+AC2-2ABACcos 120=202+102-22010=700.∴BC=10海里. 由正弦定理=, ∴sin∠ACB=sin∠BAC=sin 120=. ∴sin θ=sin(30+∠ACB)=sin 30cos∠ACB+cos 30sin∠A

11、CB=. ∴乙船應沿北偏東sin θ=的方向沿直線前往B處救援. 14.某單位設計一個展覽沙盤,現欲在沙盤平面內,布設一個對角線在l上的四邊形電氣線路,如圖所示,為充分利用現有材料,邊BC,CD用一根5米長的材料彎折而成,邊BA、AD用一根9米長的材料彎折而成,要求∠A和∠C互補,且AB=BC. (1)設AB=x米,cos A=f(x),求f(x)的解析式,并指出x的取值范圍; (2)求四邊形ABCD面積的最大值. 解 (1)在△ABD中,由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2ABADcos A. 同理,在△CBD中,BD2=CB2+CD2-2CBCDcos C. 因為∠A和∠C

12、互補,所以AB2+AD2-2ABADcos A=CB2+CD2-2CBCDcos C=CB2+CD2+2CBCDcos A. 即x2+(9-x)2-2x(9-x)cos A=x2+(5-x)2+2x(5-x)cos A.解得cos A=,即f(x)=,其中x∈(2,5). (2)四邊形ABCD的面積S=(ABAD+CBCD)sin A=[x(9-x)+x(5-x)]=x(7-x) ==. 記g(x)=(x2-4)(x2-14x+49),x∈(2,5). 由g′(x)=2x(x2-14x+49)+(x2-4)(2x-14) =2(x-7)(2x2-7x-4)=0,解得x=4. 函數g(x)在區(qū)間(2,4)內單調遞增,在區(qū)間(4,5)內單調遞減.因此g(x)的最大值為g(4)=129=108. 所以S的最大值為=6. 答:所求四邊形ABCD面積的最大值為6 m2.

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