高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫第二章 第6講　對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

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1、 精品資料 第6講　對數(shù)與對數(shù)函數(shù) 一、填空題 1．已知函數(shù)f(x)＝則f＝________. 解析　因為f＝log2＝－2，所以f＝ f(－2)＝3－2＝. 答案　 2．函數(shù)y＝ln(1－x)的圖象大致為________． 解析　由1－x>0，知x<1，排除①、②；設(shè)t＝1－x(x<1)，因為t＝1－x為減函數(shù)，而y＝ln t為增函數(shù)，所以y＝ln(1－x)為減函數(shù)，故選③. 答案　③ 3．若實數(shù)x滿足log3 x＝1＋sin θ，則|x－1|＋|x－9|的值為________． 解析　log3

2、 x＝1＋sin θ∈[0,2]，x＝31＋sin θ∈[1,9]，|x－1|＋|x－9|＝x－1＋9－x＝8. 答案　8 4．已知函數(shù) f(x)＝若f(3－2a2)＞f(a)，則實數(shù)a的取值范圍為________． 解析　畫圖象可得f(x)是(－∞，＋∞)上連續(xù)的單調(diào)減函數(shù)，于是由f(3－2a2)＞f(a)，得3－2a2＜a，即2a2＋a－3＞0，解得a＜－或a＞1. 答案　∪(1，＋∞) 5．已知函數(shù)f(x)＝lg x．若f(ab)＝1，則f(a2)＋f(b2)＝________. 解析 ∵f(x)＝lg x，f(ab)＝1，∴l(xiāng)g(ab)＝1，∴f(a2)＋f(b2)＝l

3、g a2＋lg b2＝2lg a＋2 lg b＝2lg(ab)＝2.[來源:數(shù)理化網(wǎng)] 答案 2 6．已知2a＝5b＝，則＋＝________. 解析 ∵2a＝5b＝，∴a＝log2，b＝log5，利用換底公式可得：＋＝log2＋log5＝log10＝2. 答案 2[來源:] 7．設(shè)a>0且a≠1，函數(shù)f(x)＝alg(x2－2x＋3)有最大值，則不等式loga(x2 －5x＋7)>0的解集為________． 解析 ∵函數(shù)y＝lg(x2－2x＋3)有最小值，f(x)＝alg(x2－2x＋3)有最大值，∴0<a<1. ∴由loga(x2－5x＋7

4、)>0，得0<x2－5x＋7<1，解得2<x<3. ∴不等式loga(x2－5x＋7)>0的解集為(2,3)． 答案 (2,3) 8．定義在R上的奇函數(shù)f(x)，當(dāng)x∈(0，＋∞)時，f(x)＝log2x，則不等式 f(x)<－1的解集是________． 解析 由已知條件可知，當(dāng)x∈(－∞，0)時， f(x)＝－log2(－x)． 當(dāng)x∈(0，＋∞)時，f(x)<－1， 即為log2x<－1，解得0<x<； 當(dāng)x∈(－∞，0)時，f(x)<－1， 即為－log2(－x)<－1，解得x<

5、－2. 所以f(x)<－1的解集為(－∞，－2)∪. 答案 (－∞，－2)∪ 9．函數(shù)f(x)＝log(x2－2x－3)的單調(diào)遞增區(qū)間是________． 解析　設(shè)t＝x2－2x－3，則y＝logt. 由t＞0解得x＜－1或x＞3， 故函數(shù)的定義域為(－∞，－1)∪(3，＋∞)． ∴t＝x2－2x－3＝(x－1)2－4在(－∞，－1)上為減函數(shù)， 在(3，＋∞)上為增函數(shù)．而函數(shù)y＝logt為關(guān)于t的減函數(shù)，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，－1)． 答案　(－∞，－1) 10．已知表中的對數(shù)值有且只有一個是錯誤的. x 3 5 6 8 9 lg

6、x 2a－b a＋c－1 1＋a－b－c 3(1－a－c) 2(2a－b) 試將錯誤的對數(shù)值加以改正為________． 解析　由2a－b＝lg 3，得lg 9＝2lg 3＝2(2a－b)，從而lg 3和lg 9正確，假設(shè)lg 5＝a＋c－1錯誤，由 得所以lg 5＝1－lg 2＝a＋c. 因此lg 5＝a＋c－1錯誤，正確結(jié)論是lg 5＝a＋c. 答案　lg 5＝a＋c 二、解答題 11．已知函數(shù)f(x)＝loga(3－ax)(a＞0，且a≠1)． (1)當(dāng)x∈[0,2]時，函數(shù)f(x)恒有意義，求實數(shù)a的取值范圍； (2)是否存在這樣的實數(shù)a，使得函數(shù)f(x

7、)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù)，并且最大值為1，如果存在，試求出a的值；如果不存在，請說明理由． 解　(1)由題設(shè)知3－ax>0對一切x∈[0,2]恒成立，又a>0且a≠1，故g(x)＝3－ax在[0,2]上為減函數(shù)， 從而g(2)＝3－2a>0，所以a<， 所以a的取值范圍為(0,1)∪. (2)假設(shè)存在這樣的實數(shù)a，由題設(shè)知f(1)＝1， 即loga(3－a)＝1，得a＝，此時f(x)＝log， 當(dāng)x＝2時，f(x)沒有意義，故這樣的實數(shù)a不存在． 12．已知函數(shù)f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x. (1)當(dāng)x∈[1,4]時，求函數(shù)h(x

8、)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域； (2)如果對任意的x∈[1,4]，不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立，求實數(shù)k的取值范圍． 解 (1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2， 因為x∈[1,4]，所以log2x∈[0,2]， 故函數(shù)h(x)的值域為[0,2]． (2)由f(x2)·f()>k·g(x)得 (3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x， 令t＝log2x，因為x∈[1,4]，所以t＝log2x∈[0,2]， 所以(

9、3－4t)(3－t)>k·t對一切t∈[0,2]恒成立， ①當(dāng)t＝0時，k∈R； ②當(dāng)t∈(0,2]時，k<恒成立，即k<4t＋－15， 因為4t＋≥12，當(dāng)且僅當(dāng)4t＝，即t＝時取等號， 所以4t＋－15的最小值為－3， 綜上，k∈(－∞，－3)． 13．已知函數(shù)f(x)＝loga(x＋1)(a>1)，若函數(shù)y＝g(x)圖象上任意一點P 關(guān)于原點對稱的點Q的軌跡恰好是函數(shù)f(x)的圖象．[來源:] (1)寫出函數(shù)g(x)的解析式； (2)當(dāng)x∈[0,1)時總有f(x)＋g(x)≥m成立，求m的取值范圍． 解 (1)設(shè)P(x，y)為g(x

10、)圖象上任意一點， 則Q(－x，－y)是點P關(guān)于原點的對稱點， ∵Q(－x，－y)在f(x)的圖象上， ∴－y＝loga(－x＋1)， 即y＝g(x)＝－loga(1－x)． (2)f(x)＋g(x)≥m，即loga≥m. 設(shè)F(x)＝loga，x∈[0,1)，由題意知， 只要F(x)min≥m即可． ∵F(x)在[0,1)上是增函數(shù)，∴F(x)min＝F(0)＝0. 故m≤0即為所求． 14．已知函數(shù)f(x)＝－x＋log2. (1)求f＋f的值； (2)當(dāng)x∈(－a，a]，其中a∈(0,1)，a是常數(shù)時，函數(shù)f(x)是否存在最小值？若存在，求出f(x)的最小值；若不存在，請說明理由． 解　(1)由f(x)＋f(－x)＝log2＋log2＝log21＝0. ∴f＋f＝0. (2)f(x)的定義域為(－1,1)， ∵f(x)＝－x＋log2(－1＋)， 當(dāng)x1<x2且x1，x2∈(－1,1)時，f(x)為減函數(shù)， ∴當(dāng)a∈(0,1)，x∈(－a，a]時f(x)單調(diào)遞減， ∴當(dāng)x＝a時，f(x)min＝－a＋log2.