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1、 精品資料
第1講 弧度制與任意角的三角函數(shù)
一、填空題
1.若sin θ>0且sin 2θ>0,則角θ的終邊所在象限是________.
解析 由故θ終邊在第一象限.
答案 第一象限
2.已知扇形的面積為2,扇形圓心角的弧度數(shù)是4,則扇形的周長(zhǎng)為________.
解析 設(shè)扇形的半徑為R,則R2α=2,∴R2=1,
∴R=1,∴扇形的周長(zhǎng)為2R+αR=2+4=6.
答案 6
3.若點(diǎn)P從(1,0)出發(fā),沿單位圓x2+y2=1逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)到達(dá)點(diǎn)Q,則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為________.
解析 點(diǎn)Q的坐標(biāo)為,即.
2、
答案
4.若α角與角終邊相同,則在[0,2π]內(nèi)終邊與角終邊相同的角是________.
解析 由題意,得α=+2kπ(k∈Z),=+(k∈Z).又∈[0,2π],所以k=0,1,2,3,=,,,.
答案 ,,,
5.已知一扇形的中心角α=60,所在圓的半徑R=10 cm,則扇形的弧長(zhǎng)為________cm,面積為________cm2.
解析 α=60=,R=10 cm,l=(cm),S扇=10=(cm2).
答案
6.已知點(diǎn)P(tan α,cos α)在第二象限,則在[0,2π)內(nèi)α的取值范圍是________.
解析 因?yàn)閠an α<0且cos α>0,又0≤
3、α<2π,所以<α<2π.
答案
7.已知α的頂點(diǎn)在原點(diǎn),始邊與x軸正半軸重合,點(diǎn)P(-4m,3m)(m>0)是α終邊上一點(diǎn),則2sin α+cos α=________.
答案
8.已知扇形的周長(zhǎng)為8 cm,則該扇形面積的最大值為________cm2.
解析 設(shè)扇形半徑為r cm,弧長(zhǎng)為l cm,則2r+l=8,S=rl=r(8-2r)=-r2+4r=-(r-2)2+4,所以Smax=4 (cm2).
答案 4
9.已知集合E={θ|cos θ
4、余弦線,容易得E=,又由F可知θ應(yīng)在第二、四象限,所以
E∩F=.
答案
10.已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(-8m,-6sin 30),且cos α=-,則m的值為________.
解析 因?yàn)閞=,所以cos α==-,所以=,即m=.又m>0,故m=.
答案
二、解答題
11.已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-,y),且sin α=y(tǒng)(y≠0),判斷角α所在的象限,并求cos α,tan α的值.[來(lái)源:]
解 因?yàn)閞=|OP|= =,
所以sin α==y(tǒng).
因?yàn)閥≠0,所以9+3y2=16,解得y=,
所以角α在第二或第三象限.
當(dāng)角α在第二象限時(shí),y=,cos α==
5、-,tan α=-;當(dāng)角α在第三象限時(shí),y=-,cos α==-,tan α=.
12.角α終邊上的點(diǎn)P與A(a,2a)關(guān)于x軸對(duì)稱(a>0),角β終邊上的點(diǎn)Q與
A關(guān)于直線y=x對(duì)稱,求sin αcos α+sin βcos β+tan αtan β的值.
解 由題意得,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,-2a),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2a,a).
所以,sin α==-, cos α==,[來(lái)源:
tan α==-2, sin β==,
cos β==, tan β==,
故有sin αcos α+sin βcos β+tan αtan β=++(-2)=-1.
13.如圖,在平面直
6、角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)x軸為始邊作兩個(gè)銳角α,β,它們的終邊分別與單位圓相交于A,B兩點(diǎn),已知A,B的橫坐標(biāo)分別為,.
(1)求tan(α+β)的值;
(2)求α+2β的值.
解 由題意得cos α=,cos β=,α,β∈,所以sin α==,sin β==,因此tan α=7,tan β=.
(1)tan(α+β)===-3.
(2)tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]==-1,
又α+2β∈,所以α+2β=.
14.如圖,A,B是單位圓上的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn),B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),∠BOA=60,質(zhì)點(diǎn)A以1弧度/秒的角速度按逆時(shí)針方向在單位圓上運(yùn)動(dòng);質(zhì)點(diǎn)B以1弧度/秒的角速度按順時(shí)針方向在單位圓上運(yùn)動(dòng),過(guò)點(diǎn)A作AA1⊥y軸于A1,
過(guò)點(diǎn)B作BB1⊥y軸于B1.
(1)求經(jīng)過(guò)1秒后,∠BOA的弧度數(shù);
(2)求質(zhì)點(diǎn)A,B在單位圓上的第一次相遇所用的時(shí)間;
(3)記A1B1的距離為y,請(qǐng)寫出y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式,并求出y的最大值.
解 (1)+2
(2)設(shè)經(jīng)過(guò)t秒后相遇,則有t(1+1)+=2π,
∴t=,即經(jīng)過(guò)秒后A,B第一次相遇.
(3)y=
==,
∴當(dāng)t+=kπ+(k∈Z),即t=kπ+(k∈Z)時(shí),
ymax=.