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1、 精品資料
第3講 圓的方程
一、填空題
1.圓(x+2)2+y2=5關(guān)于直線y=x對稱的圓的方程為__________________.
解析 由題意知所求圓的圓心坐標(biāo)為(0,-2),所以所求圓的方程為x2+(y+2)2=5.
答案 x2+(y+2)2=5
2.已知直線3x+4y-24=0與坐標(biāo)軸的兩個交點(diǎn)及坐標(biāo)原點(diǎn)都在一個圓上,則該圓的半徑是________.
解析 依題意得,直線3x+4y-24=0與坐標(biāo)軸的兩個交點(diǎn)為A(8,0),B(0,6),由題知線段AB為圓的直徑,且|AB|=10,因此圓的半徑是5.
答案
2、 5
3.若圓x2+y2-ax+2y+1=0與圓x2+y2=1關(guān)于直線y=x-1對稱,過點(diǎn)
C(-a,a)的圓P與y軸相切,則圓心P的軌跡方程為________.
解析 由圓x2+y2-ax+2y+1=0與圓x2+y2=1關(guān)于直線y=x-1對稱可知兩圓半徑相等且兩圓圓心連線的中點(diǎn)在直線y=x-1上,故可得a=2,即點(diǎn)C(-2,2),所以過點(diǎn)C(-2,2)且與y軸相切的圓P的圓心的軌跡方程為(x+2)2+(y-2)2=x2,整理即得y2+4x-4y+8=0.
答案 y2+4x-4y+8=0[來源:]
4.已知圓心在x軸上,半徑為的圓O位于y軸左側(cè),且與直線x+y=0 相切,則圓O的
3、方程是________.
解析 設(shè)圓心為(a,0)(a<0),則=,
∴a=-,∴圓O的方程為(x+)2+y2=5.
答案 (x+)2+y2=5
5.已知點(diǎn)M是直線3x+4y-2=0上的動點(diǎn),點(diǎn)N為圓(x+1)2+(y+1)2=1上的動點(diǎn),則MN的最小值是________.
解析 圓心(-1,-1)到點(diǎn)M的距離的最小值為點(diǎn)(-1,-1)到直線的距離d==,故點(diǎn)N到點(diǎn)M的距離的最小值為d-1=.
答案
6.平移直線x-y+1=0使其與圓(x-2)2+(y-1)2=1相切,則平移的最短距離為________.
解析 圓心(2,1)到直線的距離d==.
所以,平移的最
4、短距離為-1.
答案 -1
7.已知兩點(diǎn)A(0,-3)、B(4,0),若點(diǎn)P是圓x2+y2-2y=0上的動點(diǎn),則 △ABP面積的最小值為________.
解析 如圖,過圓心C向直線AB作垂線交圓于點(diǎn)P,
這時△ABP的面積最小.直線AB的方程為+=1,
即3x-4y-12=0,圓心C到直線AB的距離為
d==,
∴△ABP的面積的最小值為×5×=.
答案
8.若圓(x-3)2+(y+5)2=r2上有且只有兩個點(diǎn)到直線4x-3y-2=0的距離等于1,則半徑r的取值范圍是________.
解析 因?yàn)閳A心(3,-5)到直線4x-3y-2=0的
5、距離為5,所以當(dāng)半徑r=4時,圓上有1個點(diǎn)到直線4x-3y-2=0的距離等于1,當(dāng)半徑r=6時,圓上有3個點(diǎn)到直線4x-3y-2=0的距離等于1,所以圓上有且只有兩個點(diǎn)到直線4x-3y-2=0的距離等于1時,4<r<6.
答案 (4,6)
9.已知圓C的圓心與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)關(guān)于直線y=x對稱.直線4x-3y-2=0與圓C相交于A、B兩點(diǎn),且AB=6,則圓C的方程為________.
解析 拋物線y2=4x,焦點(diǎn)為F(1,0).∴圓心C(0,1),C到直線4x-3y-2=0的距離d==1,且圓的半徑r滿足r2=12+32=10.∴圓的方程為x2+(y-1)2=10.
答案 x2+
6、(y-1)2=10
10.圓心在曲線y=(x>0)上,且與直線3x+4y+3=0相切的面積最小的圓的方程為________.
解析 設(shè)圓心坐標(biāo)為(a>0),則圓心到直線3x+4y+3=0的距離d(a)==≥(4+1)=3,當(dāng)且僅當(dāng)a=2時等號成立.此時圓心坐標(biāo)為,圓的半徑為3.
答案 (x-2)2+2=9
二、解答題
11.已知圓C:x2+y2-4x-6y+12=0,點(diǎn)A(3,5).[來源:]
(1)求過點(diǎn)A的圓的切線方程;
(2)O點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn),連結(jié)OA,OC,求△AOC的面積S.
解 (1)⊙C:(x-2)2+(y-3)2=1.
當(dāng)切線的斜率不存在時,有
7、直線x=3,C(2,3)到直線的距離為1,滿足條件.
當(dāng)k存在時,設(shè)直線y-5=k(x-3),即y=kx+5-3k,=1,解得k=.
∴過點(diǎn)A的圓的切線方程為:x=3或y=x+.
(2)|AO|==,lOA:5x-3y=0,點(diǎn)C到直線OA的距離d=,S=d|AO|=.
12.已知圓M過兩點(diǎn)A(1,-1),B(-1,1),且圓心M在直線x+y-2=0上
(1)求圓M的方程;
(2)設(shè)P是直線3x+4y+8=0上的動點(diǎn),PA、PB是圓M的兩條切線,A、B為切點(diǎn),求四邊形PAMB面積的最小值.
解 (1)設(shè)圓M的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
根據(jù)題意得:
8、
解得a=b=1,r=2,
故所求圓M的方程為(x-1)2+(y-1)2=4.
(2)由題意知,四邊形PAMB的面積為
S=S△PAM+S△PBM=AM·PA+BM·PB.
又AM=BM=2,PA=PB,所以S=2PA,
而PA==,
即S=2.
因此要求S的最小值,只需求PM的最小值即可,
即在直線3x+4y+8=0上找一點(diǎn)P,使得PM的值最小,
所以PMmin==3,
所以四邊形PAMB面積的最小值為
Smin=2=2=2.
13.已知直線l:x=4與x軸相交于點(diǎn)M,P是平面上的動點(diǎn),滿足PM⊥PO(O是坐標(biāo)原點(diǎn)).
(1)求動點(diǎn)P的軌跡C的
9、方程;
(2)過直線l上一點(diǎn)D(D≠M(fèi))作曲線C的切線,切點(diǎn)為E,與x軸相交點(diǎn)為F,若=,求切線DE的方程.
解 (1)依題意,知M(4,0),
設(shè)P(x,y)(x≠0且x≠4),
由PM⊥PO,得kPM·kPO=-1,即·=-1,
整理得,動點(diǎn)P的軌跡C的方程為(x-2)2+y2=4(x≠0且x≠4).
(2)DE、DM都是圓(x-2)2+y2=4的切線,∴DE=DM.
∵=,∴DF=2DE=2DM,∴∠DFM=.
設(shè)C(2,0),在△CEF中,∠CEF=,∠CFE=,CE=2,
∴CF=4,根據(jù)題意取F(-2,0).
切線DE的傾斜角α=或,
∴切
10、線DE的斜率k=或-,
切線DE的方程為y=±(x+2).
14.已知圓C通過不同的三點(diǎn)P(m,0),Q(2,0),R(0,1),且CP的斜率為-1.
(1)試求圓C的方程;
(2)過原點(diǎn)O作兩條互相垂直的直線l1,l2,且l1交圓C于E,F(xiàn)兩點(diǎn),l2交圓C于G,H兩點(diǎn),求四邊形EGFH面積的最大值.
解 (1)設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,
則C點(diǎn)的坐標(biāo)為,且PC的斜率為-1,
所以=-1. ①
因?yàn)閳AC通過不同的三點(diǎn)P(m,0),Q(2,0),R(0,1),
所以聯(lián)立①②③④,解得
所以圓C的方程為x2+y2+x+5y-6=0
即2+2=.
(2)圓心C的坐標(biāo)為,圓心到l1,l2的距離設(shè)為d1,d2,則d+d=OC2=,又2+d=,
2+d=,
兩式相加,得EF2+GH2=74≥2EF·GH.所以
S=EF·GH≤,即(S四邊形EGFH)max=.