高考數學理一輪資源庫選修4 第1講幾何證明選講

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1、 精品資料 第十五章 系列4選考部分 第1講 幾何證明選講 1.如圖,已知B在AC上,D在BE上,且AB∶BC=2∶1,ED∶DB=2∶1,求AD∶DF. 解 如圖,過D作DG∥AC交FC于G(還可過B作EC的平行線). ∵==, ∴DG=BC. ∵BC=AC,∴DG=AC. ∴==,∴DF=AF, 從而AD=AF,故AD∶DF=7∶2. 2. 如圖,圓O1與O2內切于點A,其半徑分別為r1與r2(r1>r2).圓O1的弦AB交圓O2于點C(O1不在AB上). 求證:AB∶AC為定值. 證明 如圖,連接AO

2、1,并延長分別交兩圓于點E和點D,連接BD、CE. ∵圓O1與圓O2內切于點A, ∴點O2在AD上,故AD、AE分別為圓O1,圓O2的直徑. 從而∠ABD=∠ACE=90. ∴BD∥CE,于是===,∴AB∶AC為定值. 3. 如圖,△ABC是直角三角形,∠ACB=90,CD⊥AB于D,E是AC的中點,ED的延長線與CB的延長線交于點F. 求證:FD2=FBFC. 證明 ∵E是Rt△ACD斜邊AC的中點, ∴DE=EA,∴∠A=∠2. 又∵∠1=∠2,∴∠1=∠A. ∵∠FDC=∠CDB+∠1=90+∠1, ∠FBD=∠ACB+∠A=90+∠A,∴∠FDC=∠FBD.

3、又∵∠F是公共角,∴△FBD∽△FDC,∴=, ∴FD2=FBFC. 4. 如圖,在△ABC中,CM是 ∠ACB的平分線,△AMC的外接圓O交BC于點N.若AC=AB,求證:BN=2AM. 證明 連結MN.因為CM是∠ACB的平分線, 所以∠ACM=∠NCM,所以AM=MN. 因為∠B=∠B,∠BMN=∠A, 所以△BMN∽△BCA,所以==2, 即BN=2MN=2AM. 5. 如圖,梯形ABCD內接于⊙O,AD∥BC,過點C作⊙O的切線,交BD的延長線于點P,交AD的延長線于點E. (1)求證:AB2=DEBC; (2)若BD=9,AB=6,BC=9,求切線PC的長

4、. (1)證明 ∵AD∥BC,∴=.∴AB=CD, ∠EDC=∠BCD.又PC與⊙O相切,∴∠ECD=∠DBC. ∴△CDE∽△BCD.∴=. ∴CD2=DEBC,即AB2=DEBC. (2)解 由(1)知,DE===4, ∵AD∥BC,∴△PDE∽△PBC, ∴==.又∵PB-PD=9,∴PD=,PB=. ∴PC2=PDPB==.∴PC=. 6.如圖,D,E分別為△ABC的邊AB,AC上的點,且不與△ABC的頂點重合.已知AE的長為m,AC的長為n,AD,AB的長是關于x的方程x2-14x+mn=0的兩個根. (1)證明:C,B,D,E四點共圓; (2)若∠A=90,且

5、m=4,n=6,求C,B,D,E所在圓的半徑. 解 (1)證明:連結DE,根據題意在△ADE和△ACB中,ADAB=mn=AEAC,即=. 又∠DAE=∠CAB,從而△ADE~△ACB. 因此∠ADE=∠ACB.所以C,B,D,E四點共圓. (2)m=4,n=6時,方程x2-14x+mn=0的兩根為x1=2,x2=12.故AD=2,AB=12. 取CE的中點G,DB的中點F,分別過G,F作AC,AB的垂線,兩垂線相交于H點,連結DH.因為C,B,D,E四點共圓,所以C,B,D,E四點所在圓的圓心為H,半徑為DH. 由于∠A=90,故GH∥AB,HF∥AC.從而HF=AG=

6、5,DF=(12-2)=5.故C,B,D,E四點所在圓的半徑為5. 7. 如圖,圓O是△ABC的外接圓,延長BC邊上的高AD交圓O于點E,H為△ABC的垂心.求證:DH=DE. 證明 連結CE,CH.因為H為△ABC的垂心,所以∠ECD=∠BAD=90-∠ABC, ∠HCD=90-∠ABC,所以∠ECD=∠HCD. 又因為CD⊥HE,CD為公共邊, 所以△HDC≌△EDC,所以DH=DE. 8. 已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分線,交BC的延長線于點D,延長DA交△ABC的外接圓于點F,連接FB、FC. (1)求證:FB=FC; (2)若AB是△ABC外接圓的直徑,∠EA

7、C=120,BC=3,求AD的長. (1)證明 ∵AD平分∠EAC,∴∠EAD=∠DAC. ∵四邊形AFBC內接于圓,∴∠DAC=∠FBC. ∵∠EAD=∠FAB=∠FCB, ∴∠FBC=∠FCB,∴FB=FC. (2)解 ∵AB是圓的直徑,∴∠ACD=90. ∵∠EAC=120,∠DAC=∠EAC=60,∠D=30. 在Rt△ACB中,∵BC=3,∠BAC=60,∴AC=3, 又在Rt△ACD中,∠D=30,AC=3,∴AD=6. 9. 如圖,從圓O外一點P作圓O的兩條切線,切點分別為A、B,AB與OP交于點M,設CD為過點M且不過圓心O的一條弦,求證:O、C、P、D四點共

8、圓. 證明 ∵PA、PB為圓O的兩條切線,∴OP垂直平分弦AB,∴AM=BM.在Rt△OAP中,OMMP=AM2,在圓O中,AMBM=CMDM,∴OMMP=CMDM,又弦CD不過圓心O,∴O、C、P、D四點共圓. 10. 如圖,⊙O的半徑OB垂直于直徑AC,M為AO上一點,BM的延長線交⊙O于N,過點N的切線交CA的延長線于P. (1)求證:PM2=PAPC; (2)若⊙O的半徑為2,OA=OM,求MN的長. (1)證明 連結ON.因為PN切⊙O于N, 所以∠ONP=90. 所以∠ONB+∠BNP=90. 因為OB=ON,所以∠OBN=∠ONB. 因為BO⊥AC于O,所以

9、∠OBN+∠BMO=90. 所以∠BNP=∠BMO=∠PMN.所以PM=PN. 所以PM2=PN2=PAPC. (2)解 OM=2,BO=2,BM=4. 因為BMMN=CMMA=(2+2)(2-2)=8, 所以MN=2. 11. 如圖,已知C是以AB為直徑的半圓O上一點,CH⊥AB于點H,直線AC與過B點的切線相交于點D,E為CH的中點,連接AE并延長交BD于點F,直線CF交直線AB于點G. (1)求證:點F是BD的中點; (2)求證:CG是⊙O的切線; (3)若FB=FE=2,求⊙O的半徑. (1)證明 ∵CH⊥AB,DB⊥AB, ∴△AEH∽△AFB,△ACE∽△AD

10、F. ∴==.∵HE=EC,∴BF=FD. 即點F是BD的中點. (2)證明 連接CB、OC, ∵AB是直徑,∴∠ACB=90. ∵F是BD的中點,∴∠CBF=∠FCB. ∵∠CBF=∠BAC,∠BAC=∠ACO,∴∠FCB=∠ACO. ∵∠ACO+∠OCB=90,∴∠BCF+∠OCB=90. ∴∠OCF=90.∴CG是⊙O的切線. (3)解 由FC=FB=FE,得 ∠FCE=∠FEC. ∵∠G+∠GCH=90, ∠FAG+∠FEC=90, ∴∠FAG=∠G. ∴FA=FG,∵FB⊥AG,∴AB=BG. 由切割線定理,得 (2+FG)2=BGAG=2BG2.①

11、 在Rt△BGF中,由勾股定理,得 BG2=FG2-BF2.② 由①②,得FG2-4FG-12=0. 解得FG=6或FG=-2(舍去). ∴AB=BG=4.∴⊙O的半徑為2. 12.如圖,圓O1與圓O2內切于點A,其半徑分別為r1與r2(r1>r2).圓O1的弦AB交圓O2于點C(O1不在AB上).求證:AB∶AC為定值. 證明 連結AO1,并延長分別交兩圓于點E和點D.連結BD,CE. 因為圓O1與圓O2內切于點A,所以點O2與AD上, 故AD,AE分別為圓O1,圓O2的直徑. 從而∠ABD=∠ACE=.所以BD∥CE, 于是===. ∴AB∶AC為定值.

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