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1、 精品資料
第6講 曲線與方程
一、填空題
1.△ABC的頂點(diǎn)A(-5,0)、B(5,0),△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x=3上, 則頂點(diǎn)C的軌跡方程是________.[來
答案 -=1(x>3)
2. 點(diǎn)P到點(diǎn)(1,1)和到直線x+2y=3的距離相等,則點(diǎn)P的軌跡方程為________.
答案 2x-y-1=0
3.已知一條曲線在y軸的右方,它上面的每一點(diǎn)到點(diǎn)A(4,0) 的距離減去該點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離之差都是4,則這條曲線的方程是________.
解析 由題意,曲線上每一點(diǎn)P到點(diǎn)A(4,0)與到直線l:x=-4距離
2、相等,所以曲線是 拋物線,方程為y2=16x.
答案 y2=16x
4. 過點(diǎn)P(1,1)且互相垂直的兩條直線l1與l2分別與x、y軸交于A、B兩點(diǎn), 則AB中點(diǎn)M的軌跡方程為________.
答案 x+y-1=0
5. 有一動圓P恒過定點(diǎn)F(a,0)(a>0)且與y軸相交于點(diǎn)A、B,若△ABP為 正三角形,則點(diǎn)P的軌跡為________.
答案 雙曲線
6.設(shè)圓(x+1)2+y2=25的圓心為C,A(1,0)是圓內(nèi)一定點(diǎn),Q為圓周上任一點(diǎn).線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點(diǎn)M,則M的軌跡方程為________.
解析 M為AQ垂直平分線上一點(diǎn),則AM=MQ,∴MC
3、+MA=MC+MQ=CQ=5,
由橢圓的定義知,M的軌跡為橢圓.
∴a=,c=1,則b2=a2-c2=,
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.
答案?。?
7.若△ABC的頂點(diǎn)A(-5,0)、B(5,0),△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x=3上,則頂點(diǎn)C的軌跡方程是________.
解析 如圖AD=AE=8,BF=BE=2,CD=CF,所以CA-CB=8-2=6.
根據(jù)雙曲線定義,所求軌跡是以A、B為焦點(diǎn),實(shí)軸長為6的雙曲線的右支,方程為-=1(x>3).
答案?。?(x>3)
8.方程|y|-1=表示的曲線是________.
解析 原方程等價于
?
?或
答案 兩個半圓
4、
9.已知P是橢圓+=1(a>b>0)上的任意一點(diǎn),F(xiàn)1、F2是它的兩個焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),=+,則動點(diǎn)Q的軌跡方程是______________.
解析 由=+,
又+==2=-2,
設(shè)Q(x,y),則=-=-(x,y)=,
即P點(diǎn)坐標(biāo)為,又P在橢圓上,
則有+=1,即+=1(a>b>0).
答案 +=1(a>b>0)
10.已知兩條直線l1:2x-3y+2=0和l2:3x-2y+3=0,有一動圓(圓心和半徑都動)與l1、l2都相交,且l1、l2被圓截得的弦長分別是定值26和24,則圓心的軌跡方程是____________.
解析 設(shè)動圓的圓心為M(x,y),半徑為r,點(diǎn)M到
5、直線l1,l2的距離分別為d1和d2.
由弦心距、半徑、半弦長間的關(guān)系得,
即
消去r得動點(diǎn)M滿足的幾何關(guān)系為d-d=25,
即-=25.
化簡得(x+1)2-y2=65.
此即為所求的動圓圓心M的軌跡方程.
答案 (x+1)2-y2=65
二、解答題
11. 如圖,設(shè)P是圓x2+y2=25上的動點(diǎn),點(diǎn)D是P在x軸上的投影,M為PD上一點(diǎn),且|MD|=|PD|.
(1)當(dāng)P在圓上運(yùn)動時,求點(diǎn)M的軌跡C的方程;
(2)求過點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的長度.
解 (1)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xP,yP).
由已知,得∵點(diǎn)P在圓上,∴x2+2=
6、25,
即點(diǎn)M的軌跡C的方程為+=1.
(2)過點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線方程為y=(x-3).
設(shè)直線與C的交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2).
將直線方程y=(x-3)代入C的方程,得
+=1,即x2-3x-8=0.
∴x1=,x2=.
∴線段AB的長度為AB=== =.
12.拋物線C:y=x2在點(diǎn)P處的切線l分別交x軸、y軸于不同的兩點(diǎn)A、B,=.當(dāng)點(diǎn)P在C上移動時,點(diǎn)M的軌跡為D.
(1)求曲線D的方程;
(2)設(shè)直線l與曲線D的另一個交點(diǎn)為N,曲線D在點(diǎn)M、N處的切線分別為m、n直線m、n相交于點(diǎn)Q,證明:PQ平行于x軸.
解 (1)對y=x2,求導(dǎo),得
7、y′=2x.
設(shè)點(diǎn)P(x0,x)(x0≠0),則直線l方程為
y-x=2x0(x-x0),
在l方程中分別令y=0,x=0,得A、B(0,-x).
設(shè)M(x,y),=
即=(-x,-x-y),
由此得x0=3x,x=-3y,
消去x0,得曲線D的方程為y=-3x2(x≠0).
(2)將y=-3x2代入直線l方程,并整理得
3x2+2x0x-x=0,
由(1)知,M,設(shè)N(x1,-3x),則x1=-,
x1=-x0.對y=-3x2求導(dǎo),得y′=-6x,
于是直線m、n的方程分別為
y+=-2x0和y+3x=6x0(x+x0),
即y=-2x0x+和y=6x0x+3x,
8、
由此得點(diǎn)Q縱坐標(biāo)為x,故PQ平行于x軸.
13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(-1,1),P是動點(diǎn),且△POA的三邊所在直線的斜率滿足kOP+kOA=kPA.
(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(2)若Q是軌跡C上異于點(diǎn)P的一點(diǎn),且=λ,直線OP與QA交于點(diǎn)M,問:是否存在點(diǎn)P使得△PQA和△PAM的面積滿足S△PQA=2S△PAM?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
解 (1)設(shè)點(diǎn)P(x,y)為所求軌跡上的任意一點(diǎn),
則由kOP+kOA=kPA,得+=,整理,得
軌跡C的方程為y=x2(x≠0且x≠-1).
(2)設(shè)P(x1,x),Q(x2,x),
由=λ,可
9、知直線PQ∥OA,則kPQ=kOA,
故=,即x2=-x1-1,
直線OP方程為:y=x1x. ①
直線QA的斜率為:=-x1-2.
∴直線QA方程為:y-1=(-x1-2)(x+1),
即y=-(x1+2)x-x1-1. ②
聯(lián)立①②,得x=-,∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為定值-.
由S△PQA=2S△PAM,得到QA=2AM,
∵PQ∥OA,∴OP=2OM,
由=2,得x1=1,∴P的坐標(biāo)為(1,1).
∴存在點(diǎn)P滿足S△PQA=2S△PAM,P的坐標(biāo)為(1,1).
14.有一種大型商品,A、B兩地都有出售,且價格相同,某地居民從兩
10、地之一購得商品后, 回運(yùn)的費(fèi)用是:每單位距離A地的運(yùn)費(fèi)是B地運(yùn)費(fèi)的3倍,已知A、B兩地間的距離 為10千米,顧客選A或選B購買這件商品的標(biāo)準(zhǔn)是:包括運(yùn)費(fèi)和價格的總費(fèi)用較低, 求A、B兩地的售貨區(qū)域的分界線的曲線形狀,并指出曲線上、曲線內(nèi)、曲線外的居民 應(yīng)如何選擇購貨地點(diǎn).
解 如圖所示,以AB所確定的直線為x軸,AB中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo) 系,則A(-5,0),B(5,0).設(shè)某地P的坐標(biāo)為(x,y),且P地居民選擇A地購買商品便宜,并設(shè)A地的運(yùn)費(fèi)為3a元/千米,B地的運(yùn)費(fèi)為a元/千米.
∴價格+xA地運(yùn)費(fèi)≤價格+xB地運(yùn)費(fèi),
即3a≤a.
∵a>0,∴3≤.
兩邊平方,得9(x+5)2+9y2≤(x-5)2+y2,
即2+y2≤2.
∴以點(diǎn)C為圓心,為半徑的圓是這兩地購貨的分界線;圓C內(nèi)居民從A地購貨便宜;圓C外的居民從B地購貨便宜;圓C上的居民從A、B兩地購貨的總費(fèi)用相等,可隨意從A、B兩地之一購貨.