高考數(shù)學理一輪資源庫第六章 第2講 等差數(shù)列及其前n項和

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1、 精品資料 第2講　等差數(shù)列及其前n項和 一、填空題 1．在等差數(shù)列{an}中，a3＋a7＝37，則a2＋a4＋a6＋a8＝________.[來源 解析 a2＋a4＋a6＋a8＝2(a3＋a7)＝74. 答案 74 2．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若－＝1，則公差為________． 解析 依題意得S4＝4a1＋d＝4a1＋6d，S3＝3a1＋d＝3a1＋3d，于是有－＝1，由此解得d＝6，即公差為6.[來源:] 答案 6 3．在等差數(shù)列{an}中，a1＞0，S4＝S9，則Sn取最大值時，n＝______

2、__. 解析　因為a1＞0，S4＝S9，所以a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0，所以a7＝0，所以從而當n＝6或7時Sn取最大值． 答案　6或7 4．在等差數(shù)列{an}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，則S9＝________. 解析　∵a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，∴3a4＝39,3a6＝27，∴a4＝13，a6＝9.∴a6－a4＝2d＝9－13＝－4，∴d＝－2， ∴a5＝a4＋d＝13－2＝11，∴S9＝＝9a5＝99. 答案　99 5．設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為正數(shù)，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，則a11＋a12＋a13

3、＝________. 解析　由15＝a1＋a2＋a3＝3a2，得a2＝5.所以又公差d＞0，所以所以d＝3.所以a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a1＋11d)＝3(2＋33)＝335＝105. 答案　105 6．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝2n2＋pn，a7＝11.若ak＋ak＋1＞12，則正整數(shù)k的最小值為________．　 解析　因為a7＝S7－S6＝272＋7p－262－6p＝26＋p＝11，所以p＝－15，Sn＝2n2－15n，an＝Sn－Sn－1＝4n－17(n≥2)，當n＝1時也滿足．于是由ak＋ak＋1＝8k－30＞12，得k＞＞5.又k∈N*，所以k≥6，

4、即kmin＝6. 答案　6 7．已知數(shù)列{an}滿足遞推關(guān)系式an＋1＝2an＋2n－1(n∈N*)，且為等差數(shù)列，則λ的值是________． 解析　由an＋1＝2an＋2n－1，可得＝＋－，則－＝－－＝－－＝－，當λ的值是－1時，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列． 答案　－1 8．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項和，a7－a5＝4，a11＝21，Sk＝9，則k＝________. 解析 a7－a5＝2d＝4，d＝2，a1＝a11－10d＝21－20＝1， Sk＝k＋2＝k2＝9. 又k∈N*，故k＝3. 答案 3 9．設(shè)等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項和分別為Sn

5、、Tn，若對任意自然數(shù)n都有＝，則＋的值為________． 解析 ∵{an}，{bn}為等差數(shù)列， ∴＋＝＋＝＝＝. ∵＝＝＝＝， ∴＝. 答案 10．已知f(x)是定義在R上不恒為零的函數(shù)，對于任意的x，y∈R，都有f(xy)＝xf(y)＋yf(x)成立．數(shù)列{an}滿足an＝f(2n)(n∈N*)，且a1＝2.則數(shù)列的通項公式an＝________. 解析　由an＋1＝f(2n＋1)＝2f(2n)＋2nf(2)＝2an＋2n＋1，得＝＋1，所以是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以＝n，an＝n2n. 答案　n2n 二、解答題 11．已知等差數(shù)列{an}的前三項為

6、a－1,4,2a，記前n項和為Sn. (1)設(shè)Sk＝2 550，求a和k的值； (2)設(shè)bn＝，求b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1的值． 解 (1)由已知得a1＝a－1，a2＝4，a3＝2a， 又a1＋a3＝2a2，∴(a－1)＋2a＝8，即a＝3. ∴a1＝2，公差d＝a2－a1＝2. 由Sk＝ka1＋d，得 2k＋2＝2 550， 即k2＋k－2 550＝0， 解得k＝50或k＝－51(舍去)． ∴a＝3，k＝50. (2)由Sn＝na1＋d得 Sn＝2n＋2＝n2＋n. ∴bn＝＝n＋1，∴{bn}是等差數(shù)列， 則b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1 ＝(

7、3＋1)＋(7＋1)＋(11＋1)＋…＋(4n－1＋1) ＝. ∴b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1＝2n2＋2n. 12．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n，若a3，a5分別為等差數(shù)列{bn}的第3項和第5項，試求數(shù)列{bn}的通項公式及前n項和Sn. 解 a3＝8，a5＝32，則b3＝8，b5＝32. 設(shè){bn}的公差為d，則有 解得 從而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28. 所以數(shù)列{bn}的前n項和 Sn＝＝6n2－22n. 13．在等差數(shù)列{an}中，公差d＞0，前n項和為Sn，a2a3＝45，a1＋a5＝18. (1)求數(shù)列{an}的通項公式；

8、 (2)令bn＝(n∈N*)，是否存在一個非零常數(shù)c，使數(shù)列{bn}也為等差數(shù)列？若存在，求出c的值；若不存在，請說明理由． 解　(1)由題設(shè)，知{an}是等差數(shù)列，且公差d＞0， 則由得 解得∴an＝4n－3(n∈N*)． (2)由bn＝＝＝， ∵c≠0，∴可令c＝－，得到bn＝2n. ∵bn＋1－bn＝2(n＋1)－2n＝2(n∈N*)， ∴數(shù)列{bn}是公差為2的等差數(shù)列． 即存在一個非零常數(shù)c＝－，使數(shù)列{bn}也為等差數(shù)列． 14．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝1－，bn＝，其中n∈N*. (1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列； (2)設(shè)cn＝() bn，

9、試問數(shù)列{cn}中是否存在三項，使它們可以構(gòu)成等差數(shù)列？如果存在，求出這三項；如果不存在，說明理由． (1)證明　因為bn＋1－bn＝－＝ －＝－＝2(n∈N*)，且b1＝＝2所以，數(shù)列{bn}以2為首項，2為公差的是等差數(shù)列． (2)解　由(1)得cn＝()bn＝2n， 假設(shè){cn}中存在三項cm，cn，cp(其中m＜n＜p，m，n，p∈N*)成等差數(shù)列，則22n＝2m＋2p， 所以2n＋1＝2m＋2p,2n－m＋1＝1＋2p－m. 因為m＜n＜p，m，n，p∈N*，所以n－m＋1，p－m∈N*， 從而2n－m＋1為偶數(shù)，1＋2p－m為奇數(shù)，所以2n－m＋1與1＋2p－m不可能相等，所以數(shù)列{cn}中不存在可以構(gòu)成等差數(shù)列的三項.