高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)檢測(cè) 新人教A版選修12

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1、 第二章 推理與證明 時(shí)間120分鐘，滿分150分。 一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．命題“所有有理數(shù)是無(wú)限循環(huán)小數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，所以整數(shù)是無(wú)限循環(huán)小數(shù)”是假命題，推理錯(cuò)誤的原因是(　C　) A．使用了歸納推理 B．使用了類比推理 C．使用了“三段論”，但大前提錯(cuò)誤 D．使用了“三段論”，但小前提錯(cuò)誤 [解析]　大前提是錯(cuò)誤的，故選C． 2．已知a<b<0，下列不等式中成立的是(　C　) A．a(chǎn)2<b2　　　　　　　 B．<1 C．a(chǎn)<4－b D．<

2、[解析]　令a＝－2，b＝－1，滿足a<b<0，則a2>b2，＝2>1，>，故A、B、D都不成立，排除A、B、D，選C． 3．用火柴棒擺“金魚(yú)”，如圖所示： 按照上面的規(guī)律，第n個(gè)“金魚(yú)”圖形需要火柴棒的根數(shù)為(　C　) A．6n－2 B．8n－2 C．6n＋2 D．8n＋2 [解析]　歸納“金魚(yú)”圖形的構(gòu)成規(guī)律知，后面“金魚(yú)”都比它前面的“金魚(yú)”多了去掉尾巴后6根火柴組成的魚(yú)頭部分，故各“金魚(yú)”圖形所用火柴棒的根數(shù)構(gòu)成一首項(xiàng)為8，公差是6的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為an＝6n＋2. 4．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2·an(n≥2)，而

3、a1＝1，通過(guò)計(jì)算a2、a3、a4，猜想an＝(　B　) A． B． C． D． [解析]　a2＝S2－S1＝22a2－1，∴a2＝， a3＝S3－S2＝32·a3－22·a2＝9a3－4×， ∴a3＝. a4＝S4－S3＝42·a4－32a3＝16a4－9×， ∴a4＝. 由此猜想an＝. 5．分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明“設(shè)a>b>c，且a＋b＋c＝0，求證<”，索的因應(yīng)是(　C　) A．a(chǎn)－b>0 B．a(chǎn)－c<0 C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<

4、;0 [解析]　<a，即證b2－ac<3a2. ∵a＋b＋c＝0，∴b＝－(a＋c)． 只需證(a＋c)2－ac<3a2，即證2a2－c2－ac>0，即證a2－c2＋a2－ac>0，即證(a＋c)(a－c)＋a(a－c)>0，即證(a－c)[(a＋c)＋a]>0.又b＝－(a＋c)，即證(a－c)(a－b)>0.故選C． 6．已知圓x2＋y2＝r2(r>0)的面積為S＝πr2，由此類比橢圓＋＝1(a>b>0)的面積最有可能是(　C　) A．πa2 B．πb2 C．πab D．π(ab)2 [解析]　圓的方程可以看作

5、是橢圓方程＋＝1(a>b>0)中，a＝b時(shí)的情形，∵S圓＝πr2，∴類比出橢圓的面積為S＝πab. 7．(2017·全國(guó)Ⅱ文，9)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問(wèn)成語(yǔ)競(jìng)賽的成績(jī)．老師說(shuō)：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績(jī)，給乙看丙的成績(jī)，給丁看甲的成績(jī)．看后甲對(duì)大家說(shuō)：我還是不知道我的成績(jī)．根據(jù)以上信息，則(　D　) A．乙可以知道四人的成績(jī) B．丁可以知道四人的成績(jī) C．乙、丁可以知道對(duì)方的成績(jī) D．乙、丁可以知道自己的成績(jī) [解析]　由甲說(shuō)：“我還是不知道我的成績(jī)”可推知甲看到乙、丙的成績(jī)?yōu)椤?個(gè)優(yōu)秀，1個(gè)良好”．乙看丙的成績(jī)，

6、結(jié)合甲的說(shuō)法，丙為“優(yōu)秀”時(shí)，乙為“良好”；丙為“良好”時(shí)，乙為“優(yōu)秀”，可得乙可以知道自己的成績(jī)．丁看甲的成績(jī)，結(jié)合甲的說(shuō)法，甲為“優(yōu)秀”時(shí)，丁為“良好”；甲為“良好”時(shí)，丁為“優(yōu)秀”，可得丁可以知道自己的成績(jī)． 故選D． 8．已知f1(x)＝cos x，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，f4(x)＝f3′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)，則f2016(x)等于(　A　) A．sin x B．－sin x C．cos x D．－cos x [解析]　由已知，有f1(x)＝cos x，f2(x)＝－sin x， f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin

7、 x，f5(x)＝cos x，…，可以歸納出： f4n(x)＝sin x，f4n＋1(x)＝cos x，f4n＋2(x)＝－sin x， f4n＋3(x)＝－cos x(n∈N*)．所以f2016(x)＝f4(x)＝sin x. 9．已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列{an}，定義向量cn＝(an，an＋1)，bn＝(n，n＋1)，n∈N*.下列命題中真命題是(　A　) A．若?n∈N*總有cn∥bn成立，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列 B．若?n∈N*總有cn∥bn成立，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列 C．若?n∈N*總有cn⊥bn成立，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列 D．若?n∈N*總有cn⊥bn成立，則

8、數(shù)列{an}是等比數(shù)列 [解析]　∵對(duì)?n∈N*總有cn∥bn，則存在實(shí)數(shù)λ≠0，使cn＝λbn，∴an＝λn，∴{an}是等差數(shù)列． 10．下列函數(shù)f(x)中，滿足“對(duì)任意x1、x2∈(0，＋∞)，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)”的是(　A　) A．f(x)＝ B．f(x)＝(x－1)2 C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1) [解析]　若滿足題目中的條件，則f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，在A、B、C、D四選項(xiàng)中，由基本函數(shù)性質(zhì)知，A是減函數(shù)，故選A． 11．已知函數(shù)f(x)＝lg，若f(a)＝b，則f(－a)等于(　B　) A．b B．－

9、b C． D．－ [解析]　f(x)定義域?yàn)?－1,1)，f(－a)＝lg＝lg()－1＝－lg＝－f(a)＝－b. 12．已知f(x)＝x3＋x，a、b、c∈R，且a＋b>0，a＋c>0，b＋c>0，則f(a)＋f(b)＋f(c)的值(　A　) A．一定大于零 B．一定等于零 C．一定小于零 D．正負(fù)都有可能 [解析]　f(x)＝x3＋x是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)， 由a＋b>0得a>－b， 所以f(a)>f(－b)，即f(a)＋f(b)>0， 同理f(a)＋f(c)>0，f(b)＋f(c)>0， 所以f(a)＋f(b

10、)＋f(c)>0. 二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，將正確答案填在題中橫線上) 13．“因?yàn)锳C、BD是菱形ABCD的對(duì)角線，所以AC、BD互相垂直且平分．”以上推理的大前提是__菱形對(duì)角線互相垂直且平分__. 14．設(shè)函數(shù)f(x)＝(x>0)，觀察： f1(x)＝f(x)＝， f2(x)＝f(f1(x))＝， f3(x)＝f(f2(x))＝， f4(x)＝f(f3(x))＝， … 根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得： 當(dāng)n∈N*且n≥2時(shí)，fn(x)＝f(fn－1(x))＝　　. [解析]　由已知可歸納如下：f1(x)＝， f2(x)＝，f3

11、(x)＝， f4(x)＝，…， fn(x)＝. 15．由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則： ①“mn＝nm”類比得到“a·b＝b·a”； ②“(m＋n)t＝mt＋nt”類比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”； ③“t≠0，mt＝nt?m＝n”類比得到“c≠0，a·c＝b·c?a＝b”； ④“|m·n|＝|m|·|n|”類比得到“|a·b|＝|a|·|b|”； ⑤“(m·n)t＝m(n·t)”類比得到“(a·b)·

12、c＝a·(b·c)”； ⑥“＝”類比得到“＝”． 以上類比得到的結(jié)論正確的是__①②__. [解析]　①②都正確；③⑥錯(cuò)誤，因?yàn)橄蛄坎荒芟喑?；④可由?shù)量積定義判斷，所以錯(cuò)誤；⑤向量中結(jié)合律不成立，所以錯(cuò)誤． 16．觀察下列等式： 1＝1　　　　　　　　　13＝1 1＋2＝3 13＋23＝9 1＋2＋3＝6 13＋23＋33＝36 1＋2＋3＋4＝10 13＋23＋33＋43＝100 1＋2＋3＋4＋5＝15 13＋23＋33＋43＋53＝225 … … 可以推測(cè)：13＋23＋33＋…＋n3＝　　.(n∈N*，用含有n的代數(shù)式表示) [解析]

13、　由條件可知： 13＝12,13＋23＝9＝32＝(1＋2)2,13＋23＋33＝36＝62＝(1＋2＋3)2，…，不難得出． 13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2 ＝[]2＝. 三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟) 17．(本題滿分10分)已知a、b、c∈R＋，求證：≥. [解析]　分析法：要證≥， 只需證：≥()2， 只需證：3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca， 只需證：2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ca， 只需證：(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，而這是顯

14、然成立的， 所以≥成立． 綜合法： ∵a、b、c∈R＋，∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0， ∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ac)， ∴3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac， ∴3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2， ∴≥. 18．(本題滿分12分)(1)類比“等差數(shù)列”給出“等和數(shù)列”的定義； (2)探索等和數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)各有什么特點(diǎn)，并加以說(shuō)明． [解析]　(1)如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的和等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等和數(shù)列． (2)由(1)知an＋an＋1＝an＋1＋an

15、＋2，∴an＋2＝an. ∴等和數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)相等，偶數(shù)項(xiàng)也相等． 19．(本題滿分12分)某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù). (1)sin2 13°＋cos2 17°－sin 13°cos 17°. (2)sin2 15°＋cos2 15°－sin 15°cos 15°. (3)sin2 18°＋cos2 12°－sin 18°cos 12°. (4)sin2 (－18°)＋cos2 48°－sin (－18)&#

16、176;cos 48°. (5)sin2 (－25°)＋cos2 55°－sin (－25)°cos 55°. ①試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)； ②根據(jù)①的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論． [解析]?、龠x擇(2)式計(jì)算如下sin2 15°＋cos2 15°－sin 15°cos 15°＝1－sin2 30°＝. ②三角恒等式為 sin2 α＋cos2 (30°－α)－sin αcos (30°－α)＝. 證明如下：sin2

17、α＋cos2 (30°－α)－sin αcos (30°－α)＝sin2 α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sinα (cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝sin2 α＋cos2 α＋sin αcos α＋sin2 α－ sin αcos α－sin2 α ＝sin2 α＋cos2 α＝. 20．(本題滿分12分)已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C為等差數(shù)列，且a，b，c分別為角A、B、C的對(duì)邊. 求證：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1. [分析]　利用分析

18、法得出c2＋a2＝b2＋ac，再利用綜合法證明其成立． [解析]　要證(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1， 即證＋＝， 只需證＋＝3. 化簡(jiǎn)，得＋＝1， 即c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)， 所以只需證c2＋a2＝b2＋ac. 因?yàn)椤鰽BC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列， 所以B＝60°， 所以cosB＝＝， 即a2＋c2－b2＝ac成立． ∴(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1成立． 21．(本題滿分12分)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)

19、和Sn； (2)設(shè)bn＝(n∈N＋)，求證：數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列． [解析]　(1)設(shè)等差數(shù)列公差為d， 則3a1＋d＝9＋3， 解得d＝2，∴an＝1＋＋(n－1)×2＝2n＋－1， Sn＝n＝n(n＋)． (2)bn＝＝n＋.用反證法證明． 設(shè)bn，bm，bk成等比數(shù)列(m、n、k互不相等)，則bnbk＝b，即(n＋)(k＋)＝(m＋)2，整理得：nk－m2＝(2m－n－k)，左邊為有理數(shù)，右邊是無(wú)理數(shù)，矛盾，故任何不同三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列． 22．(本題滿分12分)(2017·哈六中期中)已知函數(shù)f(x)＝(x－2)ex－x

20、2＋x＋2. (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值； (2)證明：當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)>x3－x. [解析]　(1)f ′(x)＝(x－1)(ex－1)， 當(dāng)x＜0或x＞1時(shí)，f ′(x)＞0，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f ′(x)＜0， ∴f(x)在(－∞，0)，(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減， 當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)有極大值f(0)＝0，當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)有極小值f(1)＝－e. (2)設(shè)g(x)＝f(x)－x3＋x， 則g′(x)＝(x－1)(ex－－)， 令u(x)＝ex－－，則u′(x)＝ex－， 當(dāng)x≥1時(shí)，u′(x)＝ex－>0，u(x)在[

21、1，＋∞)上單調(diào)遞增，u(x)≥u(1)＝e－2>0， 所以g′(x)＝(x－1)(ex－－)≥0，g(x)＝f(x)－x3＋x在[1，＋∞)上單調(diào)遞增． g(x)＝f(x)－x3＋x≥g(1)＝－e>0，所以f(x)>x3－x. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375