高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第九章 :第一節(jié)變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算演練知能檢測

上傳人:仙*** 文檔編號:43059060 上傳時(shí)間:2021-11-29 格式:DOC 頁數(shù):5 大?。?69.50KB
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1、 精品資料 第一節(jié) 變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 [全盤鞏固] 1.函數(shù)y=x2cos x在x=1處的導(dǎo)數(shù)是(  ) A.0 B.2cos 1-sin 1 C.cos 1-sin 1 D.1 解析:選B ∵y′=(x2cos x)′=(x2)′cos x+x2(cos x)′=2xcos x-x2sin x, ∴y′|x=1=2cos 1-sin 1.[來源:] 2.已知t為實(shí)數(shù),f(x)=(x2-4)(x-t)且f′(-1)=0,則t等于(  ) A.0 B.-

2、1 C. D.2 解析:選C f′(x)=3x2-2tx-4,f′(-1)=3+2t-4=0,t=. 3.(2014麗水模擬)已知P,Q為拋物線x2=2y上兩點(diǎn),點(diǎn)P,Q的橫坐標(biāo)分別為4,-2,過P,Q分別作拋物線的切線,兩切線交于點(diǎn)A,則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為(  ) A.1 B.3 C.-4 D.-8 解析:選C 由題意得P(4,8),Q(-2,2).∵y=,∴y′=x, ∴在P處的切線方程:y-8=4(x-4),即y=4x-8.在Q處的切線方程:y-2=-2(x+2),即y=-2x-2.∴A(1,-4). 4.若曲線y=x2

3、+ax+b在點(diǎn)(0,b)處的切線方程是x-y+1=0,則(  ) A.a(chǎn)=1,b=1 B.a(chǎn)=-1,b=1 C.a(chǎn)=1,b=-1 D.a(chǎn)=-1,b=-1 解析:選A y′=2x+a,因?yàn)榍芯€x-y+1=0的斜率為1,所以20+a=1,即a=1.又(0,b)在直線x-y+1=0上,因此0-b+1=0,即b=1. 5.直線y=x+b是曲線y=ln x(x>0)的一條切線,則實(shí)數(shù)b的值為(  ) A.2 B.ln 2+1 C.ln 2-1 D.ln 2 解析:選C ∵y=ln x的導(dǎo)數(shù)為y′=,∴=,解得x=2,

4、∴切點(diǎn)為(2,ln 2).將其代入直線y=x+b得b=ln 2-1. 6.(2014杭州模擬)已知f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),如果f′(x)是二次函數(shù),f′(x)的圖象開口向上,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,),那么曲線y=f(x)上任意一點(diǎn)處的切線的傾斜角α的取值范圍是(  ) A. B. C. D. 解析:選B 由題意知f′(x)=a(x-1)2+(a>0),所以f′(x)=a(x-1)2+≥ ,即tan α≥ ,所以α∈. 7.已知函數(shù)f(x)=+1,g(x)=aln x,若在x=處函數(shù)f(x)與g(x)的圖象的切線平行

5、,則實(shí)數(shù)a的值為________. 解析:由題意可知f′=x-|x==g′=,可得a=,經(jīng)檢驗(yàn),a=滿足題意. 答案: 8.已知函數(shù)y=f(x)及其導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示,則曲線y=f(x)在點(diǎn)P處的切線方程是________. 解析:根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及圖象可知,曲線y=f(x)在點(diǎn)P處的切線的斜率k=f′(2)=1,又過點(diǎn)P(2,0),所以切線方程為x-y-2=0. 答案:x-y-2=0 9.(2014金華模擬)若曲線f(x)=ax5+ln x存在垂直于y軸的切線,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 解析:曲線f(x)=ax5+ln x存在垂直于y軸的切線

6、,即f′(x)=0有正實(shí)數(shù)解.又∵f′(x)=5ax4+,∴方程5ax4+=0有正實(shí)數(shù)解.∴5ax5=-1有正實(shí)數(shù)解.∴a<0. 故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,0). 答案:(-∞,0) 10.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù). (1)y=(2x2+3)(3x-1); (2)y=(-2)2; (3)y=x-sin cos ; (4)設(shè)f(x)=(ax+b)sin x+(cx+d)cos x,試確定常數(shù)a,b,c,d,使得f′(x)=xcos x. 解:(1)∵y=(2x2+3)(3x-1)=6x3-2x2+9x-3,∴y′=(6x3-2x2+9x-3)′=18x2-4x+9. (2)∵y=(-

7、2)2=x-4+4,∴y′=x′-(4)′+4′=1-4x-=1-2x-. (3)∵y=x-sincos =x-sin x,∴y′=x′-′=1-cos x. (4)由已知f′(x)=[(ax+b) sin x+(cx+d)cos x]′=[(ax+b)sin x]′+[(cx+d)cos x]′=(ax+b)′sin x+(ax+b)(sin x)′+(cx+d)′cos x+(cx+d)(cos x)′=asin x+(ax+b)cos x+ccos x-(cx+d)sin x=(a-cx-d)sin x+(ax+b+c)cos x.∵f′(x)=xcos x,∴必須有即?a=d=1

8、,b=c=0. 11.已知函數(shù)f(x)=x3+x-16.[來源:] (1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,-6)處的切線的方程; (2)直線l為曲線y=f(x)的切線,且經(jīng)過原點(diǎn),求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo); (3)如果曲線y=f(x)的某一切線與直線y=-x+3垂直,求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線的方程. 解:(1)可判定點(diǎn)(2,-6)在曲線y=f(x)上.∵f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1, ∴在點(diǎn)(2,-6)處的切線的斜率為k=f′(2)=13.∴切線的方程為y=13(x-2)+(-6), 即y=13x-32. (2)設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0), 則直線l的斜率為f′(x0)=3x

9、+1, ∴直線l的方程為y=(3x+1)(x-x0)+x+x0-16, 又∵直線l過點(diǎn)(0,0), ∴0=(3x+1)(-x0)+x+x0-16, 整理得,x=-8,∴x0=-2. ∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26, k=3(-2)2+1=13. ∴直線l的方程為y=13x,切點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-26). (3)∵切線與直線y=-+3垂直,∴切線的斜率k=4.設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0,y0), 則f′(x0)=3x+1=4,解得x0=1.∴或 切線方程為y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.即y=4x-18或y=4x-14. 12.設(shè)函數(shù)y=x2-2x+2的

10、圖象為C1,函數(shù)y=-x2+ax+b的圖象為C2,已知過C1與C2的一個(gè)交點(diǎn)的兩切線互相垂直. (1)求a,b之間的關(guān)系; (2)求ab的最大值. 解:(1)對于C1:y=x2-2x+2,有y′=2x-2,對于C2:y=-x2+ax+b,有y′= -2x+a,設(shè)C1與C2的一個(gè)交點(diǎn)為(x0,y0),由題意知過交點(diǎn)(x0,y0)的兩條切線互相垂直.∴(2x0-2)(-2x0+a)=-1,即4x-2(a+2)x0+2a-1=0,① 又點(diǎn)(x0,y0)在C1與C2上,故有?2x-(a+2)x0+2-b=0.② 由①②消去x0,可得a+b=. (2)由(1)知:b=-a,∴ab=a=-2

11、+.∴當(dāng)a=時(shí),(ab)max=. [沖擊名校] (2013四川高考)已知函數(shù)f(x)=其中a是實(shí)數(shù).設(shè)A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))為該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn),且x1<x2.[來源:] (1)指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;[來源:] (2)若函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)A,B處的切線互相垂直,且x2<0,證明:x2-x1≥1; (3)若函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)A,B處的切線重合,求a的取值范圍. 解:(1)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-1),單調(diào)遞增區(qū)間為[-1,0),(0,+∞). (2)證明:由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知,點(diǎn)A處的切線斜率為f′(x1),點(diǎn)B處的切線斜率為f

12、′(x2),故當(dāng)點(diǎn)A處的切線與點(diǎn)B處的切線垂直時(shí),有f′(x1)f′(x2)=-1. 當(dāng)x<0時(shí),對函數(shù)f(x)求導(dǎo),得f′(x)=2x+2.因?yàn)閤1<x2<0,所以(2x1+2)(2x2+2)=-1,所以2x1+2<0,2x2+2>0.因此x2-x1=[-(2x1+2)+2x2+2]≥=1.當(dāng)且僅當(dāng)-(2x1+2)=2x2+2=1,即x1=-且x2=-時(shí)等號成立 所以,函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)A,B處的切線互相垂直時(shí),有x2-x1≥1. (3)當(dāng)x1<x2<0或x2>x1>0時(shí),f′(x1)≠f′(x2),故x1<0<x2.當(dāng)x1<0時(shí),函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(x1,f(x1))處的切線

13、方程為y-(x+2x1+a)=(2x1+2)(x-x1),即y=(2x1+2)x-x+a. 當(dāng)x2>0時(shí),函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(x2,f(x2))處的切線方程為y-ln x2=(x-x2),即y=x+ln x2-1.兩切線重合的充要條件是 由①及x1<0<x2知,0<<2.由①②得,a=ln x2+2-1=-ln+2-1.[來源:] 令t=,則0<t<2,且a=t2-t-ln t.設(shè)h(t)=t2-t-ln t(0<t<2), 則h′(t)=t-1-=<0,所以h(t)(0<t<2)為減函數(shù). 則h(t)>h(2)=-ln 2-1,所以a>-ln 2-1.而當(dāng)t∈(0,2)且t趨近于0時(shí),h(t)無限增大, 所以a的取值范圍是(-ln 2-1,+∞).故當(dāng)函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)A,B處的切線重合時(shí),a的取值范圍是(-ln 2-1,+∞).

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