高考數(shù)學復習：第九章 ：第一節(jié)變化率與導數(shù)、導數(shù)的計算演練知能檢測

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1、 精品資料 第一節(jié)　變化率與導數(shù)、導數(shù)的計算 [全盤鞏固] 1．函數(shù)y＝x2cos x在x＝1處的導數(shù)是(　　) A．0 B．2cos 1－sin 1 C．cos 1－sin 1 D．1 解析：選B　∵y′＝(x2cos x)′＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2xcos x－x2sin x， ∴y′|x＝1＝2cos 1－sin 1.[來源:] 2．已知t為實數(shù)，f(x)＝(x2－4)(x－t)且f′(－1)＝0，則t等于(　　) A．0 B．－

2、1 C. D．2 解析：選C　f′(x)＝3x2－2tx－4，f′(－1)＝3＋2t－4＝0，t＝. 3．(2014麗水模擬)已知P，Q為拋物線x2＝2y上兩點，點P，Q的橫坐標分別為4，－2，過P，Q分別作拋物線的切線，兩切線交于點A，則點A的縱坐標為(　　) A．1 B．3 C．－4 D．－8 解析：選C　由題意得P(4,8)，Q(－2,2)．∵y＝，∴y′＝x， ∴在P處的切線方程：y－8＝4(x－4)，即y＝4x－8.在Q處的切線方程：y－2＝－2(x＋2)，即y＝－2x－2.∴A(1，－4)． 4．若曲線y＝x2

3、＋ax＋b在點(0，b)處的切線方程是x－y＋1＝0，則(　　) A．a(chǎn)＝1，b＝1 B．a(chǎn)＝－1，b＝1 C．a(chǎn)＝1，b＝－1 D．a(chǎn)＝－1，b＝－1 解析：選A　y′＝2x＋a，因為切線x－y＋1＝0的斜率為1，所以20＋a＝1，即a＝1.又(0，b)在直線x－y＋1＝0上，因此0－b＋1＝0，即b＝1. 5．直線y＝x＋b是曲線y＝ln x(x>0)的一條切線，則實數(shù)b的值為(　　) A．2 B．ln 2＋1 C．ln 2－1 D．ln 2 解析：選C　∵y＝ln x的導數(shù)為y′＝，∴＝，解得x＝2，

4、∴切點為(2，ln 2)．將其代入直線y＝x＋b得b＝ln 2－1. 6．(2014杭州模擬)已知f′(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù)，如果f′(x)是二次函數(shù)，f′(x)的圖象開口向上，頂點坐標為(1，)，那么曲線y＝f(x)上任意一點處的切線的傾斜角α的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：選B　由題意知f′(x)＝a(x－1)2＋(a>0)，所以f′(x)＝a(x－1)2＋≥ ，即tan α≥ ，所以α∈. 7．已知函數(shù)f(x)＝＋1，g(x)＝aln x，若在x＝處函數(shù)f(x)與g(x)的圖象的切線平行

5、，則實數(shù)a的值為________． 解析：由題意可知f′＝x－|x＝＝g′＝，可得a＝，經(jīng)檢驗，a＝滿足題意． 答案： 8．已知函數(shù)y＝f(x)及其導函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則曲線y＝f(x)在點P處的切線方程是________． 解析：根據(jù)導數(shù)的幾何意義及圖象可知，曲線y＝f(x)在點P處的切線的斜率k＝f′(2)＝1，又過點P(2,0)，所以切線方程為x－y－2＝0. 答案：x－y－2＝0 9．(2014金華模擬)若曲線f(x)＝ax5＋ln x存在垂直于y軸的切線，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：曲線f(x)＝ax5＋ln x存在垂直于y軸的切線

6、，即f′(x)＝0有正實數(shù)解．又∵f′(x)＝5ax4＋，∴方程5ax4＋＝0有正實數(shù)解．∴5ax5＝－1有正實數(shù)解．∴a<0. 故實數(shù)a的取值范圍是(－∞，0)． 答案：(－∞，0) 10．求下列函數(shù)的導數(shù)． (1)y＝(2x2＋3)(3x－1)； (2)y＝(－2)2； (3)y＝x－sin cos ； (4)設f(x)＝(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x，試確定常數(shù)a，b，c，d，使得f′(x)＝xcos x. 解：(1)∵y＝(2x2＋3)(3x－1)＝6x3－2x2＋9x－3，∴y′＝(6x3－2x2＋9x－3)′＝18x2－4x＋9. (2)∵y＝(－

7、2)2＝x－4＋4，∴y′＝x′－(4)′＋4′＝1－4x－＝1－2x－. (3)∵y＝x－sincos ＝x－sin x，∴y′＝x′－′＝1－cos x. (4)由已知f′(x)＝[(ax＋b) sin x＋(cx＋d)cos x]′＝[(ax＋b)sin x]′＋[(cx＋d)cos x]′＝(ax＋b)′sin x＋(ax＋b)(sin x)′＋(cx＋d)′cos x＋(cx＋d)(cos x)′＝asin x＋(ax＋b)cos x＋ccos x－(cx＋d)sin x＝(a－cx－d)sin x＋(ax＋b＋c)cos x.∵f′(x)＝xcos x，∴必須有即?a＝d＝1

8、，b＝c＝0. 11．已知函數(shù)f(x)＝x3＋x－16.[來源:] (1)求曲線y＝f(x)在點(2，－6)處的切線的方程； (2)直線l為曲線y＝f(x)的切線，且經(jīng)過原點，求直線l的方程及切點坐標； (3)如果曲線y＝f(x)的某一切線與直線y＝－x＋3垂直，求切點坐標與切線的方程． 解：(1)可判定點(2，－6)在曲線y＝f(x)上．∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1， ∴在點(2，－6)處的切線的斜率為k＝f′(2)＝13.∴切線的方程為y＝13(x－2)＋(－6)， 即y＝13x－32. (2)設切點為(x0，y0)， 則直線l的斜率為f′(x0)＝3x

9、＋1， ∴直線l的方程為y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16， 又∵直線l過點(0,0)， ∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16， 整理得，x＝－8，∴x0＝－2. ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， k＝3(－2)2＋1＝13. ∴直線l的方程為y＝13x，切點坐標為(－2，－26)． (3)∵切線與直線y＝－＋3垂直，∴切線的斜率k＝4.設切點的坐標為(x0，y0)， 則f′(x0)＝3x＋1＝4，解得x0＝1.∴或 切線方程為y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.即y＝4x－18或y＝4x－14. 12．設函數(shù)y＝x2－2x＋2的

10、圖象為C1，函數(shù)y＝－x2＋ax＋b的圖象為C2，已知過C1與C2的一個交點的兩切線互相垂直． (1)求a，b之間的關(guān)系； (2)求ab的最大值． 解：(1)對于C1：y＝x2－2x＋2，有y′＝2x－2，對于C2：y＝－x2＋ax＋b，有y′＝ －2x＋a，設C1與C2的一個交點為(x0，y0)，由題意知過交點(x0，y0)的兩條切線互相垂直．∴(2x0－2)(－2x0＋a)＝－1，即4x－2(a＋2)x0＋2a－1＝0，① 又點(x0，y0)在C1與C2上，故有?2x－(a＋2)x0＋2－b＝0.② 由①②消去x0，可得a＋b＝. (2)由(1)知：b＝－a，∴ab＝a＝－2

11、＋.∴當a＝時，(ab)max＝. [沖擊名校] (2013四川高考)已知函數(shù)f(x)＝其中a是實數(shù)．設A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))為該函數(shù)圖象上的兩點，且x1＜x2.[來源:] (1)指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；[來源:] (2)若函數(shù)f(x)的圖象在點A，B處的切線互相垂直，且x2＜0，證明：x2－x1≥1； (3)若函數(shù)f(x)的圖象在點A，B處的切線重合，求a的取值范圍． 解：(1)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－1)，單調(diào)遞增區(qū)間為[－1,0)，(0，＋∞)． (2)證明：由導數(shù)的幾何意義可知，點A處的切線斜率為f′(x1)，點B處的切線斜率為f

12、′(x2)，故當點A處的切線與點B處的切線垂直時，有f′(x1)f′(x2)＝－1. 當x＜0時，對函數(shù)f(x)求導，得f′(x)＝2x＋2.因為x1＜x2＜0，所以(2x1＋2)(2x2＋2)＝－1，所以2x1＋2＜0,2x2＋2＞0.因此x2－x1＝[－(2x1＋2)＋2x2＋2]≥＝1.當且僅當－(2x1＋2)＝2x2＋2＝1，即x1＝－且x2＝－時等號成立 所以，函數(shù)f(x)的圖象在點A，B處的切線互相垂直時，有x2－x1≥1. (3)當x1＜x2＜0或x2＞x1＞0時，f′(x1)≠f′(x2)，故x1＜0＜x2.當x1＜0時，函數(shù)f(x)的圖象在點(x1，f(x1))處的切線

13、方程為y－(x＋2x1＋a)＝(2x1＋2)(x－x1)，即y＝(2x1＋2)x－x＋a. 當x2＞0時，函數(shù)f(x)的圖象在點(x2，f(x2))處的切線方程為y－ln x2＝(x－x2)，即y＝x＋ln x2－1.兩切線重合的充要條件是 由①及x1＜0＜x2知，0＜＜2.由①②得，a＝ln x2＋2－1＝－ln＋2－1.[來源:] 令t＝，則0＜t＜2，且a＝t2－t－ln t.設h(t)＝t2－t－ln t(0＜t＜2)， 則h′(t)＝t－1－＝＜0，所以h(t)(0＜t＜2)為減函數(shù)． 則h(t)＞h(2)＝－ln 2－1，所以a＞－ln 2－1.而當t∈(0,2)且t趨近于0時，h(t)無限增大， 所以a的取值范圍是(－ln 2－1，＋∞)．故當函數(shù)f(x)的圖象在點A，B處的切線重合時，a的取值范圍是(－ln 2－1，＋∞)．