高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第九章 ：第六節(jié)數(shù)學(xué)歸納法突破熱點題型

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1、 精品資料 第六節(jié)　數(shù)學(xué)歸納法 考點一 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 　 [例1]　用數(shù)學(xué)歸納法證明： ＋＋…＋＝(n∈N*)． [自主解答]　①當(dāng)n＝1時，左邊＝＝，右邊＝＝， 左邊＝右邊，等式成立． ②假設(shè)n＝k(k≥1)時，等式成立． 即＋＋…＋＝， 當(dāng)n＝k＋1時，左邊＝＋＋…＋＋ ＝＋＝ ＝＝， 所以當(dāng)n＝k＋1時，命題成立．由①②可得對任意n∈N*，等式成立． 【方法規(guī)律】 [來源:] 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的方法 (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題，要“先看項”，弄清等式兩邊的構(gòu)成

2、規(guī)律，等式兩邊各有多少項，初始值n0是多少． (2)由n＝k時命題成立，推出n＝k＋1時等式成立，一要找出等式兩邊的變化(差異)，明確變形目標(biāo)；二要充分利用歸納假設(shè)，進行合理變形，正確寫出證明過程． 求證：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n135…(2n－1)(n∈N*)． 證明：(1)當(dāng)n＝1時，等式左邊＝2，右邊＝211＝2，∴等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時，等式成立，即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k135…(2k－1)． 當(dāng)n＝k＋1時，左邊＝(k＋2)(k＋3)…2k(2k＋1)(2k＋2) ＝2(k＋1)(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(

3、2k＋1)＝22k135…(2k－1)(2k＋1) ＝2k＋1135…(2k－1)(2k＋1)． 所以當(dāng)n＝k＋1時，等式成立．由(1)(2)知，對任意n∈N*，原等式成立． [來源:] 考點二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 　 [例2]　已知數(shù)列{an}，an≥0，a1＝0，a＋an＋1－1＝a.求證：當(dāng)n∈N*時，an

4、ak＋2＋ak＋1＋1)>0， 又ak＋1>ak≥0，所以ak＋2＋ak＋1＋1>0，所以ak＋1a2成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，k≥1)時，ak＋1

5、0， 又ak＋2＋ak＋1＋1<－1＋(－1)＋1＝－1，所以ak＋2－ak＋1<0，所以ak＋2

6、Sn)均在函數(shù)y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均為常數(shù))的圖象上． (1)求r的值； (2)當(dāng)b＝2時，記bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，證明：對任意 的n∈N*，不等式…>成立． 解：(1)由題意，Sn＝bn＋r，當(dāng)n≥2時，Sn－1＝bn－1＋r.所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)． 由于b>0且b≠1，所以n≥2時，{an}是以b為公比的等比數(shù)列． 又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，故＝b，即＝b，解得r＝－1. (2)證明：由(1)知an＝2n－1，因此bn＝2n(n∈N*)，所證不等式為…>. ①當(dāng)n＝1時，左式＝，右式＝，左式>右式，所以結(jié)

7、論成立． ②假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N*)時結(jié)論成立，即…>，則當(dāng)n＝k＋1時， …>＝，要證當(dāng)n＝k＋1時結(jié)論成立， 只需證≥，即證≥， 由均值不等式＝≥成立，故≥成立， 所以，當(dāng)n＝k＋1時，結(jié)論成立． 由①②可知n∈N*時，不等式…>成立． 考點三 “歸納—猜想—證明”問題 　 [例3]　已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足：Sn＝＋－1，且an>0，n∈N*. (1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通項公式；[來源:] (2)證明通項公式的正確性． [自主解答]　(1)當(dāng)n＝1時，由已知得a1＝＋－1，a＋2a1－2＝0.∴a1＝－1(a1>0)．

8、當(dāng)n＝2時，由已知得a1＋a2＝＋－1， 將a1＝－1代入并整理得a＋2 a2－2＝0.∴a2＝－(a2>0)． 同理可得a3＝－.猜想an＝－(n∈N*)． (2)①由(1)知，當(dāng)n＝1,2,3時，通項公式成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥3，k∈N*)時，通項公式成立， 即ak＝－.由ak＋1＝Sk＋1－Sk＝＋－－， 將ak＝－代入上式并整理得a＋2ak＋1－2＝0， 解得：ak＋1＝－(an>0)．即當(dāng)n＝k＋1時，通項公式也成立． 由①和②，可知對所有n∈N*，an＝－都成立． 【方法規(guī)律】 歸納—猜想—證明類問題的解題步驟 (1)利用數(shù)學(xué)歸納法可以探索與正整

9、數(shù)n有關(guān)的未知問題、存在性問題，其基本模式是“歸納—猜想—證明”，即先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后經(jīng)邏輯推理即演繹推理論證結(jié)論的正確性． (2)“歸納—猜想—證明”的基本步驟是“試驗—歸納—猜想—證明”．高中階段與數(shù)列結(jié)合的問題是最常見的問題． (2014金華模擬)已知數(shù)列{an}滿足條件：a1≥1，an＋1≥(an＋1)2－1，試比較＋＋＋…＋與1的大小，并說明理由． 解：∵函數(shù)g(x)＝(x＋1)2－1，在[1，＋∞)上單調(diào)遞增． 于是由a1≥1，得a2≥(a1＋1)2－1≥22－1，進而a3≥(a2＋1)2－1≥24－1>23－1， 由此猜想：an≥2n－1. 下面用數(shù)學(xué)

10、歸納法證明這個猜想： ①當(dāng)n＝1時，a1≥21－1＝1，結(jié)論成立； ②假設(shè)n＝k(k≥1且k∈N*)時結(jié)論成立，即ak≥2k－1. 當(dāng)n＝k＋1時，由g(x)＝(x＋1)2－1在區(qū)間[1，＋∞)上單調(diào)遞增知ak＋1≥(ak＋1)2－1≥22k－1≥2k＋1－1，即n＝k＋1時，結(jié)論也成立． 由①②知，對任意n∈N*，都有an≥2n－1. 即1＋an≥2n，∴≤， ∴＋＋＋…＋≤＋＋＋…＋＝1－n<1. ————————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————[來源:] 1種方法——尋找遞推關(guān)系的方法 　(1)在第一步驗證時，不妨多計算幾項，并爭取正確寫出來，這樣對發(fā)現(xiàn)遞推關(guān)系是有幫助的． (2)探求數(shù)列通項公式要善于觀察式子或命題的變化規(guī)律，觀察n處在哪個位置． (3)在書寫f(k＋1)時，一定要把包含f(k)的式子寫出來，尤其是f(k)中的最后一項，除此之外，多了哪些項，少了哪些項都要分析清楚． 3個注意點——運用數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)注意的三個問題 (1)第一步驗證n＝n0時，n0不一定為1，要根據(jù)題目要求選擇合適的起始值． (2)由假設(shè)n＝k成立證n＝k＋1時，要推導(dǎo)詳實，并且一定要運用n＝k成立的結(jié)論． (3)要注意n＝k到n＝k＋1時增加的項數(shù)．