《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第九章 :第六節(jié)數(shù)學(xué)歸納法突破熱點(diǎn)題型》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第九章 :第六節(jié)數(shù)學(xué)歸納法突破熱點(diǎn)題型(4頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、 精品資料
第六節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法
考點(diǎn)一
用數(shù)學(xué)歸納法證明等式
[例1] 用數(shù)學(xué)歸納法證明:
++…+=(n∈N*).
[自主解答] ①當(dāng)n=1時(shí),左邊==,右邊==,
左邊=右邊,等式成立.
②假設(shè)n=k(k≥1)時(shí),等式成立.
即++…+=,
當(dāng)n=k+1時(shí),左邊=++…++
=+=
==,
所以當(dāng)n=k+1時(shí),命題成立.由①②可得對任意n∈N*,等式成立.
【方法規(guī)律】 [來源:]
用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的方法
(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題,要“先看項(xiàng)”,弄清等式兩邊的構(gòu)成
2、規(guī)律,等式兩邊各有多少項(xiàng),初始值n0是多少.
(2)由n=k時(shí)命題成立,推出n=k+1時(shí)等式成立,一要找出等式兩邊的變化(差異),明確變形目標(biāo);二要充分利用歸納假設(shè),進(jìn)行合理變形,正確寫出證明過程.
求證:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n135…(2n-1)(n∈N*).
證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),等式左邊=2,右邊=211=2,∴等式成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí),等式成立,即(k+1)(k+2)…(k+k)=2k135…(2k-1).
當(dāng)n=k+1時(shí),左邊=(k+2)(k+3)…2k(2k+1)(2k+2)
=2(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)(
3、2k+1)=22k135…(2k-1)(2k+1)
=2k+1135…(2k-1)(2k+1).
所以當(dāng)n=k+1時(shí),等式成立.由(1)(2)知,對任意n∈N*,原等式成立.
[來源:]
考點(diǎn)二
用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式
[例2] 已知數(shù)列{an},an≥0,a1=0,a+an+1-1=a.求證:當(dāng)n∈N*時(shí),an
4、ak+2+ak+1+1)>0,
又ak+1>ak≥0,所以ak+2+ak+1+1>0,所以ak+1a2成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*,k≥1)時(shí),ak+1
5、0,
又ak+2+ak+1+1<-1+(-1)+1=-1,所以ak+2-ak+1<0,所以ak+2
6、Sn)均在函數(shù)y=bx+r(b>0且b≠1,b,r均為常數(shù))的圖象上.
(1)求r的值;
(2)當(dāng)b=2時(shí),記bn=2(log2an+1)(n∈N*),證明:對任意
的n∈N*,不等式…>成立.
解:(1)由題意,Sn=bn+r,當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=bn-1+r.所以an=Sn-Sn-1=bn-1(b-1).
由于b>0且b≠1,所以n≥2時(shí),{an}是以b為公比的等比數(shù)列.
又a1=b+r,a2=b(b-1),故=b,即=b,解得r=-1.
(2)證明:由(1)知an=2n-1,因此bn=2n(n∈N*),所證不等式為…>.
①當(dāng)n=1時(shí),左式=,右式=,左式>右式,所以結(jié)
7、論成立.
②假設(shè)n=k(k≥1,k∈N*)時(shí)結(jié)論成立,即…>,則當(dāng)n=k+1時(shí),
…>=,要證當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立,
只需證≥,即證≥,
由均值不等式=≥成立,故≥成立,
所以,當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論成立.
由①②可知n∈N*時(shí),不等式…>成立.
考點(diǎn)三
“歸納—猜想—證明”問題
[例3] 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足:Sn=+-1,且an>0,n∈N*.
(1)求a1,a2,a3,并猜想{an}的通項(xiàng)公式;[來源:]
(2)證明通項(xiàng)公式的正確性.
[自主解答] (1)當(dāng)n=1時(shí),由已知得a1=+-1,a+2a1-2=0.∴a1=-1(a1>0).
8、當(dāng)n=2時(shí),由已知得a1+a2=+-1,
將a1=-1代入并整理得a+2 a2-2=0.∴a2=-(a2>0).
同理可得a3=-.猜想an=-(n∈N*).
(2)①由(1)知,當(dāng)n=1,2,3時(shí),通項(xiàng)公式成立.
②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥3,k∈N*)時(shí),通項(xiàng)公式成立,
即ak=-.由ak+1=Sk+1-Sk=+--,
將ak=-代入上式并整理得a+2ak+1-2=0,
解得:ak+1=-(an>0).即當(dāng)n=k+1時(shí),通項(xiàng)公式也成立.
由①和②,可知對所有n∈N*,an=-都成立.
【方法規(guī)律】
歸納—猜想—證明類問題的解題步驟
(1)利用數(shù)學(xué)歸納法可以探索與正整
9、數(shù)n有關(guān)的未知問題、存在性問題,其基本模式是“歸納—猜想—證明”,即先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論,然后經(jīng)邏輯推理即演繹推理論證結(jié)論的正確性.
(2)“歸納—猜想—證明”的基本步驟是“試驗(yàn)—?dú)w納—猜想—證明”.高中階段與數(shù)列結(jié)合的問題是最常見的問題.
(2014金華模擬)已知數(shù)列{an}滿足條件:a1≥1,an+1≥(an+1)2-1,試比較+++…+與1的大小,并說明理由.
解:∵函數(shù)g(x)=(x+1)2-1,在[1,+∞)上單調(diào)遞增.
于是由a1≥1,得a2≥(a1+1)2-1≥22-1,進(jìn)而a3≥(a2+1)2-1≥24-1>23-1,
由此猜想:an≥2n-1.
下面用數(shù)學(xué)
10、歸納法證明這個(gè)猜想:
①當(dāng)n=1時(shí),a1≥21-1=1,結(jié)論成立;
②假設(shè)n=k(k≥1且k∈N*)時(shí)結(jié)論成立,即ak≥2k-1.
當(dāng)n=k+1時(shí),由g(x)=(x+1)2-1在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增知ak+1≥(ak+1)2-1≥22k-1≥2k+1-1,即n=k+1時(shí),結(jié)論也成立.
由①②知,對任意n∈N*,都有an≥2n-1.
即1+an≥2n,∴≤,
∴+++…+≤+++…+=1-n<1.
————————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————[來源:]
1種方法——尋找遞推關(guān)系的方法
(1)在第一步驗(yàn)證時(shí),不妨多計(jì)算幾項(xiàng),并爭取正確寫出來,這樣對發(fā)現(xiàn)遞推關(guān)系是有幫助的.
(2)探求數(shù)列通項(xiàng)公式要善于觀察式子或命題的變化規(guī)律,觀察n處在哪個(gè)位置.
(3)在書寫f(k+1)時(shí),一定要把包含f(k)的式子寫出來,尤其是f(k)中的最后一項(xiàng),除此之外,多了哪些項(xiàng),少了哪些項(xiàng)都要分析清楚.
3個(gè)注意點(diǎn)——運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)注意的三個(gè)問題
(1)第一步驗(yàn)證n=n0時(shí),n0不一定為1,要根據(jù)題目要求選擇合適的起始值.
(2)由假設(shè)n=k成立證n=k+1時(shí),要推導(dǎo)詳實(shí),并且一定要運(yùn)用n=k成立的結(jié)論.
(3)要注意n=k到n=k+1時(shí)增加的項(xiàng)數(shù).