《精校版高中數(shù)學(xué)人教版選修45評(píng)估驗(yàn)收卷：第四講 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 Word版含答案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《精校版高中數(shù)學(xué)人教版選修45評(píng)估驗(yàn)收卷：第四講 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 Word版含答案（8頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、最新資料最新資料最新資料最新資料最新資料最新資料最新資料最新資料最新資料最新資料評(píng)估驗(yàn)收卷評(píng)估驗(yàn)收卷( (四四) )( (時(shí)間：時(shí)間：120120 分鐘分鐘滿分：滿分：150150 分分) )一一、選擇題選擇題( (本大題共本大題共 1212 小題小題，每小題每小題 5 5 分分，共共 6060 分分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只只有一項(xiàng)是符合題目要求的有一項(xiàng)是符合題目要求的) )1 1下列說法中正確的是下列說法中正確的是( () )A A若一個(gè)命題當(dāng)若一個(gè)命題當(dāng)n n1 1，2 2 時(shí)為真時(shí)為真，則此命題為真命題則此命題為真命題B B若一個(gè)命題當(dāng)若一個(gè)命題當(dāng)n nk k
2、時(shí)成立且推得時(shí)成立且推得n nk k1 1 時(shí)也成立時(shí)也成立，則此命題為真命題則此命題為真命題C C若一個(gè)命題當(dāng)若一個(gè)命題當(dāng)n n1 1，2 2 時(shí)為真時(shí)為真，則當(dāng)則當(dāng)n n3 3 時(shí)此命題也為真時(shí)此命題也為真D D若一個(gè)命題當(dāng)若一個(gè)命題當(dāng)n n1 1 時(shí)為真時(shí)為真，n nk k時(shí)為真能推得時(shí)為真能推得n nk k1 1 時(shí)亦為真時(shí)亦為真，則此命題為真命則此命題為真命題題解析：由數(shù)學(xué)歸納法定義可知解析：由數(shù)學(xué)歸納法定義可知，只有當(dāng)只有當(dāng)n n的初始取值成立且由的初始取值成立且由n nk k成立能推得成立能推得n nk k1 1時(shí)也成立時(shí)時(shí)也成立時(shí)，才可以證明結(jié)論正確才可以證明結(jié)論正確，二者缺一
3、不可二者缺一不可A A，B B，C C 項(xiàng)均不全面項(xiàng)均不全面答案：答案：D D2 2等式等式 1 12 22 22 23 32 2n n2 21 12 2(5(5n n2 27 7n n4)(4)() )A An n為任何正整數(shù)時(shí)都成立為任何正整數(shù)時(shí)都成立B B僅當(dāng)僅當(dāng)n n1,1, 2 2，3 3 時(shí)成立時(shí)成立C C當(dāng)當(dāng)n n4 4 時(shí)成立時(shí)成立，n n5 5 時(shí)不成立時(shí)不成立D D僅當(dāng)僅當(dāng)n n4 4 時(shí)不成立時(shí)不成立解析：把解析：把n n1 1，2 2，3 3，4 4，5 5 代入驗(yàn)證可知代入驗(yàn)證可知 B B 正確正確答案：答案：B B3 3用數(shù)學(xué)歸納法證用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式明不等式
4、1 11 12 23 31 13 33 31 1n n3 32 21 1n n( (n n2 2，n nN N) )時(shí)時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式不等式( () )A A1 11 12 23 32 21 12 2B B1 11 12 23 31 13 33 32 21 13 3C C1 11 12 23 32 21 13 3D D1 11 12 23 31 13 33 32 21 14 4解析：因?yàn)榻馕觯阂驗(yàn)閚 n2 2，所以第一步驗(yàn)證不等式應(yīng)為所以第一步驗(yàn)證不等式應(yīng)為n n2 2 時(shí)時(shí) 1 11 12 23 32 21 12 2. .答案：答案：A A4 4設(shè)設(shè)f f( (n n) )
5、1 11 12 21 13 31 13 3n n1 1( (n nN N) )，則則f f( (n n1)1)f f( (n n) )等于等于( () )A.A.1 13 3n n2 2B.B.1 13 3n n1 13 3n n1 1C.C.1 13 3n n1 11 13 3n n2 2D.D.1 13 3n n1 13 3n n1 11 13 3n n2 2解析解析： 因因?yàn)闉閒 f( (n n) )1 11 12 21 13 31 13 3n n1 1， 所所以以f f( (n n1)1)1 11 12 21 13 31 13 3n n1 11 13 3n n1 13 3n n1 11
6、 13 3n n2 2，所以所以f f( (n n1)1)f f( (n n) )1 13 3n n1 13 3n n1 11 13 3n n2 2. .答案：答案：D D5 5已知已知f f( (n n) )1 1n n1 1n n1 11 1n n2 21 1n n2 2，則則( () )A Af f( (n n) )中共有中共有n n項(xiàng)項(xiàng)，當(dāng)當(dāng)n n2 2 時(shí)時(shí)，f f(2)(2)1 12 21 13 3B Bf f( (n n) )中共有中共有n n1 1 項(xiàng)項(xiàng)，當(dāng)當(dāng)n n2 2 時(shí)時(shí)，f f(2)(2)1 12 21 13 31 14 4C Cf f( (n n) )中共有中共有n
7、n2 2n n項(xiàng)項(xiàng)，當(dāng)當(dāng)n n2 2 時(shí)時(shí)，f f(2)(2)1 12 21 13 3D Df f( (n n) )中共有中共有n n2 2n n1 1 項(xiàng)項(xiàng)，當(dāng)當(dāng)n n2 2 時(shí)時(shí)，f f(2)(2)1 12 21 13 31 14 4解析：本題主要考查數(shù)列的概念解析：本題主要考查數(shù)列的概念由由n n到到n n2 2一共有整數(shù)一共有整數(shù)n n2 2n n1 1 個(gè)個(gè)，所以所以f f( (n n) )有有n n2 2n n1 1 項(xiàng)項(xiàng)，當(dāng)當(dāng)n n2 2 時(shí)代入得時(shí)代入得，f f(2)(2)1 12 21 13 31 14 4. .故本題正確答案為故本題正確答案為 D.D.答案：答案：D D6
8、6用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)當(dāng)n n為正奇數(shù)時(shí)為正奇數(shù)時(shí)，x xn ny yn n能被能被x xy y整除整除”的第二步是的第二步是( () )A A假設(shè)假設(shè)n n2 2k k1 1 時(shí)正確時(shí)正確，再推再推n n2 2k k3 3 時(shí)正確時(shí)正確( (k kN N) )B B假設(shè)假設(shè)n n2 2k k1 1 時(shí)正確時(shí)正確，再推再推n n2 2k k1 1 時(shí)正確時(shí)正確( (k kN N) )C C假設(shè)假設(shè)n nk k時(shí)正確時(shí)正確，再推再推n nk k1 1 時(shí)正確時(shí)正確( (k kN N) )D D假設(shè)假設(shè)n nk k( (k k1)1)時(shí)正確時(shí)正確，再推再推n nk k2 2 時(shí)正確
9、時(shí)正確( (k kN N) )解析解析：n n為正奇數(shù)為正奇數(shù)，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟，第二步應(yīng)先假設(shè)第二步應(yīng)先假設(shè)n n取第取第k k個(gè)正奇數(shù)也成個(gè)正奇數(shù)也成立立，本題即假設(shè)本題即假設(shè)n n2 2k k1 1 時(shí)正確時(shí)正確，再推再推n n取第取第( (k k1)1)個(gè)正奇數(shù)個(gè)正奇數(shù)，即即n n2 2k k1 1 時(shí)正確時(shí)正確答案：答案：B B7 7平面內(nèi)原有平面內(nèi)原有k k條直線條直線，它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)記為它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)記為f f( (k k) )，則增加一條直線則增加一條直線l l后后，它們的交點(diǎn)它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為個(gè)數(shù)最多為( () )A Af f( (k k)
10、)1 1B Bf f( (k k) )k kC Cf f( (k k) )k k1 1D Dk kf f( (k k) )解析解析：第第k k1 1 條直線與前條直線與前k k條直線都相交有交點(diǎn)條直線都相交有交點(diǎn)，所以應(yīng)比原先增加所以應(yīng)比原先增加k k個(gè)交點(diǎn)個(gè)交點(diǎn)故應(yīng)故應(yīng)選選B.B.答案：答案：B B8 8用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明( (n n1)(1)(n n2)2)( (n nn n) )2 2n n1 13 3(2(2n n1)(1)(n nN N) )成立時(shí)成立時(shí)，從從k k到到k k1 1 左邊需增乘的代數(shù)式是左邊需增乘的代數(shù)式是( () )A.A.2 2k k1 1k k1
11、1B B2 2(2(2k k1)1)C C2 2k k1 1D.D.2 2k k3 3k k1 1解析解析： 要求左邊從要求左邊從k k到到k k1 1 左邊需增乘的代數(shù)式左邊需增乘的代數(shù)式， 可以先寫出可以先寫出n nk k時(shí)時(shí)， 左邊左邊( (k k1)(1)(k k2)2)( (k kk k) )，再寫出再寫出n nk k1 1 時(shí)時(shí)，左邊左邊( (k k2)(2)(k k3)3)( (k kk k)()(k kk k1)(1)(k kk k2 2) )，然然后比較兩式后比較兩式，得出需增乘得出需增乘（k kk k1 1） （k kk k2 2）k k1 12 2(2(2k k1)1)答
12、案：答案：B B9 9如果命題如果命題P P( (n n) )對(duì)于對(duì)于n nk k成立成立，則它對(duì)則它對(duì)n nk k2 2 亦成立亦成立，又若又若P P( (n n) )對(duì)對(duì)n n2 2 成立成立，則則下列結(jié)論正確的是下列結(jié)論正確的是( () )A AP P( (n n) )對(duì)所有自然數(shù)對(duì)所有自然數(shù)n n成立成立B BP P( (n n) )對(duì)所有偶自然數(shù)對(duì)所有偶自然數(shù)n n成立成立C CP P( (n n) )對(duì)所有正自然數(shù)對(duì)所有正自然數(shù)n n成立成立D DP P( (n n) )對(duì)所有比對(duì)所有比 1 1 大的自然數(shù)大的自然數(shù)n n成立成立解析解析：因?yàn)橐驗(yàn)閚 n2 2 時(shí)時(shí)，由由n nk
13、k2 2 的的“遞推遞推”關(guān)系關(guān)系，可得到可得到n n4 4 成立成立，再得到再得到n n6 6 成立成立，依次類推依次類推，因此因此，命題命題P P( (n n) )對(duì)所有偶自然數(shù)對(duì)所有偶自然數(shù)n n成立成立答案：答案：B B1010設(shè)設(shè) 0 02 2，已知已知a a1 12 2coscos，a an n1 1 2 2a an n，則猜想則猜想a an n為為( () )A A2cos2cos2 2n nB B2cos2cos2 2n n1 1C C2cos2cos2 2n n1 1D D2sin2sin2 2n n解析：解析：a a1 12 2coscos，a a2 2 2 22 2cos
14、cos2 2coscos2 2，a a3 32 22 2coscos2 22 2coscos4 4，猜想猜想a an n2 2coscos2 2n n1 1. .答案：答案：B B1111設(shè)設(shè)f f( (x x) )是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且且f f( (x x) )滿足：當(dāng)滿足：當(dāng)f f( (k k) )k k2 2成立時(shí)成立時(shí)，總可推總可推出出f f( (k k1)1)( (k k1)1)2 2成立那么下列命題總成立的是成立那么下列命題總成立的是( () )A A若若f f(3)(3)9 9 成立成立，則當(dāng)則當(dāng)k k1 1 時(shí)時(shí)，均有均有f f( (k k) )k
15、 k2 2成立成立B B若若f f(5)(5)2525 成立成立，則當(dāng)則當(dāng)k k5 5 時(shí)時(shí)，均有均有f f( (k k) )k k2 2成立成立C C若若f f(7)(7)4949 成立成立，則當(dāng)則當(dāng)k k8 8 時(shí)時(shí)，均有均有f f( (k k) )k k2 2成立成立D D若若f f(4)(4)2525 成立成立，則當(dāng)，則當(dāng)k k4 4 時(shí)時(shí)，均有均有f f( (k k) )k k2 2成立成立解析：根據(jù)題中條件可知：由解析：根據(jù)題中條件可知：由f f( (k k) )k k2 2，必能推得必能推得f f( (k k1)1)( (k k1)1)2 2，但反之不成立但反之不成立，因?yàn)橐驗(yàn)?
16、D D 中中f f(4)(4)25254 42 2，故可推得故可推得k k4 4 時(shí)時(shí)，f f( (k k) )k k2 2，故只有故只有 D D 正確正確答案：答案：D D1212已知已知f f( (n n) )(2(2n n7)7)3 3n n9 9，存在自然數(shù)存在自然數(shù)m m，使得對(duì)任意使得對(duì)任意n nN N，都能使都能使m m整除整除f f( (n n) )，則最大的則最大的m m的值為的值為( () )A A3030B B2626C C3636D D6 6解析解析：f f(1)(1)3636，f f(2)(2)108108，n n3 3 時(shí)時(shí)f f( (n n) )9(29(2n n
17、7)37)3n n2 211，(2(2n n7)7)3 3n n2 21 1，當(dāng)當(dāng)n n3 3 時(shí)能被時(shí)能被 4 4 整除整除，結(jié)合選項(xiàng)知結(jié)合選項(xiàng)知 C C 正確正確答案：答案：C C二、填空題二、填空題( (本大題共本大題共 4 4 小題小題，每小題每小題 5 5 分分，共共 2020 分把答案填在題中的橫線上分把答案填在題中的橫線上) )1313 若 用 數(shù) 學(xué) 歸 納 法 證 明 ：若 用 數(shù) 學(xué) 歸 納 法 證 明 ： 2 2n n 1 1n n2 2n n 2 2 成 立 時(shí)成 立 時(shí) ， 第 一 步 應(yīng) 驗(yàn) 證第 一 步 應(yīng) 驗(yàn) 證_答案：答案：n n0 03 3，2 24 43
18、32 23 32 21414 用數(shù)學(xué)歸納法證明命題用數(shù)學(xué)歸納法證明命題： 1 12 22 22 23 32 24 42 2( (1)1)n n1 1n n2 2( (1)1)n n1 1n n（n n1 1）2 2( (n nN N) )，( (從從“第第k k步到步到k k1 1 步步”時(shí)時(shí)，兩邊應(yīng)同時(shí)加上兩邊應(yīng)同時(shí)加上_答案：答案：( (1)1)k k( (k k1)1)2 21515用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)當(dāng)n n是非負(fù)整數(shù)時(shí)是非負(fù)整數(shù)時(shí)，5 55 5n n1 14 45 5n n2 23 35 5n n能被能被 1111 整除整除”的第一步應(yīng)的第一步應(yīng)寫成：當(dāng)寫成：當(dāng)n n
19、_時(shí)時(shí)，5 55 5n n1 14 45 5n n2 23 35 5n n_，能被能被 1111 整除整除解析：本題考查對(duì)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題的掌握情況解析：本題考查對(duì)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題的掌握情況，由于由于n n是非負(fù)整數(shù)是非負(fù)整數(shù)，所以所以第一步應(yīng)考慮第一步應(yīng)考慮n n0.0.答案：答案：0 05 51 14 42 23 30 022221616假設(shè)凸假設(shè)凸k k邊形的對(duì)角線有邊形的對(duì)角線有f f( (k k) )條條，則凸則凸( (k k1)1)邊形的對(duì)角線的條數(shù)邊形的對(duì)角線的條數(shù)f f( (k k1)1)為為_解析：凸解析：凸( (k k1)1)邊形的對(duì)角線的條數(shù)等于凸邊形
20、的對(duì)角線的條數(shù)等于凸k k邊形的對(duì)角線的條數(shù)邊形的對(duì)角線的條數(shù)，加上多的那個(gè)點(diǎn)向加上多的那個(gè)點(diǎn)向其他點(diǎn)引的對(duì)角線的條數(shù)其他點(diǎn)引的對(duì)角線的條數(shù)k k2 2，再加再加上原來有一邊成為對(duì)角線上原來有一邊成為對(duì)角線， 共有共有 f f( (k k) )k k11條對(duì)角線條對(duì)角線答案：答案：f f( (k k) )k k1 1三、解答題三、解答題( (本大題共本大題共 6 6 小題小題，共共 7070 分解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演分解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟算步驟) )1717( (本小題滿分本小題滿分 1010 分分) )用數(shù)學(xué)歸納法證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明：1 12
21、24 41 14 46 61 16 68 81 12 2n n（2 2n n2 2）n n4 4（n n1 1）( (n nN N* *) )證明：證明：(1)(1)當(dāng)當(dāng)n n1 1 時(shí)時(shí)，左邊左邊1 12 21 1（2 22 2）1 18 8，右邊右邊1 14 4（1 11 1）1 18 8，左邊右邊左邊右邊所以當(dāng)所以當(dāng)n n1 1 時(shí)時(shí)，等式成立等式成立(2)(2)假設(shè)假設(shè)n nk k( (k kN N* *) )時(shí)等式成立時(shí)等式成立，即有即有1 12 24 41 14 46 61 16 68 81 12 2k k（2 2k k2 2）k k4 4（k k1 1），則當(dāng)則當(dāng)n nk k1
22、1 時(shí)時(shí)，1 12 24 41 14 46 61 16 68 81 12 2k k（2 2k k2 2）1 12 2（k k1 1）22（k k1 1）22k k4 4（k k1 1）1 14 4（k k1 1） （k k2 2）k k（k k2 2）1 14 4（k k1 1） （k k2 2）（k k1 1）2 24 4（k k1 1） （k k2 2）k k1 14 4（k k2 2）k k1 14 4（k k1 11 1）. .所以當(dāng)所以當(dāng)n nk k1 1 時(shí)時(shí)，等式也成立等式也成立由由(1)(2)(1)(2)可知可知，對(duì)于一切對(duì)于一切n nN N* *等式都成立等式都成立1818(
23、 (本小題滿分本小題滿分 1212 分分) )用用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：1 1n n1 1n n1 11 1n n2 21 1n n2 21(1(n nN N，且且n n1)1)證明：證明：(1)(1)當(dāng)當(dāng)n n2 2 時(shí)時(shí)，1 12 21 13 31 14 4131312121 1 成立；成立；(2)(2)設(shè)當(dāng)設(shè)當(dāng)n nk k( (k k2)2)時(shí)時(shí)，1 1k k1 1k k1 11 1k k2 21 1k k2 21 1；則當(dāng)則當(dāng)n nk k1 1 時(shí)時(shí)，1 1k k1 11 1k k2 21 1k k2 21 11 1（k k1 1）2 21 1k k1 1k k1
24、 11 1k k2 21 1k k2 21 11 1k k2 22 2k k1 11 1k k1 12 2k k1 1（k k1 1）2 21 1k k1 1k k2 2k k1 1k k（k k1 1）2 21 1（k k1 1）2 2k k2 2k k（k k1 1）2 21 1，即當(dāng)即當(dāng)n nk k1 1 時(shí)也成立時(shí)也成立由由(1)(2)(1)(2)知對(duì)任意知對(duì)任意n n1(1(n nN N) )，原不等式成立原不等式成立1919( (本小題滿分本小題滿分 1212 分分) )求證：對(duì)于整數(shù)求證：對(duì)于整數(shù)n n0 0 時(shí)時(shí)，1111n n2 212122 2n n1 1能被能被 1331
25、33 整除整除證明：證明：(1)(1)n n0 0 時(shí)時(shí)，原式原式11112 21212133133 能被能被 133133 整除整除(2)(2)假設(shè)假設(shè)n nk k( (k k0 0，k kN)N)時(shí)時(shí)，1111k k2 212122 2k k1 1能被能被 133133 整除整除，n nk k1 1 時(shí)時(shí)， 原式原式1111k k3 312122 2k k3 311(1111(11k k2 212122 2k k1 1) )111112122 2k k1 112122 2k k3 311(1111(11k k2 212122 2k k1 1) )12122 2k k1 1133133 也能
26、被也能被 133133 整除整除由由(1)(2)(1)(2)可知可知，對(duì)于整數(shù)對(duì)于整數(shù)n n0 0，1111n n2 212122 2n n1 1能被能被 133133 整除整除2020 ( (本小題滿分本小題滿分 1212 分分) )設(shè)設(shè) x xn n 是由是由x x1 12 2，x xn n1 1x xn n2 21 1x xn n( (n nN N) )定義的數(shù)列定義的數(shù)列， 求證求證：x xn n 2 21 1n n. .證明：證明：(1)(1)當(dāng)當(dāng)n n1 1 時(shí)時(shí)，x x1 12 2 2 21 1，不等式成立不等式成立(2)(2)假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n nk k( (k k1)1)時(shí)時(shí)，不
27、等式成立不等式成立，即即x xk k 2 21 1k k，那么那么，當(dāng)當(dāng)n nk k1 1 時(shí)時(shí)，x xk k1 1x xk k2 21 1x xk k. .由歸納假設(shè)由歸納假設(shè)，x xk k 2 21 1k k，則則x xk k2 22 22 21 12 2k k，1 1x xk k1 12 21 1k k. .因?yàn)橐驗(yàn)閤 xk k 2 2，所以所以1 1x xk k2 22 2. .所以所以x xk k1 1x xk k2 21 1x xk k2 22 21 12 2k k2 22 2 2 21 12 2k k 2 21 1k k1 1. .即即x xk k1 1 2 21 1k k1 1
28、. .所以當(dāng)所以當(dāng)n nk k1 1 時(shí)時(shí)，不等式不等式x xn n 2 21 1n n成立成立綜上所述綜上所述，得得x xn n 2 21 1n n( (n nN N) )2121( (本小題滿分本小題滿分 1212 分分) )數(shù)列數(shù)列1 1n n（n n1 1） 的前的前n n項(xiàng)和記為項(xiàng)和記為S Sn n. .(1)(1)求出求出S S1 1，S S2 2，S S3 3的值；的值；(2)(2)猜想出猜想出S Sn n的表達(dá)式；的表達(dá)式；(3)(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想你的猜想(1)(1)解：解：a an n1 1n n（n n1 1），S S1 1a a1 11 12
29、2；S S2 2a a1 1a a2 21 12 21 16 62 23 3；S S3 3a a1 1a a2 2a a3 31 12 21 16 61 112123 34 4. .(2)(2)解：猜想：解：猜想：S Sn nn nn n1 1( (n nN N) )(3)(3)證明：證明：當(dāng)當(dāng)n n1 1 時(shí)時(shí)，S S1 1a a1 11 12 2，右邊右邊1 12 2. .等式成立等式成立假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n nk k時(shí)時(shí)，S Sk kk kk k1 1，則當(dāng)則當(dāng)n nk k1 1 時(shí)時(shí)，S Sk k1 1S Sk ka ak k1 1k kk k1 11 1（k k1 1） （k k2 2）（
30、k k1 1）2 2（k k1 1） （k k2 2）k k1 1k k2 2k k1 1（k k1 1）1 1. .即當(dāng)即當(dāng)n nk k1 1 時(shí)時(shí)，等式成立等式成立由由可得可得S Sn nn nn n1 1( (n nN N) )2222( (本小題滿分本小題滿分 1212 分分) )已知數(shù)列已知數(shù)列 a an n 的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n，且且S Sn n，a an n的等差中項(xiàng)為的等差中項(xiàng)為 1.1.(1)(1)寫出寫出a a1 1，a a2 2，a a3 3；(2)(2)猜想猜想a an n的表達(dá)式的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明并用數(shù)學(xué)歸納法證明解：解：(1)(1)由題意
31、由題意S Sn na an n2 2，可得可得a a1 11 1，a a2 21 12 2，a a3 31 14 4. .(2)(2)猜想猜想a an n1 12 2n n1 1. .下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)當(dāng)n n1 1 時(shí)時(shí)，a a1 11 1，1 12 2n n1 11 12 20 01 1，等式成立等式成立假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n nk k時(shí)時(shí)，等式成立等式成立，即，即a ak k1 12 2k k1 1，則當(dāng)則當(dāng)n nk k1 1 時(shí)時(shí)，由由S Sk k1 1a ak k1 12 2，S Sk ka ak k2 2，得得( (S Sk k1 1S Sk k) )a ak k1 1a ak k0 0，即即 2 2a ak k1 1a ak k，所以所以a ak k1 11 12 2a ak k1 12 2 1 12 2k k1 11 12 2（k k1 1）1 1，即當(dāng)即當(dāng)n nk k1 1 時(shí)時(shí)，等式成立等式成立由由可知可知，對(duì)對(duì)n nN N，a an n1 12 2n n1 1. .最新精品資料
精校版高中數(shù)學(xué)人教版選修45評(píng)估驗(yàn)收卷：第四講 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 Word版含答案
