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1、 精品資料
學(xué)案22 簡單的三角恒等變換
導(dǎo)學(xué)目標(biāo): 1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式,并熟練應(yīng)用.2.能運用兩角和與差的三角公式進行簡單的恒等變換.
自主梳理
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α=________________;
(2)cos 2α=______________=________________-1=1-________________;
(3)tan 2α=________________________ (α≠+且α≠kπ+).
2.公式的逆向變換及有關(guān)變形
(1)sin
2、 αcos α=____________________?cos α=;
(2)降冪公式:sin2α=________________,cos2α=________________;
升冪公式:1+cos α=________________,1-cos α=_____________;
變形:1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=________________________.
自我檢測
1.(2010·陜西)函數(shù)f(x)=2sin xcos x是
3、( )
A.最小正周期為2π的奇函數(shù)
B.最小正周期為2π的偶函數(shù)
C.最小正周期為π的奇函數(shù)
D.最小正周期為π的偶函數(shù)
2.函數(shù)f(x)=cos 2x-2sin x的最小值和最大值分別為 ( )
A.-3,1 B.-2,2
C.-3, D.-2,
3.函數(shù)f(x)=sin xcos x的最小值是 ( )
A.-1 B.- C. D.1
4.(2011·清遠(yuǎn)月考)已知A、B為直角三角形的兩
4、個銳角,則sin A·sin B ( )
A.有最大值,最小值0
B.有最小值,無最大值
C.既無最大值也無最小值
D.有最大值,無最小值
探究點一 三角函數(shù)式的化簡
例1 求函數(shù)y=7-4sin xcos x+4cos2x-4cos4x的最大值和最小值.
變式遷移1 (2011·泰安模擬)已知函數(shù)f(x)=.
(1)求f的值;
(2)當(dāng)x∈時,求g(x)=f(x)+sin 2x的最大值和最小值.
探究點二 三角函數(shù)式的求值
例2 已知sin(+2α)·sin(-2α)=,α∈(,),
5、求2sin2α+tan α--1的值.
變式遷移2 (1)已知α是第一象限角,且cos α=,求的值.
(2)已知cos(α+)=,≤α<,求cos(2α+)的值.
探究點三 三角恒等式的證明
例3 (2011·蘇北四市模擬)已知sin(2α+β)=3sin β,設(shè)tan α=x,tan β=y(tǒng),記y=f(x).
(1)求證:tan(α+β)=2tan α;
(2)求f(x)的解析表達(dá)式;
(3)若角α是一個三角形的最小內(nèi)角,試求函數(shù)f(x)的值域.
變式遷移3 求證:
=.
轉(zhuǎn)化與化歸思想
6、的應(yīng)用
例 (12分)(2010·江西)已知函數(shù)f(x)=
sin2x+msinsin.
(1)當(dāng)m=0時,求f(x)在區(qū)間上的取值范圍;
(2)當(dāng)tan α=2時,f(α)=,求m的值.
【答題模板】
解 (1)當(dāng)m=0時,f(x)=sin2x
=sin2x+sin xcos x=
=,[3分]
由已知x∈,得2x-∈,[4分]
所以sin∈,[5分]
從而得f(x)的值域為.[6分]
(2)f(x)=sin2x+sin xcos x-cos 2x
=+sin 2x-cos 2x
=[sin 2x-(1+m)cos 2x]+,[8分]
由tan α=2
7、,得sin 2α===,
cos 2α===-.[10分]
所以=+,[11分]
解得m=-2.[12分]
【突破思維障礙】
三角函數(shù)式的化簡是指利用誘導(dǎo)公式、同角基本關(guān)系式、和與差的三角函數(shù)公式、二倍角公式等,將較復(fù)雜的三角函數(shù)式化得更簡潔、更清楚地顯示出式子的結(jié)果.化簡三角函數(shù)式的基本要求是:(1)能求出數(shù)值的要求出數(shù)值;(2)使三角函數(shù)式的項數(shù)最少、次數(shù)最低、角與函數(shù)的種類最少;(3)分式中的分母盡量不含根式等.
1.求值中主要有三類求值問題:
(1)“給角求值”:一般所給出的角都是非特殊角,從表面來看是很難的,但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系,解題時,要利用觀察
8、得到的關(guān)系,結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解.
(2)“給值求值”:給出某些角的三角函數(shù)式的值,求另外一些角的三角函數(shù)值,解題關(guān)鍵在于“變角”,使其角相同或具有某種關(guān)系.
(3)“給值求角”:實質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”,關(guān)鍵也是變角,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角.
2.三角恒等變換的常用方法、技巧和原則:
(1)在化簡求值和證明時常用如下方法:切割化弦法,升冪降冪法,和積互化法,輔助元素法,“1”的代換法等.
(2)常用的拆角、拼角技巧如:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,α=(α-β)+β,=+,是的二倍角
9、等.
(3)化繁為簡:變復(fù)角為單角,變不同角為同角,化非同名函數(shù)為同名函數(shù),化高次為低次,化多項式為單項式,化無理式為有理式.
消除差異:消除已知與未知、條件與結(jié)論、左端與右端以及各項的次數(shù)、角、函數(shù)名稱、結(jié)構(gòu)等方面的差異.
(滿分:75分)
一、選擇題(每小題5分,共25分)
1.(2011·平頂山月考)已知0<α<π,3sin 2α=sin α,則cos(α-π)等于 ( )
A. B.- C. D.-
2.已知tan(α+β)=,tan=,那么tan等于 ( )
10、
A. B. C. D.
3.(2011·石家莊模擬)已知cos 2α= (其中α∈),則sin α的值為 ( )
A. B.- C. D.-
4.若f(x)=2tan x-,則f的值為 ( )
A.- B.8
C.4 D.-4
5.(2010·福建廈門外國語學(xué)校高三第二次月考)在△ABC中,若cos 2B+3cos(A+C)+2=0,則sin B的值是 ( )
A. B.
11、 C. D.1
題號
1
2
3
4
5
答案
二、填空題(每小題4分,共12分)
6.(2010·全國Ⅰ)已知α為第二象限的角,且sin α=,則tan 2α=________.
7.函數(shù)y=2cos2x+sin 2x的最小值是________.
8.若=-,則cos α+sin α的值為________.
三、解答題(共38分)
9.(12分)化簡:(1)cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°;
(2).
10.(12分)(2011·南京模擬
12、)設(shè)函數(shù)f(x)=sin xcos x-cos xsin-.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)當(dāng)∈時,求函數(shù)f(x)的最大值和最小值.
11.(14分)(2010·北京)已知函數(shù)f(x)=2cos 2x+sin2x-4cos x.
(1)求f()的值;
(2)求f(x)的最大值和最小值.
答案 自主梳理
1.(1)2sin αcos α (2)cos2α-sin2α 2cos2α 2sin2α
(3) 2.(1)sin 2α (2) 2cos2 2sin2 (sin α±cos α)2
自我檢測
1.C 2.C
13、3.B 4.D
課堂活動區(qū)
例1 解題導(dǎo)引 化簡的原則是形式簡單,三角函數(shù)名稱盡量少,次數(shù)盡量低,最好不含分母,能求值的盡量求值.本題要充分利用倍角公式進行降冪,利用配方變?yōu)閺?fù)合函數(shù),重視復(fù)合函數(shù)中間變量的范圍是關(guān)鍵.
解 y=7-4sin xcos x+4cos2x-4cos4x
=7-2sin 2x+4cos2x(1-cos2x)
=7-2sin 2x+4cos2xsin2x
=7-2sin 2x+sin22x=(1-sin 2x)2+6,
由于函數(shù)z=(u-1)2+6在[-1,1]中的最大值為zmax=(-1-1)2+6=10,最小值為zmin=(1-1)2+6=6,
故
14、當(dāng)sin 2x=-1時,y取得最大值10,
當(dāng)sin 2x=1時,y取得最小值6.
變式遷移1 解 (1)f(x)
=
=
===2cos 2x,
∴f=2cos=2cos =.
(2)g(x)=cos 2x+sin 2x
=sin.
∵x∈,∴2x+∈,
∴當(dāng)x=時,g(x)max=,
當(dāng)x=0時,g(x)min=1.
例2 解題導(dǎo)引 (1)這類問題一般是先化簡再求值;化簡后目標(biāo)更明確;
(2)如果能從已知條件中求出特殊值,應(yīng)轉(zhuǎn)化為特殊角,可簡化運算,對切函數(shù)通?;癁橄液瘮?shù).
解 由sin(+2α)·sin(-2α)
=sin(+2α)·co
15、s(+2α)
=sin(+4α)=cos 4α=,
∴cos 4α=,又α∈(,),故α=,
∴2sin2α+tan α--1
=-cos 2α+
=-cos 2α+
=-cos-=.
變式遷移2 解 (1)∵α是第一象限角,cos α=,
∴sin α=.
∴=
=
===-.
(2)cos(2α+)=cos 2αcos-sin 2αsin
=(cos 2α-sin 2α),
∵≤α<π,
∴≤α+<π.
又cos(α+)=>0,
故可知π<α+<π,
∴sin(α+)=-,
從而cos 2α=sin(2α+)
=2sin
16、(α+)cos(α+)
=2×(-)×=-.
sin 2α=-cos(2α+)
=1-2cos2(α+)
=1-2×()2=.
∴cos(2α+)=(cos 2α-sin 2α)=×(--)
=-.
例3 解題導(dǎo)引 本題的關(guān)鍵是第(1)小題的恒等式證明,對于三角恒等式的證明,我們要注意觀察、分析條件恒等式與目標(biāo)恒等式的異同,特別是分析已知和要求的角之間的關(guān)系,再分析函數(shù)名之間的關(guān)系,則容易找到思路.證明三角恒等式的實質(zhì)就是消除等式兩邊的差異,有目的地化繁為簡,左右歸一或變更論證.對于第(2)小題同樣要從角的關(guān)系入手,利用兩角和的正切公式可得
17、關(guān)系.第(3)小題則利用基本不等式求解即可.
(1)證明 由sin(2α+β)=3sin β,得sin[(α+β)+α]
=3sin[(α+β)-α],
即sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α=3sin(α+β)cos α-3cos(α+β)sin α,
∴sin(α+β)cos α=2cos(α+β)sin α,
∴tan(α+β)=2tan α.
(2)解 由(1)得=2tan α,即=2x,
∴y=,即f(x)=.
(3)解 ∵角α是一個三角形的最小內(nèi)角,
∴0<α≤,0<x≤,
設(shè)g(x)=2x+,則g(x)=2x+≥2(當(dāng)且僅當(dāng)x=時
18、取“=”).
故函數(shù)f(x)的值域為(0,].
變式遷移3 證明 因為左邊=
=
=
==
=
===右邊.
所以原等式成立.
課后練習(xí)區(qū)
1.D [∵0<α<π,3sin 2α=sin α,
∴6sin αcos α=sin α,又∵sin α≠0,∴cos α=,
cos(α-π)=cos(π-α)=-cos α=-.]
2.C [因為α++β-=α+β,
所以α+=(α+β)-.
所以tan=tan
==.]
3.B [∵=cos 2α=1-2sin2α,
∴sin2α=.又∵α∈,
∴sin α=-.]
4.B [f(x)=2ta
19、n x+=2tan x+
==
∴f==8.]
5.C [由cos 2B+3cos(A+C)+2=0化簡變形,得2cos2B-3cos B+1=0,
∴cos B=或cos B=1(舍).
∴sin B=.]
6.-
解析 因為α為第二象限的角,又sin α=,
所以cos α=-,tan α==-,
所以tan 2α==-.
7.1-
解析 ∵y=2cos2x+sin 2x=sin 2x+1+cos 2x
=sin 2x+cos 2x+1=sin+1,
∴當(dāng)sin(2x+)=-1時,函數(shù)取得最小值1-.
8.
解析 ∵=
=-(sin α+cos α)=-,
20、
∴cos α+sin α=.
9.解 (1)∵sin 2α=2sin αcos α,
∴cos α=,…………………………………………………………………………(2分)
∴原式=···
==.……………………………………………………………………(6分)
(2)原式=………………………………………………………(9分)
===tan4α.………………………………………………………(12分)
10.解 f(x)=sin xcos x-cos xsin-
=sin 2x-cos 2x-1
=sin-1.……………………………………………………………………
21、……(4分)
(1)T==π,故f(x)的最小正周期為π.…………………………………………………(6分)
(2)因為0≤x≤,所以-≤2x-≤.
所以當(dāng)2x-=,即x=時,f(x)有最大值0,
……………………………………………………………………………………………(10分)
當(dāng)2x-=-,即x=0時,f(x)有最小值-.
……………………………………………………………………………………………(12分)
11.解 (1)f()=2cos+sin2-4cos
=-1+-2=-.………………………………………………………………………(4分)
(2)f(x)=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)-4cos x
=3cos2x-4cos x-1
=3(cos x-)2-,x∈R.………………………………………………………………(10分)
因為cos x∈[-1,1],
所以,當(dāng)cos x=-1時,f(x)取得最大值6;
當(dāng)cos x=時,f(x)取得最小值-.…………………………………………………(14分)