專(zhuān)題47 整體代入法求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間對(duì)稱(chēng)軸和對(duì)稱(chēng)中心(解析版)

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1、 專(zhuān)題47 整體代入法求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間對(duì)稱(chēng)軸和對(duì)稱(chēng)中心 一、多選題 1．下列函數(shù)周期為，又在上單調(diào)遞增的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】 選項(xiàng)A. 求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再判斷；選項(xiàng)B. 由在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，求出的單調(diào)區(qū)間，再判斷；選項(xiàng)C，由，求出單調(diào)區(qū)間再判斷，選項(xiàng)D當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增,可判斷. 【詳解】 選項(xiàng)A. 由 則，當(dāng)時(shí)， 所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故A不正確. 選項(xiàng)B . 由在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. 由，得 所以在在上單調(diào)遞增，故B正確. 選項(xiàng)C . ，由 則 所以在上單調(diào)遞減，所以在單調(diào)遞減

2、，故C不正確. 選項(xiàng)D . 當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增,故D正確. 故選：BD 2．下列命題正確的是（　?。? A．若，則 B．函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心是（） C．“，”的否定是“，” D．設(shè)常數(shù)使方程在閉區(qū)間上恰有三個(gè)解，則 【答案】CD 【分析】 求出函數(shù)的解析式，然后求出數(shù)列的和判斷A，直接求函數(shù)對(duì)稱(chēng)中心判斷B，通過(guò)存在量詞命題的否定判斷C，解出三個(gè)零點(diǎn)，求出和，判斷D. 【詳解】 若，令，可得， 所以A不正確． 函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心是（），所以B不正確． “，”的否定是“，”；滿(mǎn)足特稱(chēng)命題的否定形式，所以C正確． 設(shè)常數(shù)使方程化為，在閉區(qū)間上恰有三個(gè)解，則．所以D正

3、確． 故選：CD． 3．關(guān)于函數(shù)有下列命題，其中正確的是（ ） A．的表達(dá)式可改寫(xiě)為； B．是以為最小正周期的周期函數(shù)； C．的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)； D．的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)． 【答案】AC 【分析】 首先利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得A選項(xiàng)正確；可判斷函數(shù)的最小正周期為，計(jì)算函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心及對(duì)稱(chēng)軸，可判斷C選項(xiàng)正確. 【詳解】 對(duì)A，，故A正確；對(duì)B，的最小正周期為，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，的對(duì)稱(chēng)中心為 ，當(dāng)時(shí)，對(duì)稱(chēng)中心為，故C正確；對(duì)D，的對(duì)稱(chēng)軸為，故D錯(cuò)誤. 故選：AC. 4．若將函數(shù)f(x)=cos(2x+)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖象，則下列說(shuō)法正確的是

4、（ ） A．g(x)的最小正周期為π B．g(x)在區(qū)間[0，]上單調(diào)遞減 C．x=是函數(shù)g(x)的對(duì)稱(chēng)軸 D．g(x)在[﹣，]上的最小值為﹣ 【答案】AD 【分析】 函數(shù)f(x)=cos(2x+)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得函數(shù)g(x)的解析式，從而可求出它的最小正周期、對(duì)稱(chēng)軸等. 【詳解】 函數(shù)f(x)=cos(2x+)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得，最小正周期為π，A正確； 為g(x)的所有減區(qū)間，其中一個(gè)減區(qū)間為，故B錯(cuò)； 令，得，故C錯(cuò)； [﹣，]，，，故 D對(duì) 故選：AD 5．已知函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，然后將每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸

5、長(zhǎng)到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變)得到，則函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】 根據(jù)三角函數(shù)的圖像變換得到，然后解出方程可得答案. 【詳解】 將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的(縱坐標(biāo)不變) 得到的圖象 再將所得圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到 令()，則() 故選：ACD 6．如圖是函數(shù)的部分圖象，則下列說(shuō)法正確的是（ ） A． B．是函數(shù)，的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心 C． D．函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù) 【答案】ACD 【分析】 根據(jù)函數(shù)圖像得函數(shù)解析式為，進(jìn)而判斷函數(shù)圖像性質(zhì). 【詳解】 由題知，，函數(shù)的最小正周期，

6、所以，故A正確； 因?yàn)?，所以，，解得，，又，所以，故C正確； 函數(shù)，因?yàn)椋圆皇呛瘮?shù)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，故B錯(cuò)誤； 令，，得，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以函?shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，故D正確． 故選：ACD． 【點(diǎn)睛】 已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分圖象求其解析式時(shí)，A比較容易看圖得出，困難的是求待定系數(shù)ω和φ，常用如下兩種方法： (1)由ω＝即可求出ω；確定φ時(shí)，若能求出離原點(diǎn)最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的“零點(diǎn)”橫坐標(biāo)x0，則令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ. (2)代入點(diǎn)的坐標(biāo)，利用一些已知點(diǎn)(最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或“零點(diǎn)”)坐標(biāo)代入解析式，再結(jié)合圖

7、形解出ω和φ，若對(duì)A，ω的符號(hào)或?qū)Ζ盏姆秶幸?，則可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求. 二、單選題 7．己知函數(shù)(，)，其圖象相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為，且函數(shù)是偶函數(shù).關(guān)于函數(shù)給出下列命題： ①函數(shù)的圖象關(guān)于直線軸對(duì)稱(chēng)； ②函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)； ③函數(shù)在上單調(diào)遞減； ④把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，然后再將所得的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，即可得到函數(shù)的圖象. 其中真命題共有（ ）個(gè) A．1 B．2 C．0 D．4 【答案】B 【分析】 根據(jù)已知題意可知，則有，根據(jù)求出，結(jié)合函數(shù)是偶函數(shù)還可得到的值；由上述分析可得函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)就能判

8、斷各個(gè)命題的真假，從而得解. 【詳解】 因?yàn)楹瘮?shù)，其圖象相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為， 所以，解得， 因?yàn)?，所以，則， ， 因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)， 所以，， 因?yàn)?，所以? 所以函數(shù)， 令，， 所以，，故①錯(cuò)誤； 因?yàn)?，? 可知函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，，當(dāng)時(shí)，對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，故②正確； 令，，解得，， 當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故③正確； 把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，解析式變?yōu)椋? 然后再將圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，解析式變?yōu)?，得不到函?shù)的圖象，故④錯(cuò)誤. 綜上，②③是真命題. 故選：B. 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題是一道有關(guān)三角函數(shù)的題目，掌握正弦函數(shù)的圖

9、象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵. 8．設(shè)函數(shù)，給出下列結(jié)論： ①的最小正周期為 ②的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng) ③在單調(diào)遞減 ④把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)的圖象. 其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（ ）. A．①④ B．②④ C．①②④ D．①②③ 【答案】C 【分析】 根據(jù)題意，利用輔助角公式和兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)得，根據(jù)求出最小正周期即可判斷①；利用整體代入法求出的對(duì)稱(chēng)軸，即可判斷②；利用整體代入法求出的單調(diào)減區(qū)間，從而可得在區(qū)間上先減后增，即可判斷③；根據(jù)三角函數(shù)的平移伸縮的性質(zhì)和誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，即可求出平移后函數(shù)，從而可判斷④. 【詳解】 解：函數(shù)， 即：，

10、 所以的最小正周期為，故①正確； 令，解得：， 當(dāng)時(shí)，則直線為的對(duì)稱(chēng)軸，故②正確； 令，解得：， 所以的單調(diào)遞減區(qū)間為：， 當(dāng)時(shí)，的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為， 則區(qū)間上單調(diào)遞減，故在區(qū)間上先減后增，故③錯(cuò)誤； 把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度， 得到 即平移后得到函數(shù)的圖象，故④正確. 所以所有正確結(jié)論的編號(hào)是：①②④. 故選：C. 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握正弦型函數(shù)的周期、對(duì)稱(chēng)軸、單調(diào)區(qū)間的求法，以及三角函數(shù)的平移伸縮是解題的關(guān)鍵，還考查輔助角公式、兩角和的正弦公式以及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查學(xué)生化簡(jiǎn)運(yùn)算能力. 9．已知函數(shù)的部分圖

11、象如圖所示，下列說(shuō)法正確的是（ ） ①函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) ②函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng) ③函數(shù)在單調(diào)遞減 ④該圖象向右平移個(gè)單位可得的圖象 A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④ 【答案】A 【分析】 根據(jù)的圖象及三角函數(shù)圖像和性質(zhì)，解得函數(shù)的解析式，得到，再結(jié)合三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)逐一判定即可. 【詳解】 由函數(shù)的圖象可得，周期 所以， 當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最大值，即， 所以，則， 又，得 ， 故函數(shù)， 對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，，正確； 對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，，正確； 對(duì)于③，令得， 所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，所以不正確； 對(duì)于④，向右平移個(gè)單位，，所以不正確；

12、 故選：A. 【點(diǎn)睛】 求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的2種方法: （1）代換法:就是將比較復(fù)雜的三角函數(shù)處理后的整體當(dāng)作一個(gè)角(或)，利用基本三角函數(shù)的單調(diào)性來(lái)求所要求的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）圖象法:函數(shù)的單調(diào)性表現(xiàn)在圖象上是從左到右，圖象上升趨勢(shì)的區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間，圖象下降趨勢(shì)的區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間，畫(huà)出三角函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象易求它的單調(diào)區(qū)間. 10．已知函數(shù)的圖象上相鄰的一個(gè)最大值點(diǎn)與對(duì)稱(chēng)中心分別為，，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】 由最大值點(diǎn)和對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)可以求出的解析式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，整體代換得出該復(fù)合函

13、數(shù)的單調(diào)增區(qū)間. 【詳解】 圖像上相鄰的一個(gè)最大值點(diǎn)與對(duì)稱(chēng)中心分別為，， ， 且，可得， ， 將代入可得， 可得，且， ， 可得， 令， 可得， 故選：A. 【點(diǎn)睛】 方法點(diǎn)睛：根據(jù)圖像求函數(shù)的解析式，根據(jù)最高點(diǎn)和對(duì)稱(chēng)中心的縱坐標(biāo)可求出和，根據(jù)橫坐標(biāo)可求出周期，進(jìn)而求出.求該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，用整體代換的思想，借助正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，用解不等式的方法求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 11．已知函數(shù)的圖像可由函數(shù)(，，)的圖像先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，然后將每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變)得到，則函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)中心可能是（ ） A． B． C． D．

14、 【答案】B 【分析】 根據(jù)三角函數(shù)的平移伸縮變換方式求出，再令()即可求解. 【詳解】 將函數(shù)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的(縱坐標(biāo)不變)， 得到的圖像， 再將所得圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到， 令()，則()， 故選：B. 12．對(duì)于函數(shù)，有以下四種說(shuō)法： ①函數(shù)的最小值是 ②圖象的對(duì)稱(chēng)軸是直線 ③圖象的對(duì)稱(chēng)中心為 ④函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增． 其中正確的說(shuō)法的個(gè)數(shù)是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】 求出函數(shù)的最值，對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)，對(duì)稱(chēng)軸方程，以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可判斷正誤． 【詳解】 函數(shù)， 當(dāng)時(shí)，即，函數(shù)取得最

15、小值為，故①正確； 當(dāng)時(shí)，即，函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸是直線，故②錯(cuò)誤； 當(dāng)時(shí)，即，函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)中心為，故③錯(cuò)誤； 當(dāng)，即，函數(shù)的遞增區(qū)間為， 當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間為，故④正確. 故選：B 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：函數(shù)的遞增區(qū)間轉(zhuǎn)化為的遞減區(qū)間. 13．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 是由和復(fù)合而成，因?yàn)槭菃握{(diào)遞減函數(shù)，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間也即是求的單調(diào)遞減區(qū)間， 由即可求解. 【詳解】 令，則， 因?yàn)槭菃握{(diào)遞減函數(shù)， 所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間也即是求的單調(diào)遞減區(qū)間， 令， 解得：， 所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，

16、 故選：B 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是是由和復(fù)合而成，因?yàn)槭菃握{(diào)遞減函數(shù)，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間也即是求的單調(diào)遞減區(qū)間，利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解. 14．函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由正弦函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)用整體代入法其對(duì)稱(chēng)軸為， 可求對(duì)稱(chēng)軸方程，結(jié)合選項(xiàng)討論k值即可知正確選項(xiàng). 【詳解】 由，， ∴，當(dāng)k＝0時(shí)，， 故函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸方程是， 故選：C. 15．已知函數(shù)，則的圖像的一條對(duì)稱(chēng)軸方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本題可根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸的相關(guān)性

17、質(zhì)即可得出結(jié)果. 【詳解】 令，則， 當(dāng)時(shí)，， 故函數(shù)的圖像的一條對(duì)稱(chēng)軸方程是， 故選：A. 16．函數(shù)在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 令，求出函數(shù)的減區(qū)間，通過(guò)對(duì)賦值可得出結(jié)果. 【詳解】 令，解得， 所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為， 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為， 而，所以，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù). 故選：D. 【點(diǎn)睛】 方法點(diǎn)睛：求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先化簡(jiǎn)成形式，再求的單調(diào)區(qū)間，只需把看作一個(gè)整體代入的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，注意要先把化為正數(shù)． 第II卷（非選擇題） 請(qǐng)點(diǎn)擊修改第I

18、I卷的文字說(shuō)明 三、解答題 17．已知函數(shù)． （1）當(dāng)時(shí)，求的值域和單調(diào)減區(qū)間； （2）若關(guān)于對(duì)稱(chēng)，且，求的值． 【答案】（1）的值域?yàn)?，單調(diào)減區(qū)間為 ；（2） 【分析】 （1）由條件可得，則可得值域，由可得答案. （2）由關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則可得答案. 【詳解】 （1）當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，，則 所以 由 所以 由，則時(shí)，，即此時(shí)減區(qū)間為 所以當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，單調(diào)減區(qū)間為； （2）由關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則 即，又，所以 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)的值域、單調(diào)性和對(duì)稱(chēng)性等性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是由，得出，根據(jù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，得到，屬于中檔題. 18．已知函數(shù)，.

19、（1）求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間； （2）求在區(qū)間上的最大值和最小值. 【答案】（1）最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）最大值為，最小值為. 【分析】 （1）先將函數(shù)恒等變換，化為，由得最小正周期為，再利用整體代換的方法，解不等式，求得單調(diào)遞增區(qū)間； （2）由（1）可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，即可求得在該區(qū)間的最小值為，再求出兩個(gè)端點(diǎn)值和，經(jīng)過(guò)比較可知最大值為. 【詳解】 解： （1），所以的最小正周期為. 由， 可得， 的單調(diào)遞增區(qū)間為； （2）因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減， 在區(qū)間上單調(diào)遞增， 又，，. 所以在區(qū)間上的最大值為，最小值為-1.

20、【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是對(duì)所給函數(shù)進(jìn)行恒等變換，得到，再利用整體代換的思想求得單調(diào)區(qū)間. 19．在平面直角坐標(biāo)系中，已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸垂合，它的終邊過(guò)點(diǎn)． （1）求，的值： （2）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間． 【答案】（1）；. （2） 【分析】 （1）利用三角函數(shù)的定義求出，，再利用誘導(dǎo)公式即可求解. （2）由（1）可得，由函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，可得，結(jié)合，求出， 再根據(jù)正弦的單調(diào)遞減區(qū)間，整體代入即可求解. 【詳解】 （1）根據(jù)題意可得，， 所以， . （2）由（1）可得， 即， 因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)

21、于直線對(duì)稱(chēng)， 所以， 所以，又因?yàn)?，所以? 所以， 所以， 解得， 所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為 20．己知函數(shù)，其部分圖象如圖所示． （1）求和的值； （2）求函數(shù)在的單調(diào)增區(qū)間． 【答案】（1），；（2）和. 【分析】 （1）根據(jù)輔助角公式和兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)得，由函數(shù)圖象可知的最大值為2，可求出，由圖象可知，結(jié)合，即可求出的值； （2）由（1）得，利用整體代入法并結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可求出在的單調(diào)增區(qū)間. 【詳解】 解：（1）由題可知， 即， 由圖象可知，的最大值為2，則，所以， 由圖象可知，，則，所以； （2）由（1）得， 令， 解得：，

22、 又因?yàn)椋? 所以函數(shù)在的單調(diào)增區(qū)間為：和. 【點(diǎn)睛】 思路點(diǎn)睛：本題考查由函數(shù)的部分圖象求解析式，由函數(shù)圖象的最大值求出，由周期求出，從而可求出函數(shù)解析式，再利用整體代入法求正弦型函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵. 21．已知函數(shù). （Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期； （Ⅱ）求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間； （Ⅲ）若是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值及函數(shù)在上的值域. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）. 【分析】 利用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，（1）利用周期公式求解；（2）利用換元法或整體代換法求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間；（3）利用換元法求判斷函數(shù)單調(diào)性，并求值域. 【詳解

23、】 解：（Ⅰ） ， ； （Ⅱ）法一： 令；則. ，的單調(diào)增區(qū)間為. ，解得. 函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間. 法二： ， ， 畫(huà)數(shù)軸與所有區(qū)間取交集可知：. 函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間； （Ⅲ）是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn) . 解得：. . ，，當(dāng)單調(diào)遞減區(qū)間為. ，解得 在區(qū)間上為減函數(shù). 函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間 ，，. 函數(shù)在上的值域?yàn)? 【點(diǎn)睛】 對(duì)于三角函數(shù)，求最小正周期和最值時(shí)可先把所給三角函數(shù)式化為y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ω x＋φ)的形式，則最小正周期為，最大值為，最小值為；奇偶性的判斷關(guān)鍵是解析式是否為y＝Asin

24、ωx或y＝Acos ωx的形式． 22．已知函數(shù)． （I）求函數(shù)的最小正周期； （II）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間； （III）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值． 【答案】（Ⅰ）最小正周期為；（Ⅱ），；（Ⅲ）-1. 【分析】 （I）先將解析式化為，然后利用正弦型函數(shù)的周期公式可計(jì)算出該函數(shù)的最小正周期； （II）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用整體法得出，，，即可求出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間； （III）由可計(jì)算出的取值范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求出函數(shù)的最大值和最小值. 【詳解】 解：（Ⅰ）因?yàn)椋? 則， 所以函數(shù)最小正周期為； （Ⅱ）因?yàn)?，? 所以，， 函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，； （Ⅲ

25、）因?yàn)?，所以? 而，，所以， 所以的最小值為． 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查正弦型函數(shù)的最小正周期，利用整體法求正弦型函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，以及正弦型函數(shù)在給定區(qū)間的最值，熟練掌握正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于常考題型. 23．已知函數(shù)，． （Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間； （Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值與最小值． 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）的最大值為3，最小值為 【分析】 （Ⅰ）由可得答案. （Ⅱ）設(shè)，由，則 ,則，從而可得答案. 【詳解】 （Ⅰ）由 所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為： （Ⅱ）設(shè)，由，則 所以，則 當(dāng)時(shí)，的最大值為3，最小值為 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵

26、點(diǎn)睛：本題考查求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值，解答本題的關(guān)鍵是設(shè)，由，則 所以，屬于中檔題. 24．已知函數(shù)． （1）求函數(shù)的最小正周期； （2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （3）求函數(shù)在的值域． 【答案】（1）；（2）增區(qū)間：，減區(qū)間：；（3） 【分析】 （1）首先根據(jù)三角恒等變換得到，從而得到函數(shù)的周期； （2）根據(jù)，解不等式得到函數(shù)的增區(qū)間，根據(jù)，解不等式即可得到函數(shù)的減區(qū)間. （3）首先根據(jù)題意得到，從而得到，即可得到函數(shù)的值域. 【詳解】 （1） . . （2）因?yàn)?，? 解得，. 函數(shù)的增區(qū)間為. 因?yàn)椋? 解得，. 函數(shù)的減區(qū)間為. （3）因?yàn)?，所?

27、所以，. 25．已知函數(shù)的最小正周期為. （1）求與的單調(diào)遞增區(qū)間； （2）在中，若，求的取值范圍. 【答案】（1），；（2） 【分析】 （1）根據(jù)函數(shù)的最小正周期為，可求，并寫(xiě)出函數(shù)式進(jìn)而求的單調(diào)遞增區(qū)間； （2）由（1）結(jié)論，求角，根據(jù)三角形內(nèi)角和的性質(zhì)可知角B、C的關(guān)系，進(jìn)而求B的范圍，即可求的取值范圍. 【詳解】 （1）因?yàn)榈淖钚≌芷跒椋? ∴，令 解得 ∴的單調(diào)遞增區(qū)間是 （2）在中，若， 由（1）得，，所以 因?yàn)?所以，即 因?yàn)?，所以? 所以 所以的取值范圍 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛： （1）由最小正周期求參數(shù)，利用整體代

28、入法求的單調(diào)遞增區(qū)間； （2）應(yīng)用三角形內(nèi)角和性質(zhì)可得內(nèi)角B、C的關(guān)系，進(jìn)而用其中一角表示另一角并確定角的范圍，進(jìn)而求函數(shù)值的范圍. 26．已知函數(shù)，． （1）求的最小正周期； （2）求的單調(diào)遞增區(qū)間； （3）求圖像的對(duì)稱(chēng)軸方程和對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)． 【答案】（1）；（2）； （3）對(duì)稱(chēng)軸為，對(duì)稱(chēng)中心為. 【分析】 （1）首先可通過(guò)三角恒等變換將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，然后根據(jù)周期計(jì)算公式即可得出結(jié)果； （2）可通過(guò)正弦函數(shù)的單調(diào)性得出結(jié)果； （3）可通過(guò)正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性得出結(jié)果. 【詳解】 （1） ， 最小正周期. （2）當(dāng)時(shí)， 即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增， 故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間

29、為. （3），即， ，即， 則函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程為，對(duì)稱(chēng)中心為. 27．已知函數(shù)，其中的圖象與x軸的交點(diǎn)中，相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為，且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為． （1）求的最小正周期； （2）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)減區(qū)間． 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）由題可得，即得最小正周期； （2）可求出，令解出單調(diào)遞減區(qū)間再與取交集. 【詳解】 （1）的圖象與x軸的交點(diǎn)中，相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為， ，； （2），， 一個(gè)最低點(diǎn)為，， ，則，， 即，， ，， 令，，解得，， 則在，單調(diào)遞減， ，的單調(diào)遞減區(qū)間為. 28．函數(shù)f（x）＝sin（πx+），

30、（1）求函數(shù)f（x）的周期； （2）判斷在[0，1]上單調(diào)性. 【答案】（1）2；（2）單調(diào)遞減. 【分析】 （1）首先化簡(jiǎn)函數(shù)，并根據(jù)公式求周期；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，再賦值后作出判斷. 【詳解】 （1）， 在函數(shù)的周期. （2）由2kπ≤πx≤2kπ+π，k∈Z， 得2k≤x≤2k+1， 當(dāng)k＝0時(shí)，0≤x≤1，即此時(shí)函數(shù)f（x）為減函數(shù)， 即f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減. 29．已知函數(shù)+1. （1）求函數(shù)的最小正周期； （2）求函數(shù)的遞增區(qū)間. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）利用余弦的二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，再函數(shù)的周期公式求得其最小正

31、周期； （2）原問(wèn)題等價(jià)為求的遞減區(qū)間，由余弦函數(shù)的性質(zhì)，整體代入可求得函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間. 【詳解】 解：（1）+1+1， 則函數(shù)最小正周期； （2）要求函數(shù)的遞增區(qū)間，等價(jià)為求的遞減區(qū)間， 由2kπ≤2x﹣≤2kπ+π，k∈Z，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z， 所以函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ+，kπ+]，k∈Z. 30．求函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)中心及單調(diào)區(qū)間. 【答案】對(duì)稱(chēng)軸；對(duì)稱(chēng)中心； 增區(qū)間為； 減區(qū)間為. 【分析】 利用整體代換法，根據(jù)余弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，單調(diào)性依次求解即可. 【詳解】 解：函數(shù)， 令 , 對(duì)稱(chēng)軸， 令 ， 對(duì)稱(chēng)中心， 令， ，

32、增區(qū)間為 令， ， 減區(qū)間為， 【點(diǎn)睛】 本題考查余弦性函數(shù)的性質(zhì)，利用整體代換法求正弦型，余弦型，正切型三角函數(shù)的中心、對(duì)稱(chēng)軸、單調(diào)區(qū)間，利用整體代換法求解是常用的方法，在利用整體代換法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)要注意的系數(shù)的正負(fù)對(duì)函數(shù)單調(diào)增減性的不同影響. 31．設(shè)函數(shù)的最小正周期為，且. （1）求函數(shù)的解析式； （2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間； （3）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝g（x）的圖象，求g（x）在上的值域. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】 （1）由函數(shù)的最小正周期為，求得，再由，求

33、得的值，即可求得函數(shù)的解析式； （2）由（1）知，根據(jù)余弦型函數(shù)的性質(zhì)，即可求得函數(shù)的遞增區(qū)間； （3）根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換，求得，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解. 【詳解】 （1）由題意，函數(shù)的最小正周期為， 所以，可得，所以， 又由，可得， 可得，即， 因?yàn)?，所以? 所以函數(shù)的解析式為. （2）由（1）知， 令，解得， 所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為. （3）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度， 得到函數(shù)， 再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變， 得到函數(shù)， 因?yàn)椋傻?，所以? 所以函數(shù)的值域?yàn)? 【點(diǎn)睛】 解答三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的基本方法

34、： 1、根據(jù)已知條件化簡(jiǎn)得出三角函數(shù)的解析式為的形式； 2、熟練應(yīng)用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合數(shù)形結(jié)合法的思想研究函數(shù)的性質(zhì)（如：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性、對(duì)稱(chēng)性、周期性與最值等），進(jìn)而加深理解函數(shù)的極值點(diǎn)、最值點(diǎn)、零點(diǎn)及有界性等概念與性質(zhì)，但解答中主要角的范圍的判定，防止錯(cuò)解. 32．求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間. 【答案】. 【分析】 ，然后解出不等式即可得到答案. 【詳解】 令，解得 所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是 33．求下列函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）解出不等式可得答案； （2），然后解出不等式即可. 【詳解】

35、（1）令，解得 所以的單調(diào)遞增區(qū)間是 （2） 令，解得 所以的單調(diào)遞增區(qū)間是 34．已知向量，，設(shè)函數(shù)，． （1）討論的單調(diào)性； （2）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，求，的值． 【答案】（1）時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞減；（2）,． 【分析】 （1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積和三角恒等變換，求出函數(shù)的解析式，再根據(jù)x的范圍，即可得到的單調(diào)性； （2）由方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性求出的值，再計(jì)算和的值即可． 【詳解】 （1）因?yàn)橄蛄?，? 所以函數(shù) ，， 當(dāng)時(shí)，， 令，解得， 所以時(shí)，即時(shí)，單調(diào)遞增， 時(shí)，即時(shí)，單調(diào)遞減； （2）當(dāng)時(shí)，； 所以，即；

36、 又方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、， 所以，解得， 所以； 由， 所以． 【點(diǎn)睛】 解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、數(shù)量積公式、三角恒等變換公式，并靈活應(yīng)用，需結(jié)合余弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性與值域進(jìn)行求解，綜合性較強(qiáng)，屬中檔題. 35．已知函數(shù). （1）求的單調(diào)增區(qū)間. （2）當(dāng)，求的值域. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）由恒等變換得，進(jìn)而根據(jù)解得的增區(qū)間為； （2）由得，進(jìn)而得，即的值域?yàn)? 【詳解】 解：（1）， ∵，， ∴，， ∴的增區(qū)間為. （2）∵， ∴， ∴， ∴的值域?yàn)? 【點(diǎn)睛】 本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)三角恒等變換得，進(jìn)

37、而根據(jù)整體換元的思想求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與值域，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題. 36．已知的圖象與直線相切，并且切點(diǎn)橫坐標(biāo)依次成公差為的等差數(shù)列． （1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間； （2）將的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍． （3）已知中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，其中，若銳角滿(mǎn)足，且，求內(nèi)切圓的面積． 【答案】（1），；（2）；（3）． 【分析】 （1）利用誘導(dǎo)公式、三角恒等變換思想化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為，根據(jù)已知條件求出、的值，即可得出函數(shù)的解析式為，解不等式可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間； （2）利用三角函數(shù)圖象變換原則可得，求出函數(shù)在區(qū)間上的值域，即

38、可得出實(shí)數(shù)的取值范圍； （3）由可求得，利用平面向量數(shù)量積的定義以及余弦定理求出，利用三角形的面積公式可求出的內(nèi)切圓半徑，即可求得的內(nèi)切圓的面積. 【詳解】 （1） ， 的圖象與直線相切，且，，， 又的圖象與直線的切點(diǎn)橫坐標(biāo)依次成公差為的等差數(shù)列， 所以，函數(shù)的最小正周期為，，可得， ， 令，解得：， 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，； （2）將的圖象向左平移個(gè)單位， 得到函數(shù)的圖象， 在上有零點(diǎn)， 即和圖象與的圖象在上有交點(diǎn)， 所以，實(shí)數(shù)的取值范圍即為函數(shù)在區(qū)間上的值域， 當(dāng)時(shí)，，所以，， 所以，，即， 若在上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為； （3）由

39、得，可得， 為銳角，則， ，則， 由余弦定理得， ，記為內(nèi)切圓半徑， 的面積，即，， 內(nèi)切圓的面積． 【點(diǎn)睛】 方法點(diǎn)睛：求函數(shù)在區(qū)間上值域的一般步驟： 第一步：三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)，一般化成形如的形式或的形式； 第二步：由的取值范圍確定的取值范圍，再確定（或)的取值范圍； 第三步：求出所求函數(shù)的值域（或最值）. 四、填空題 37．已知函數(shù)，將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)的圖像，現(xiàn)有如下命題：：函數(shù)的最小正周期是；：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；：函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?則下述命題中所有真命題的序號(hào)是________. ①；②；③；④. 【答案】①③ 【分析】

40、 首先根據(jù)平移變換規(guī)律求函數(shù)，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)判斷三個(gè)命題的真假，最后根據(jù)復(fù)合命題真假的判斷方法判斷選項(xiàng). 【詳解】 ， 的周期，所以函數(shù)的最小正周期是，所以是假命題； 當(dāng)時(shí)，，再次區(qū)間函數(shù)先減后增，所以是假命題； 時(shí)，，所以，函數(shù)的值域是，所以是真命題. 根據(jù)復(fù)合命題真假的判斷方法可知①③正確. 故答案為：①③ 【點(diǎn)睛】 思路點(diǎn)睛：本題考查的解析式和性質(zhì)的判斷，可以整體代入驗(yàn)證的方法判斷函數(shù)性質(zhì)：（1）對(duì)于函數(shù)，其對(duì)稱(chēng)軸一定經(jīng)過(guò)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)一定是函數(shù)的零點(diǎn)，因此判斷直線或點(diǎn)是否是函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸和對(duì)稱(chēng)中心時(shí)，可通過(guò)驗(yàn)證的值進(jìn)行判斷；（2）判斷某區(qū)

41、間是否是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，也可以求的范圍，驗(yàn)證次區(qū)間是否是函數(shù)的增或減區(qū)間. 38．已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則________. 【答案】 【分析】 令求出其對(duì)稱(chēng)軸，再令對(duì)稱(chēng)軸等于結(jié)合，即可求解 【詳解】 令，可得：， 令，解得， 因?yàn)?，所以，? 故答案為： 39．已知函數(shù)f（x）＝|sinx|﹣cosx，給出以下四個(gè)命題： ①f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)； ②f（x）在[﹣π，0]上是減函數(shù)； ③f（x）是周期函數(shù)； ④f（x）在[﹣π，π]上恰有三個(gè)零點(diǎn)． 其中真命題的序號(hào)是_____．（請(qǐng)寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)） 【答

42、案】①③ 【分析】 求函數(shù)的奇偶性即可判斷①；結(jié)合取值范圍，可去絕對(duì)值號(hào)，結(jié)合輔助角公式求出函數(shù)的解析式，從而可求單調(diào)性即可判斷②；由f（x+2π）＝f（x）可判斷③；求[﹣π，0]上的解析式，從而可求出該區(qū)間上的零點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的奇偶性即可判斷[﹣π，π]上零點(diǎn)個(gè)數(shù) . 【詳解】 解：對(duì)于①，函數(shù)f（x）＝sinx﹣cosx的定義域?yàn)镽，且滿(mǎn)足f（﹣x）＝f（x）， 所以f（x）是定義域在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，①為真命題； 對(duì)于②，當(dāng)x∈[﹣π，0]時(shí)，sinx≤0，， 對(duì)于，，所以在[﹣π，0]上先減后增，那么f（x）在[﹣π，0]上先增后減，②為假命題； 對(duì)于③

43、，因?yàn)閒（x+2π）＝|sin（x+2π）|﹣cos（x+2π）＝|sinx|﹣cosx＝f（x），函數(shù)f（x）是周期為2π的周期函數(shù)，③為真命題； 對(duì)于④，當(dāng)x∈[﹣π，0]時(shí)，sinx≤0，，且，f（x）在[﹣π，0]上恰有一個(gè)零點(diǎn)是，又由①知道f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，所以在（0，π]上有一個(gè)零點(diǎn)是，則④為假命題． 故答案為: ①③. 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)睛：在判斷命題②④時(shí)，關(guān)鍵是結(jié)合自變量的取值范圍去掉絕對(duì)值號(hào)，結(jié)合輔助角公式求出函數(shù)的解析式，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷. 40．已知函數(shù)，則的對(duì)稱(chēng)中心是______． 【答案】 【分析】 根據(jù)余弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，列出等式求解，即可得出對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)，進(jìn)而可得對(duì)稱(chēng)中心. 【詳解】 由得， ∴，， 此時(shí)，故的對(duì)稱(chēng)中心是. 故答案為：．