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第一節(jié) 平面向量的概念及其線性運算
【考綱下載】
1．了解向量的實際背景．
2．理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義．
3．理解向量的幾何表示．
4．掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義．
5．掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義．
6．了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義．
1．向量的有關概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：長度為0的向量，其方向是任意的．
(3)單位向量：長度等于1個單位的向量．
(4)平行向量：方向相同或
2、相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線．
(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量．
2．向量的線性運算
向量
運算
定義
法則(或幾何意義)
運算律
加法
求兩個向量和的運算
[來源:]
交換律：
a＋b＝b＋a；[來源:]
結合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
減法
求a與b的相反向量－b的和的運算
a－b＝a＋(－b)
數(shù)乘
求實數(shù)λ與向量a的積的運算
|λa|＝|λ||a|，當λ＞0時，λa與a的方向相同；當λ＜0時，λa與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0
λ(μ a)＝
3、(λ μ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3．共線向量定理
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是當且僅當有唯一一個實數(shù)λ，使得b＝λa.
1．兩向量共線與平行是兩個不同的概念嗎？兩向量共線是指兩向量的方向一致嗎？
提示：方向相同或相反的一組非零向量，叫做平行向量，又叫共線向量．顯然兩向量平行或共線，其方向可能相同，也可能相反．
2．兩向量平行與兩直線(或線段)平行有何不同？
提示：平行向量也叫共線向量，這里的“平行”與兩直線(或線段)平行的意義不同，兩向量平行時，兩向量可以在同一條直線上．
3．λ＝0與a＝0時，λa的值是否相等？
提示：
4、相等，且均為0.
4．當兩個非零向量a，b共線時，一定有b＝λa，反之成立嗎？
提示：成立．
[來源:]
[來源:]
1．若向量a與b不相等，則a與b一定( )
A．有不相等的?！ ．不共線
C．不可能都是零向量 D．不可能都是單位向量
解析：選C 若a與b都是零向量，則a＝b，故選項C正確．
2．若m∥n，n∥k，則向量m與向量k( )
A．共線 B．不共線[來源:]
C．共線且同向 D．不一定共線
解析：選D 可舉特例，當n＝0時，滿足m∥n，n∥k，故A、B、
5、C選項都不正確，故D正確．
3．D是△ABC的邊AB上的中點，則向量等于( )
A．－＋ B．－－
C．－ D．＋
解析：選A
如圖，由于D是AB的中點，所以＝＋＝＋＝－＋
4．(教材習題改編)化簡－＋－的結果為________．
解析：－＋－＝(＋)＋(－)＝＋＝.
答案：
5．已知a與－b是兩個不共線向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ的值為________．
解析：∵a＋λb與－(b－3a)共線，
∴存在實數(shù)μ，使a＋λb＝μ(3a－b)，
即∴
答案：－
易誤警示(四)
平面向量的線性
6、運算中的易誤點
[典例] (2013廣東高考)設a是已知的平面向量且a≠0.關于向量a的分解，有如下四個命題：
①給定向量b，總存在向量c，使a＝b＋c；
②給定向量b和c，總存在實數(shù)λ和μ，使a＝λb＋μc；
③給定單位向量b和正數(shù)μ，總存在單位向量c和實數(shù)λ，使a＝λb＋μc；
④給定正數(shù)λ和μ，總存在單位向量b和單位向量c，使a＝λb＋μc.
上述命題中的向量b，c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，則真命題的個數(shù)是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[解題指導] 利用三角形法則和平行四邊形法則逐項作出判斷．
[解析] 對于①，因為a與b給定，所以
7、a－b一定存在，可表示為c，即c＝a－b，故a＝b＋c成立，①正確；對于②，因為b與c不共線，由平面向量基本定理可知②正確；對于③，由題意必有λb和μc表示不共線且長度不定的向量，由于μ為正數(shù)，故λb＋μc不能把任意向量a表示出來，故③錯誤；對于④，利用向量加法的三角形法則，結合三角形兩邊之和大于第三邊，即必有|λb|＋|μc|＝λ＋μ≥|a|，故④錯，因此正確的個數(shù)為2.
[答案] B
[名師點評] 1.本題若對向量加法的幾何意義理解有誤或作圖不準，易誤認為③也是正確的，從而錯選C.
2．進行向量的線性運算時，要盡可能轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，選用從同一頂點出發(fā)的基本向量或首尾相連的
8、向量，運用向量加、減法運算及數(shù)乘運算來解．
下列命題中正確的是( )
A．向量a，b共線的充要條件是有且僅有一個實數(shù)λ，使b＝λa
B．在△ABC中，＋＋＝0
C．不等式||a|－|a＋b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中兩個等號不可能同時成立
D．向量a，b不共線，則向量a＋b與向量a－b必不共線
解析：選D 若a＝0，b≠0，此時a，b共線，但對任意實數(shù)λ都不滿足b＝λa，故選項A不正確；＋＋＝0而不是0，故選項B不正確；當a，b中至少有一個為0時，兩個等號同時成立，故選項C不正確；因為向量a與b不共線，所以a，b，a＋b與a－b均為非零向量．若a＋b與a－b共線，則存在實數(shù)λ，使a＋b＝λ(a－b)，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，則方程組無解，故假設不成立，即a＋b與a－b不共線，故選D.
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高考數(shù)學復習：第四章 ：第一節(jié)平面向量的概念及其線性運算回扣主干知識提升學科素養(yǎng)
