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第一節(jié) 平面向量的概念及其線性運算
【考綱下載】
1.了解向量的實際背景.
2.理解平面向量的概念,理解兩個向量相等的含義.
3.理解向量的幾何表示.
4.掌握向量加法、減法的運算,并理解其幾何意義.
5.掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義,理解兩個向量共線的含義.
6.了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義.
1.向量的有關(guān)概念
(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的模.
(2)零向量:長度為0的向量,其方向是任意的.
(3)單位向量:長度等于1個單位的向量.
(4)平行向量:方向相同或
2、相反的非零向量,又叫共線向量,規(guī)定:0與任一向量共線.
(5)相等向量:長度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量:長度相等且方向相反的向量.
2.向量的線性運算
向量
運算
定義
法則(或幾何意義)
運算律
加法
求兩個向量和的運算
[來源:]
交換律:
a+b=b+a;[來源:]
結(jié)合律:
(a+b)+c=a+(b+c)
減法
求a與b的相反向量-b的和的運算
a-b=a+(-b)
數(shù)乘
求實數(shù)λ與向量a的積的運算
|λa|=|λ||a|,當λ>0時,λa與a的方向相同;當λ<0時,λa與a的方向相反;當λ=0時,λa=0
λ(μ a)=
3、(λ μ)a;
(λ+μ)a=λa+μa;
λ(a+b)=λa+λb
3.共線向量定理
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是當且僅當有唯一一個實數(shù)λ,使得b=λa.
1.兩向量共線與平行是兩個不同的概念嗎?兩向量共線是指兩向量的方向一致嗎?
提示:方向相同或相反的一組非零向量,叫做平行向量,又叫共線向量.顯然兩向量平行或共線,其方向可能相同,也可能相反.
2.兩向量平行與兩直線(或線段)平行有何不同?
提示:平行向量也叫共線向量,這里的“平行”與兩直線(或線段)平行的意義不同,兩向量平行時,兩向量可以在同一條直線上.
3.λ=0與a=0時,λa的值是否相等?
提示:
4、相等,且均為0.
4.當兩個非零向量a,b共線時,一定有b=λa,反之成立嗎?
提示:成立.
[來源:]
[來源:]
1.若向量a與b不相等,則a與b一定( )
A.有不相等的?! .不共線
C.不可能都是零向量 D.不可能都是單位向量
解析:選C 若a與b都是零向量,則a=b,故選項C正確.
2.若m∥n,n∥k,則向量m與向量k( )
A.共線 B.不共線[來源:]
C.共線且同向 D.不一定共線
解析:選D 可舉特例,當n=0時,滿足m∥n,n∥k,故A、B、
5、C選項都不正確,故D正確.
3.D是△ABC的邊AB上的中點,則向量等于( )
A.-+ B.--
C.- D.+
解析:選A
如圖,由于D是AB的中點,所以=+=+=-+
4.(教材習題改編)化簡-+-的結(jié)果為________.
解析:-+-=(+)+(-)=+=.
答案:
5.已知a與-b是兩個不共線向量,且向量a+λb與-(b-3a)共線,則λ的值為________.
解析:∵a+λb與-(b-3a)共線,
∴存在實數(shù)μ,使a+λb=μ(3a-b),
即∴
答案:-
易誤警示(四)
平面向量的線性
6、運算中的易誤點
[典例] (2013廣東高考)設(shè)a是已知的平面向量且a≠0.關(guān)于向量a的分解,有如下四個命題:
①給定向量b,總存在向量c,使a=b+c;
②給定向量b和c,總存在實數(shù)λ和μ,使a=λb+μc;
③給定單位向量b和正數(shù)μ,總存在單位向量c和實數(shù)λ,使a=λb+μc;
④給定正數(shù)λ和μ,總存在單位向量b和單位向量c,使a=λb+μc.
上述命題中的向量b,c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線,則真命題的個數(shù)是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解題指導] 利用三角形法則和平行四邊形法則逐項作出判斷.
[解析] 對于①,因為a與b給定,所以
7、a-b一定存在,可表示為c,即c=a-b,故a=b+c成立,①正確;對于②,因為b與c不共線,由平面向量基本定理可知②正確;對于③,由題意必有λb和μc表示不共線且長度不定的向量,由于μ為正數(shù),故λb+μc不能把任意向量a表示出來,故③錯誤;對于④,利用向量加法的三角形法則,結(jié)合三角形兩邊之和大于第三邊,即必有|λb|+|μc|=λ+μ≥|a|,故④錯,因此正確的個數(shù)為2.
[答案] B
[名師點評] 1.本題若對向量加法的幾何意義理解有誤或作圖不準,易誤認為③也是正確的,從而錯選C.
2.進行向量的線性運算時,要盡可能轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中,選用從同一頂點出發(fā)的基本向量或首尾相連的
8、向量,運用向量加、減法運算及數(shù)乘運算來解.
下列命題中正確的是( )
A.向量a,b共線的充要條件是有且僅有一個實數(shù)λ,使b=λa
B.在△ABC中,++=0
C.不等式||a|-|a+b||≤|a+b|≤|a|+|b|中兩個等號不可能同時成立
D.向量a,b不共線,則向量a+b與向量a-b必不共線
解析:選D 若a=0,b≠0,此時a,b共線,但對任意實數(shù)λ都不滿足b=λa,故選項A不正確;++=0而不是0,故選項B不正確;當a,b中至少有一個為0時,兩個等號同時成立,故選項C不正確;因為向量a與b不共線,所以a,b,a+b與a-b均為非零向量.若a+b與a-b共線,則存在實數(shù)λ,使a+b=λ(a-b),即(λ-1)a=(1+λ)b,則方程組無解,故假設(shè)不成立,即a+b與a-b不共線,故選D.
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