【備戰(zhàn)】湖北版高考數(shù)學(xué)分項匯編 專題09 圓錐曲線含解析

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1、【備戰(zhàn)2016】(湖北版)高考數(shù)學(xué)分項匯編 專題09 圓錐曲線(含解析) 一.選擇題 1. 【2005年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷6】雙曲線離心率為2,有一個焦點與拋物線的焦點重合,則mn的值為( ) A. B. C. D. 2. 【2006年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷9】設(shè)過點P(x,y)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A、B兩點,點與點關(guān)于軸對稱,為坐標(biāo)原點,若,則點P的軌跡方程是( ) A. B. C.

2、 D. 3. 【2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷11】如圖所示,“嫦娥一號”探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球,在月球附近一點P軌進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道I繞月飛行,之后衛(wèi)星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行,最終衛(wèi)星在P點第三次變軌進入以F為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月飛行,若用2c1和2c2分別表示橢軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸的長,給出下列式子:①a1+c1=a2+c2;②a1-c1=a2-c2;③c1a2>a1c1;④<.其中正確式子的序號是( ) A.①③       B.②③    C.①④    D.

3、②④ 【答案】B 【解析】 試題分析:由焦點到頂點的距離可知②正確,由橢圓的離心率知③正確,故應(yīng)選B. 4. 【2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷5】已知雙曲線(b>0)的焦點,則b=( ) A.3 B. C. D. 5. 【2011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷4】將兩個頂點在拋物線上,另一個頂點是此拋物線焦點的正三角形個數(shù)記為n,則( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 試題分析:根據(jù)拋物線的

4、對稱性,正三角形的兩個頂點一定關(guān)于x軸對稱,且過焦點的兩條直線 6. 【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷2】已知,則雙曲線:與:的( ) A.實軸長相等 B.虛軸長相等 C.離心率相等 D.焦距相等 【答案】D 【解析】 試題分析:對于θ∈,sin2θ+cos2θ=1,因而兩條雙曲線的焦距相等,故選D. 7. 【2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷8】設(shè)、是關(guān)于的方程的兩個不等實根,則過,兩點的直線與雙曲線的公共點的個數(shù)為( ) A. 0 B. 1 C. 2

5、 D. 3 顯然直線是雙曲線的一條漸近線, 所以直線與雙曲線無交點,故選A. 考點:一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系,直線的斜率,雙曲線的性質(zhì),直線與雙曲線的位置關(guān)系,中等題. 8. 【2015高考湖北,文9】將離心率為的雙曲線的實半軸長和虛半軸長同時增加個單位長度,得到離心率為的雙曲線,則( ) A.對任意的, B.當(dāng)時,;當(dāng)時, C.對任意的, D.當(dāng)時,;當(dāng)時, 二.填空題 1.【2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷12】過雙曲線左焦點F的直線交雙曲線的左支于M、N兩點,F(xiàn)2為其右焦點,則|

6、MF2|+|NF2|-|MN|的值為 。 【答案】8 【解析】 試題分析:根據(jù)雙曲線定義有|MF2|-|MF|=2a,|NF2|-|NF|=2a,兩式相加得|MF2|+|NF2|-|MN|=4a=8. 2. 【2010年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷15】已知橢圓的兩焦點為,點滿足,則||+|的取值范圍為_______,直線與橢圓C的公共點個數(shù)_____. 三.解答題 1.【2005年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷22】設(shè)A、B是橢圓上的兩點,點N(1,3)是線段AB的中點,線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點. (Ⅰ)確定的取值范圍,并求直

7、線AB的方程; (Ⅱ)試判斷是否存在這樣的,使得A、B、C、D四點在同一個圓上?并說明理由. 依題意, 2. 【2006年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷21】設(shè)分別為橢圓的左、右頂點,橢圓長半軸的長等于焦距,且為它的右準(zhǔn)線。 (Ⅰ)、求橢圓的方程; (Ⅱ)、設(shè)為右準(zhǔn)線上不同于點(4,0)的任意一點,若直線分別與橢圓相交于異于的點,證明點在以為直徑的圓內(nèi)。 (此題不要求在答題卡上畫圖) 點P在準(zhǔn)線x=4上, ,即. ⑦ 又M點在橢圓上,+=1,即 ⑧ 于是將⑦

8、、⑧式化簡可得-=. 從而B在以MN為直徑的圓內(nèi). 3. 【2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷21】在平面直角坐標(biāo)系中,過定點作直線與拋物線相交于A、B兩點. (Ⅰ)若點N是點C關(guān)于坐標(biāo)原點O的對稱點,求△ANB面積的最小值; (Ⅱ)是否存在垂直于y軸的直線l,使得l被以AC為直徑的圓截得的張長恒為定值? 若存在,求出l的方程;若不存在,說明理由.(此題不要求在答題卡上畫圖) N O A C B y x 【解法2】(Ⅰ)前同解法1,再由弦長公式得 , 又由點到直線的距離公式得. 從而, 當(dāng)時,. N O A C B

9、 y x l 4.【2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷21】已知雙同線的兩個焦點為的曲線C上. (Ⅰ)求雙曲線C的方程; (Ⅱ)記O為坐標(biāo)原點,過點Q (0,2)的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F,若△OEF的面積為求直線l的方程 而原點O到直線l的距離d=, ∴SΔOEF= 若SΔOEF=,即解得k=, 滿足②.故滿足條件的直線l有兩條,其方程分別為y=和 解法2:依題意,可設(shè)直線l的方程為y=kx+2,代入雙曲線C的方程并整理, 由|OQ|=2及③式,得SΔOEF=. 若SΔOEF=2,即,解得k=,滿足②. 故滿足條

10、件的直線l有兩條,即方程分別為y=和y= 5. 【2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷21】如圖,過拋物線y2=2PX(P>0)的焦點F的直線與拋物線相交于M、N兩點,自M、N向準(zhǔn)線L作垂線,垂足分別為M1、N1 (Ⅰ)求證:FM1⊥FN1: (Ⅱ)記△FMM1、、△FM1N1、△FN N1的面積分別為S1、、S2、,S3,試判斷S22=4S1S3是否成立,并證明你的結(jié)論。 于是,, ,故 證法2:如圖,設(shè)直線M的傾角為, 則由拋物線的定義得 于是 在和中,由余弦定理可得 由(I)的結(jié)論,得 即,得證. 6. 【2010

11、年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷20】已知一條曲線C在y軸右邊,C上沒一點到點F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1。 (Ⅰ)求曲線C的方程 (Ⅱ)是否存在正數(shù)m,對于過點M(m,0)且與曲線C有兩個交點A,B的任一直線,都有<0?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請說明理由. ,即。 由此可知,存在正數(shù)m,對于過點M(m,0)且與曲線C有兩個交點A,B的任一直線,都有,且m的取值范圍。 7. 【2011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷21】平面內(nèi)與兩定點、連線的斜率之積等于非零常數(shù)的點的軌跡,加上、兩點所成的曲線可以是圓、橢圓或雙曲線. (Ⅰ)求曲線的方程,并討論

12、的形狀與值的關(guān)系; (Ⅱ)當(dāng)時,對應(yīng)的曲線為;對給定的,對應(yīng)的曲線為.設(shè)、是 的兩個焦點.試問:在上,是否存在點,使得△的面積.若存在,求 的值;若不存在,請說明理由. 從而,于是由, 可得,即. 綜上可得:當(dāng)時,在上,存在點N,使得,且; 當(dāng)時,在上,存在點,使得,且; 當(dāng)時,在上,不存在滿足條件的點N. 8. 【2012年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷21】設(shè)是單位圓上的任意一點,是過點與軸垂直的直線,是直線與 軸的交點,點在直線上,且滿足. 當(dāng)點在圓上運動時,記點M的軌跡為曲線. (Ⅰ)求曲線的方程,判斷曲線為何種圓

13、錐曲線,并求其焦點坐標(biāo); (Ⅱ)過原點斜率為的直線交曲線于,兩點,其中在第一象限,且它在軸上的射影為點,直線交曲線于另一點. 是否存在,使得對任意的,都有?若存在,求的值;若不存在,請說明理由. 都有. 圖2 圖3 圖1 O D x y A M 第21題解答圖 9. 【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷22】

14、如圖,已知橢圓與的中心在坐標(biāo)原點,長軸均為且在軸上,短軸長分別為,,過原點且不與軸重合的直線與,的四個交點按縱坐標(biāo)從大到小依次為A,B,C,D.記,△和△的面積分別為和. (Ⅰ)當(dāng)直線與軸重合時,若,求的值; (Ⅱ)當(dāng)變化時,是否存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l,使得?并說明理由. 第22題圖 解法2:如圖1,若直線l與y軸重合,則 |BD|=|OB|+|OD|=m+n,|AB|=|OA|-|OB|=m-n; S1=|BD||OM|=a|BD|, 將l的方程分別與C1,C2的方程聯(lián)立,可求得 ,. 根據(jù)對稱性可知xC=-xB,

15、xD=-xA,于是 =.② 從而由①和②式可得 .③ 解法2:如圖2, 若存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l,使得S1=λS2.根據(jù)對稱性, 不妨設(shè)直線l:y=kx(k>0), 點M(-a,0),N(a,0)到直線l的距離分別為d1,d2,則 因為,,所以d1=d2. 又S1=|BD|d1,S2=|AB|d2, 所以. 因為, 10. 【2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷22】在平面直角坐標(biāo)系中,點到點的距離比它到軸的距離多1,記點的軌跡為. (1)求軌跡為的方程; (2)設(shè)斜率為的直線過定點,求直線與軌跡恰好有一個公共點,兩個公共點,三個公共點時的相

16、應(yīng)取值范圍. 【解析】(1)設(shè)點,依題意,,即, 整理的, 所以點的軌跡的方程為. (2)在點的軌跡中,記,, 依題意,設(shè)直線的方程為, 由方程組得 ① (iii)若,由②③解得或, 即當(dāng)時,直線與有兩個共點,與有一個公共點. 故當(dāng)時,故此時直線與軌跡恰有三個公共點. 綜上所述,當(dāng)時直線與軌跡恰有一個公共點; 當(dāng)時,故此時直線與軌跡恰有兩個公共點; 當(dāng)時,故此時直線與軌跡恰有三個公共點. 考點:兩點間的距離公式,拋物線方程,直線與拋物線的位置關(guān)系. 11. 【2015高考湖北,文22】一種畫橢圓的工具如圖1所示.

17、是滑槽的中點,短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動,長桿MN通過N處鉸鏈與ON連接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動,且,.當(dāng)栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運動時,帶動N繞轉(zhuǎn)動,M處的筆尖畫出的橢圓記為C.以為原點,所在的直線為軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系. (Ⅰ)求橢圓C的方程; (Ⅱ)設(shè)動直線與兩定直線和分別交于兩點.若直線總與橢圓有且只有一個公共點,試探究:的面積是否存在最小值?若存在,求出該最小值;若不存在,說明理由. x D O M N y 第22題圖2 第22題圖1 時,.因,則,,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.所以當(dāng)時,的最小值為8. 綜合(1)(2)可知,當(dāng)直線與橢圓在四個頂點處相切時,的面積取得最小值8. 【考點定位】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與直線與橢圓相交綜合問題,屬高檔題.

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