高考數學人教A版理科含答案導學案【第四章】三角函數、解三角形 學案21

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1、 精品資料 學案21　兩角和與差的正弦、余弦和正切公式 導學目標： 1.會用向量數量積推導出兩角差的余弦公式.2.能利用兩角差的余弦公式導出兩角差的正弦、正切公式.3.能利用兩角差的余弦公式導出兩角和的正弦、余弦、正切公式.4.熟悉公式的正用、逆用、變形應用． 自主梳理 1．(1)兩角和與差的余弦 cos(α＋β)＝_____________________________________________， cos(α－β)＝_____________________________________________. (2

2、)兩角和與差的正弦 sin(α＋β)＝_____________________________________________， sin(α－β)＝_____________________________________________. (3)兩角和與差的正切 tan(α＋β)＝_____________________________________________， tan(α－β)＝_____________________________________________. (α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋，k∈Z) 其變形為： tan α＋tan β＝tan

3、(α＋β)(1－tan αtan β)， tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． 2．輔助角公式 asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)， 其中角φ稱為輔助角． 自我檢測 1．(2010福建)計算sin 43cos 13－cos 43sin 13的結果等于 (　　) A. B. C. D. 2．已知cos＋sin α＝，則sin的值是 (　　) A．－ B. C．－ D. 3．函數f(x)＝sin 2x－cos 2x的最小正周期

4、是 (　　) A. B．π C．2π D．4π 4．(2011臺州月考)設0≤α<2π，若sin α>cos α，則α的取值范圍是 (　　) A. B. C. D. 5．(2011廣州模擬)已知向量a＝(sin x，cos x)，向量b＝(1，)，則|a＋b|的最大值為(　　) A．1 B. C．3 D．9 探究點一　給角求值問題(三角函數式的化簡、求值) 例1　求值： (1)[2sin 50＋sin 10(1＋tan 10)]； (2)s

5、in(θ＋75)＋cos(θ＋45)－cos(θ＋15)． 變式遷移1　求值：(1)； (2)tan(－θ)＋tan(＋θ)＋tan(－θ)tan(＋θ)． 探究點二　給值求值問題(已知某角的三角函數值，求另一角的三角函數值) 例2　已知0<β<<α<，cos＝， sin＝，求sin(α＋β)的值． 變式遷移2　(2011廣州模擬)已知tan＝2，tan β＝. (1)求tan α的值； (2)求的值． 探究點三　給值求角問題(已知某角的三角函數值，求另一角的值) 例3　已知0<α<<β<π，tan ＝，cos

6、(β－α)＝. (1)求sin α的值；　(2)求β的值． 變式遷移3　(2011岳陽模擬)若sin A＝，sin B＝，且A、B均為鈍角，求A＋B的值． 轉化與化歸思想的應用 例　(12分)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝. (1)求cos(α－β)的值； (2)若－<β<0<α<，且sin β＝－，求sin α的值． 【答題模板】 解　(1)∵|a－b|＝，∴a2－2ab＋b2＝.[2分] 又∵a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，∴a2＝b2＝1， ab＝

7、cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)，[4分] 故cos(α－β)＝＝＝.[6分] (2)∵－<β<0<α<，∴0<α－β<π.∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝.[8分] 又∵sin β＝－，－<β<0，∴cos β＝.[9分] 故sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝＋＝.[12分] 【突破思維障礙】 本題是三角函數問題與向量的綜合題，唯一一個等式條件|a－b|＝，必須從這個等式出發(fā)，利用向量知識化簡再結合兩角差的余弦公式可求第(1)問，在第(2)問中需要把未知角向已知角轉化再利用角的范

8、圍來求，即將α變?yōu)?α－β)＋β. 【易錯點剖析】 |a－b|平方逆用及兩角差的余弦公式是易錯點，把未知角轉化成已知角并利用角的范圍確定三角函數符號也是易錯點． 1．轉化思想是實施三角變換的主導思想，變換包括：函數名稱變換，角的變換，“1”的變換，和積變換，冪的升降變換等等． 2．變換則必須熟悉公式．分清和掌握哪些公式會實現哪種變換，也要掌握各個公式的相互聯系和適用條件． 3．恒等變形前需已知式中角的差異，函數名稱的差異，運算結構的差異，尋求聯系，實現轉化． 4．基本技巧：切割化弦，異名化同，異角化同或盡量減少名稱、角數，化為同次冪，化為比例式，化為常數． (滿分：75

9、分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．(2011佛山模擬)已知sin＋sin α＝－，則cos等于 (　　) A．－ B．－ C. D. 2．已知cos－sin α＝，則sin的值是 (　　) A．－ B. C．－ D. 3．(2011寧波月考)已知向量a＝，b＝(4,4cos α－)，若a⊥b，則sin等于 (　　) A．－ B．

10、－ C. D. 4．函數y＝sin x＋cos x圖象的一條對稱軸方程是 (　　) A．x＝ B．x＝ C．x＝－ D．x＝－ 5．在△ABC中，3sin A＋4cos B＝6,4sin B＋3cos A＝1，則C的大小為 (　　) A. B.π C.或π D.或π 題號 1 2 3 4 5 答案 二、填空題(每小題4分，共12分) 6．(2010重慶)如圖， 圖中的實線是由三段圓弧連接而成的一條封閉曲

11、線C，各段弧所在的圓經過同一點P(點P不在C上)且半徑相等．設第i段弧所對的圓心角為αi (i＝1,2,3)，則cos cos － sin sin ＝________. 7．設sin α＝ ，tan(π－β)＝，則tan(α－β)＝________. 8．(2011惠州月考)已知tan α、tan β是方程x2＋3x＋4＝0的兩根，且α、β∈，則tan(α＋β)＝__________，α＋β的值為________． 三、解答題(共38分) 9．(12分)(1)已知α∈，β∈且sin(α＋β)＝，cos β＝－.求sin α； (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，ta

12、n β＝－，求2α－β的值． 10．(12分)(2010四川)(1)①證明兩角和的余弦公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－ sin αsin β；②由C(α＋β)推導兩角和的正弦公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β. （2）已知△ABC的面積S=，＝3，且cos B＝，求cos C. 11．(14分)(2011濟南模擬)設函數f(x)＝ab，其中向量a＝(2cos x,1)，b＝(cos x，sin 2x)，x∈R. (1)若函數f(x)＝1－，且x∈，求x； (2)求函數y＝f(x)的

13、單調增區(qū)間，并在給出的坐標系中畫出y＝f(x)在區(qū)間[0，π]上的圖象． 答案 自主梳理 1．(1)cos αcos β－sin αsin β　cos αcos β＋sin αsin β (2)sin αcos β＋cos αsin β　sin αcos β－cos αsin β (3)　　2.　 自我檢測 1．A　2.C　3.B　4.C　5.C 課堂活動區(qū) 例1　解題導引　在三角函數求值的問題中，要注意“三看”口訣，即(1)看角，把角盡量向特殊角或可計算的角轉化，合理拆角，化異為同；(2)看名稱，把算式盡量化成同一名稱或相近的名稱，例如把所有的切都轉化為

14、弦，或把所有的弦都轉化為切；(3)看式子，看式子是否滿足三角函數的公式．如果滿足則直接使用，如果不滿足需轉化一下角或轉換一下名稱，就可以使用． 解　(1)原式 ＝sin 80 ＝ sin 80 ＝cos 10 ＝cos 10 ＝cos 10＝2sin 60 ＝2＝. (2)原式＝sin[(θ＋45)＋30]＋cos(θ＋45)－cos[(θ＋45)－30] ＝sin(θ＋45)＋cos(θ＋45)＋cos(θ＋45)－cos(θ＋45)－sin(θ＋45)＝0. 變式遷移1　解　(1)原式＝ ＝＝＝. (2)原式＝tan[(－θ)＋(＋θ)][1－tan(－θ)tan(

15、＋θ)]＋tan(－θ)tan(＋θ)＝. 例2　解題導引　對于給值求值問題，即由給出的某些角的三角函數的值，求另外一些角的三角函數值，關鍵在于“變角”，使“所求角”變?yōu)椤耙阎恰保艚撬谙笙逈]有確定，則應分類討論．應注意公式的靈活運用，掌握其結構特征，還要學會拆角、拼角等技巧． 解　cos＝sin＝， ∵0<β<<α<， ∴<＋α<π，<＋β<π. ∴cos＝－＝－， cos＝－＝－. ∴sin[π＋(α＋β)]＝sin ＝sincos＋cossin ＝－＝－. ∴sin(α＋β)＝. 變式遷移2　解　(1)由tan＝2，得＝2， 即1＋tan α＝2－2tan α

16、，∴tan α＝. (2) ＝ ＝＝ ＝－tan(α－β)＝－ ＝－＝. 例3　解題導引　(1)通過求角的某種三角函數值來求角，在選取函數時，遵循以下原則： ①已知正切函數值，選正切函數； ②已知正、余弦函數值，選正弦或余弦函數；若角的范圍是，選正、余弦皆可；若角的范圍是(0，π)，選余弦較好；若角的范圍為，選正弦較好． (2)解這類問題的一般步驟： ①求角的某一個三角函數值； ②確定角的范圍； ③根據角的范圍寫出所求的角． 解　(1)∵tan ＝， ∴sin α＝sin＝2sin cos ＝＝＝＝. (2)∵0<α<，sin α＝，∴cos α＝. 又0<

17、α<<β<π，∴0<β－α<π. 由cos(β－α)＝，得sin(β－α)＝. ∴sin β＝sin[(β－α)＋α] ＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α ＝＋＝＝. 由<β<π得β＝π. (或求cos β＝－，得β＝π) 變式遷移3　解　∵A、B均為鈍角且sin A＝，sin B＝， ∴cos A＝－＝－＝－， cos B＝－＝－＝－. ∴cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B ＝－－＝.① 又∵

18、6．－　7.－　8.?。? 9．解　(1)∵β∈，cos β＝－， ∴sin β＝.…………………………………………………………………………(2分) 又∵0<α<，<β<π， ∴<α＋β<，又sin(α＋β)＝， ∴cos(α＋β)＝－ ＝－ ＝－，…………………………………………………………(4分) ∴sin α＝sin[(α＋β)－β] ＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β ＝－＝.…………………………………………………………(6分) (2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β] ＝＝＝，……………………………………………………(8分) ∴tan

19、(2α－β)＝tan[α＋(α－β)] ＝＝＝1.……………………………………………………(10分) ∵α，β∈(0，π)，tan α＝<1，tan β＝－<0， ∴0<α<，<β<π， ∴－π<2α－β<0，∴2α－β＝－.……………………………………………………(12分) 10．(1) ①證明　如圖，在直角坐標系xOy內作單位圓O，并作出角α、β與－β，使角α的始邊為Ox，交⊙O于點P1，終邊交⊙O于點P2；角β的始邊為OP2，終邊交⊙O于點P3；角－β的始邊為OP1，終邊交⊙O于點P4. 則P1(1,0)，P2(cos α，sin α)，P3(cos(α＋β)，sin(

20、α＋β))，P4(cos(－β)，sin(－β))， …………………………………………………………………………………………(2分) 由|P1P3|＝|P2P4|及兩點間的距離公式， 得[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β) ＝[cos(－β)－cos α]2＋[sin(－β)－sin α]2， 展開并整理得： 2－2cos(α＋β)＝2－2(cos αcos β－sin αsin β)， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.……………………………………………………(4分) ②解　由①易得，cos＝sin α， sin＝cos α. sin

21、(α＋β)＝cos ＝cos ＝coscos(－β)－sinsin(－β) ＝sin αcos β＋cos αsin β. ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.……………………………………………………(7分) (2)解　由題意，設△ABC的角B、C的對邊分別為b、c. 則S＝bcsin A＝， ＝bccos A＝3>0， ∴A∈，cos A＝3sin A，……………………………………………………………(9分) 又sin2A＋cos2A＝1， ∴sin A＝，cos A＝， 由cos B＝，得sin B＝. ∴cos(A＋B)＝cos Acos

22、 B－sin Asin B＝. ……………………………………………………………………………………………(11分) 故cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－. ……………………………………………………………………………………………(12分) 11．解　(1)依題設得f(x)＝2cos2x＋sin 2x ＝1＋cos 2x＋sin 2x＝2sin＋1. 由2sin＋1＝1－， 得sin＝－.……………………………………………………………………(3分) ∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤. ∴2x＋＝－，即x＝－.………………………………………………………………(6分) (2)－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ (k∈Z)， 即－＋kπ≤x≤＋kπ (k∈Z)， 得函數單調增區(qū)間為 (k∈Z)．……………………………………(10分) 列表： x 0 π y 2 3 2 0 －1 0 2 描點連線，得函數圖象如圖所示： …………………………………………………………………………………………(14分)