浙江省2018屆中考數(shù)學(xué)：第8講《一元二次方程及其應(yīng)用》名師講練(共9頁)

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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上 第8講　一元二次方程及其應(yīng)用 1．一元二次方程的概念及解法 考試內(nèi)容 考試 要求 一元二次方程的概念 只含有 個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是 的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)． a 一元二次方程的解法 解一元二次方程的基本思想是____________________，主要方法有：____________________法、直接開平方法、____________________法、公式法等． c 2.一元二次方程根的判別式 考試內(nèi)容 考試 要求 根的判

2、別 式的定義 關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判別式為____________________． b 判別式與 根的關(guān)系 (1)b2－4ac＞0?一元二次方程____________________的實(shí)數(shù)根； (2)b2－4ac＝0?一元二次方程____________________的實(shí)數(shù)根； (3)b2－4ac＜0?一元二次方程____________________實(shí)數(shù)根． 考試內(nèi)容 考試 要求 基本 思想 化歸與轉(zhuǎn)化思想，一元二次方程的解法：直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法，都是運(yùn)用了“轉(zhuǎn)化”的思想，把待解決的問題(一元二

3、次方程)，通過轉(zhuǎn)化，歸結(jié)為已解決的問題(一元一次方程)，也就是不斷地把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”． c 基本 方法 對(duì)系數(shù)特點(diǎn)采用不同方法的最優(yōu)化解題策略，養(yǎng)成先觀察后動(dòng)筆的解題習(xí)慣．一般情況下：(1)首先看能否用直接開平方法或因式分解法；(2)不能用以上方法時(shí)，可考慮用公式法；(3)除特別指明外，一般不用配方法． 1．(2015溫州)若關(guān)于x的一元二次方程4x2－4x＋c＝0有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，則c的值是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．－1 B．1

4、 C．－4 D．4 2．(2017舟山)用配方法解方程x2＋2x－1＝0時(shí)，配方結(jié)果正確的是(　　) A．(x＋2)2＝2 B．(x＋1)2＝2 C．(x＋2)2＝3 D．(x＋1)2＝3 3．(2017麗水)解方程：(x－3)(x－1)＝3. 　　　　　　 【問題】給出以下方程①3x＋1＝0；②x2－2x＝8；③－＝1. (1)是一元二次方程的是__________； (2)求出(1)中的一元二次方程的解，并聯(lián)想還有其他的解法嗎？ (3)通過(1)(2)問題解決，你能想到一元二次方程

5、的哪些知識(shí)？ 　【歸納】通過開放式問題，歸納、疏理一元二次方程的概念以及解法． 類型一　一元二次方程的有關(guān)概念 　(1)關(guān)于x的方程(a－6)x2－8x＋6＝0有實(shí)數(shù)根，則整數(shù)a的最大值是________． (2)若x＝1是一元二次方程ax2＋bx－40＝0的一個(gè)解，且a≠b，則的值為________． (3)關(guān)于x的方程a(x＋m)2＋b＝0的解是x1＝－2，x2＝1，(a，m，b均為常數(shù)，a≠0)，則方程a(x＋m＋2)2＋b＝0的解是________． 【解后感悟】(1)切記不要忽略一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不為零這一隱含條件；(2)注意解題中的整體代入思想；(3

6、)注意由兩個(gè)方程的特點(diǎn)進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算． 1．(1)(2016南京模擬)關(guān)于x的一元二次方程(a2－1)x2＋x－2＝0是一元二次方程，則a滿足(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．a(chǎn)≠1 B．a(chǎn)≠－1 C．a(chǎn)≠1 D．為任意實(shí)數(shù) (2)已知x＝1是一元二次方程x2＋mx＋n＝0的一個(gè)根，則m2＋2mn＋n2的值為____________________． 類型二　一元二次方程的解法 　解下列方程： (1)(3x－1)2＝(x＋1)2； (2)

7、2x2＋x－＝0. 【解后感悟】解一元二次方程要根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇合適的方法解題，但一般順序?yàn)椋褐苯娱_平方法→因式分解法→公式法．一般沒有特別要求的不用配方法．解題關(guān)鍵是能把解一元二次方程轉(zhuǎn)化成解一元一次方程． 2．解方程：(1)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7； 　　　　　　 (2)x(x－2)＋x－2＝0. 　　　 　　　 類型三　一元二次方程根的判別式 　(1)(2017濰坊)若關(guān)于x的一元二次方程kx2－2x＋1＝0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是________． (2)(2015臺(tái)州)關(guān)于x的方程mx2＋x－m＋1＝0，有以下三個(gè)結(jié)

8、論：①當(dāng)m＝0時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)解；②當(dāng)m≠0時(shí)，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解；③無論m取何值，方程都有一個(gè)負(fù)數(shù)解，其中正確的是________(填序號(hào))． 【解后感悟】在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，需要把握根的三種存在情況：b2－4ac≥0，方程有實(shí)數(shù)根(兩個(gè)相等或兩個(gè)不相等)；b2－4ac＜0，無實(shí)數(shù)根． 3．已知命題“關(guān)于x的一元二次方程x2＋bx＋1＝0，當(dāng)b＜0時(shí)必有實(shí)數(shù)解”，能說明這個(gè)命題是假命題的一個(gè)反例是(　　) A．b＝－1 B．b＝2 C．b＝－2 D．b＝0 4．若關(guān)于x的一元二次方程kx

9、2＋4x＋3＝0有實(shí)根，則k的非負(fù)整數(shù)值是____________________． 5．已知關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0(a≠0)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求的值． 　　　　　 　　　 類型四　與幾何相關(guān)的綜合問題 　 (1) 在寬為20m，長(zhǎng)為32m的矩形田地中央修筑同樣寬的兩條互相垂直的道路，把矩形田地分成四個(gè)相同面積的小田地，作為良種試驗(yàn)田，要使每小塊試驗(yàn)田的面積為135m2，則道路的寬為________m. (2)(2016張家口模擬)如圖，若將左圖正方形剪成四塊，恰能拼成右圖的矩形，設(shè)a＝1，則b＝________． (3)(2015廣安)一個(gè)等腰

10、三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是方程x2－7x＋10＝0的兩根，則該等腰三角形的周長(zhǎng)是________． 【解后感悟】(1)此題關(guān)鍵是將四個(gè)矩形以恰當(dāng)?shù)姆绞狡闯纱缶匦瘟谐龅攘筷P(guān)系．(2)此題是一個(gè)信息題目，首先根據(jù)題目隱含條件找到數(shù)量關(guān)系，然后利用數(shù)量關(guān)系列出方程解決問題．(3)本題關(guān)鍵是確定三角形的三邊的長(zhǎng)度，用的數(shù)學(xué)思想是分類討論思想．要隨時(shí)注意三邊之間滿足的關(guān)系“任意兩邊之和大于第三邊”． 6．(1)(2016臺(tái)灣)如圖的六邊形是由甲、乙兩個(gè)長(zhǎng)方形和丙、丁兩個(gè)等腰直角三角形所組成，其中甲、乙的面積和等于丙、丁的面積和．若丙的一股長(zhǎng)為2，且丁的面積比丙的面積小，則丁的一股長(zhǎng)為何？(　　)

11、A. B. C．2－ D．4－2 (2)一個(gè)直角三角形的兩條邊長(zhǎng)是方程x2－7x＋12＝0的兩個(gè)根，則此直角三角形的面積等于　　　　　　　　. (3)有一塊長(zhǎng)32cm，寬24cm的長(zhǎng)方形紙片，如圖，在每個(gè)角上截去相同的正方形，再折起來做成一個(gè)無蓋的盒子，已知盒子的底面積是原紙片面積的一半，則盒子的高是____________________cm. 類型五　一元二次方程在生活中的應(yīng)用 　(1)(2017濟(jì)寧市任城區(qū)模擬)某種數(shù)碼產(chǎn)品原價(jià)每只400元，經(jīng)過連續(xù)兩次降價(jià)后，現(xiàn)在每只售價(jià)為256元，則平均每次降價(jià)的

12、百分率為________． (2)某單位要組織一次籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式(每?jī)申?duì)之間都要賽一場(chǎng))計(jì)劃安排15場(chǎng)比賽，則參加比賽的球隊(duì)?wèi)?yīng)有________隊(duì)． (3)商場(chǎng)在促銷活動(dòng)中，將標(biāo)價(jià)為200元的商品，在打a折的基礎(chǔ)上再打a折銷售，現(xiàn)該商品的售價(jià)為128元，則a的值是________． (4)將進(jìn)貨單價(jià)為40元的商品按50元出售時(shí)，能賣500個(gè)，已知該商品每漲價(jià)1元，其銷量就要減少10個(gè)，為了賺8000元利潤(rùn)，則應(yīng)進(jìn)貨________個(gè)． 【解后感悟】(1)若設(shè)變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a(1x)2＝b；(2)關(guān)鍵是準(zhǔn)確找到描述

13、語，根據(jù)等量關(guān)系準(zhǔn)確地列出方程．此題還要判斷所求的解是否符合題意，舍去不合題意的解；(3)此題打a折轉(zhuǎn)化是解決問題的關(guān)鍵；(4)解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解． 7．(1)(2016寧波市鎮(zhèn)海區(qū)模擬)畢業(yè)典禮后，九年級(jí)(1)班有若干人，若每人給全班的其他成員贈(zèng)送一張畢業(yè)紀(jì)念卡，全班共送賀卡1190張，則九年級(jí)(1)班人數(shù)為____________________人． (2)(2017山西模擬)將一些半徑相同的小圓按如圖的規(guī)律擺放，請(qǐng)仔細(xì)觀察，第____________________個(gè)圖形有94個(gè)小圓． 【探索研究題】

14、 1．(1)(2017溫州)我們知道方程x2＋2x－3＝0的解是x1＝1，x2＝－3，現(xiàn)給出另一個(gè)方程(2x＋3)2＋2(2x＋3)－3＝0，它的解是(　　) A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝－3 C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝－1，x2＝－3 (2)(2017寧波市北侖區(qū)模擬)已知m是方程x2－2017x＋1＝0的一個(gè)根，則代數(shù)式m2－2018m＋＋3的值是________． 【方法與對(duì)策】(1)此題主要利用了方程結(jié)構(gòu)相同的整體代入的方法求一元二次方程的解；(2)此題主要利用了一元二次方程的解得到已知式，再利用整體代入的方法求值．該題型是中考命題方法之

15、一． 【忽視一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中“a≠0”】 已知關(guān)于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋1＝0有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是________． 參考答案 第8講　一元二次方程及其應(yīng)用 【考點(diǎn)概要】 1．一　2　降次　配方　因式分解　2.b2－4ac　有兩個(gè)不相等　有兩個(gè)相等　沒有 【考題體驗(yàn)】 1．B　2.B　3.x1＝0，x2＝4. 【知識(shí)引擎】 【解析】(1)②；　(2)x1＝4，x2＝－2(配方法)，其他方法：因式分解法、公式法；　(3)一元二次方程的概念以及解法． 【例題精析】 例1　(1)①若a＝6

16、，則方程有實(shí)數(shù)根，②若a≠6，則Δ≥0，∴64－4(a－6)6≥0，整理得：a≤，∴a的最大值為8；(2)∵x＝1是一元二次方程ax2＋bx－40＝0的一個(gè)解，∴x＝1滿足一元二次方程ax2＋bx－40＝0，∴a＋b－40＝0，即a＋b＝40①，＝＝，即＝②，把①代入②，得＝20.(3)∵關(guān)于x的方程a(x＋m)2＋b＝0的解是x1＝－2，x2＝1，(a，m，b均為常數(shù)，a≠0)，∴方程a(x＋m＋2)2＋b＝0變形為a[(x＋2)＋m]2＋b＝0，即此方程中x＋2＝－2或x＋2＝1，解得x＝－4或x＝－1. 例2　(1)將方程(3x－1)2＝(x＋1)2移項(xiàng)得，(3x－1)2－(x＋1)2

17、＝0，∴(3x－1＋x＋1)(3x－1－x－1)＝0，∴4x(2x－2)＝0，∴x(x－1)＝0，解得x1＝0，x2＝1.　(2)∵2x2＋x－＝0，可得，a＝2，b＝1，c＝－，∴x＝－.　例3　(1)∵關(guān)于x的一元二次方程kx2－2x＋1＝0有實(shí)數(shù)根，∴Δ＝b2－4ac≥0，即：4－4k≥0，解得：k≤1，∵關(guān)于x的一元二次方程kx2－2x＋1＝0中k≠0，故答案為：k≤1且k≠0.(2)當(dāng)m＝0時(shí)，x＝－1，方程只有一個(gè)解，①正確；當(dāng)m≠0時(shí)，方程mx2＋x－m＋1＝0是一元二次方程，Δ＝1－4m(1－m)＝1－4m＋4m2＝(2m－1)2≥0，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，②錯(cuò)誤；把mx2＋x－m

18、＋1＝0分解為(x＋1)(mx－m＋1)＝0，當(dāng)x＝－1時(shí)，m－1－m＋1＝0，即x＝－1是方程mx2＋x－m＋1＝0的根，③正確；故答案為①③. 例4　(1)設(shè)道路的寬為x米．依題意得：(32－x)(20－x)＝1354，解之得x1＝2，x2＝50(不合題意舍去)，∴道路寬為2m.(2)依題意得(a＋b)2＝b(b＋a＋b)，而a＝1，∴b2－b－1＝0，∴b＝.(3)∵x2－7x＋10＝0，∴(x－2)(x－5)＝0，x1＝2，x2＝5，①等腰三角形的三邊是2，2，5，∵2＋2<5，∴不符合三角形三邊關(guān)系定理，此時(shí)不符合題意；②等腰三角形的三邊是2，5，5，此時(shí)符合三角形三邊關(guān)系定理，三

19、角形的周長(zhǎng)是2＋5＋5＝12；即等腰三角形的周長(zhǎng)是12.故答案：12. 例5　(1)20%；(2)6；(3)200＝128，得a＝8；(4)設(shè)銷售價(jià)x元/個(gè)，得[500－10(x－50)](x－40)＝8000，∴x＝60或x＝80，∴應(yīng)進(jìn)貨400或200個(gè)． 【變式拓展】 1． (1)C　(2)1　 2. (1)x1＝2，x2＝4　(2)x1＝2，x2＝－1　 3.A　 4.1　 5. ∵ax2＋bx＋1＝0(a≠0)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝b2－4ac＝0，即b2－4a＝0，b2＝4a.∴＝＝＝.∵a≠0，∴原式＝＝＝＝4.　 6. (1)D　(2)6或　(3)4　 7.(1)35　(2)9 【熱點(diǎn)題型】 【分析與解】(1)先把方程(2x＋3)2＋2(2x＋3)－3＝0看作關(guān)于2x＋3的一元二次方程，利用題中的解得到2x＋3＝1或2x＋3＝－3，所以x1＝－1，x2＝－3.故選D.　(2)根據(jù)一元二次方程根的定義得到m2＝2017m－1，再利用整體代入的方法得到原式＝2017m－1－2018m＋＋3＝－1－m＋m＋3＝2.故答案是2. 【錯(cuò)誤警示】 m≤且m≠1，由一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則12－4(m－1)≥0且m－1≠0.∴m≤且m≠1. 專心---專注---專業(yè)