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1、第四十一講第四十一講 空間圖形的基本關系與空間圖形的基本關系與公理公理走進高考第一關走進高考第一關 考點關考點關回回 歸歸 教教 材材1.空間圖形的基本關系空間圖形的基本關系(1)空間點與直線的位置關系空間點與直線的位置關系(2)空間點與平面的位置關系空間點與平面的位置關系(3)空間兩條直線的位置關系空間兩條直線的位置關系(4)空間直線與平面的位置關系空間直線與平面的位置關系(5)空間平面與平面的位置關系空間平面與平面的位置關系2.空間圖形的公理空間圖形的公理(1)公理公理1:如果一條直線上的兩點在一個平面內如果一條直線上的兩點在一個平面內,那么這條直線那么這條直線上所有點都在這個平面內上所有
2、點都在這個平面內(即直線在平面內即直線在平面內).用符號表示用符號表示:若若AL,BL,且且A,B,則則L ,公理公理1的作用是判斷直線在平面內的作用是判斷直線在平面內,也可以由點在直線上以及也可以由點在直線上以及直線在平面內直線在平面內,判斷點在平面內判斷點在平面內.(2)公理公理2:經過不在同一條直線上的三點經過不在同一條直線上的三點,有且只有一個平面有且只有一個平面(即可以確定一個平面即可以確定一個平面).推論推論1:經過一條直線和這條直線外一點經過一條直線和這條直線外一點,可以確定一個平面可以確定一個平面;推論推論2:經過兩條相交直線經過兩條相交直線,可以確定一個平面可以確定一個平面;
3、推論推論3:經過兩條平行直線經過兩條平行直線,可以確定一個平面可以確定一個平面.公理公理2的作用是確定平面的作用是確定平面.(3)公理公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線只有一條通過這個點的公共直線.用符號表示用符號表示:P,P,則則=L且且PL.公理公理3的作用的作用:可以確定兩個平面的交線可以確定兩個平面的交線,只要找到兩個平面只要找到兩個平面的兩個公共點的兩個公共點,就能找到它們的交線就能找到它們的交線,還可以判斷點在直線還可以判斷點在直線上上,即若某個點是兩個相交平面的公共點即若某個點是兩個相交平
4、面的公共點,則這個點在兩個平則這個點在兩個平面的交線上面的交線上.(4)公理公理4:平行于同一條直線的兩條直線平行平行于同一條直線的兩條直線平行.符號表示符號表示:AB,CBAC.公理公理4是判斷兩條直線平行的依據(jù)是判斷兩條直線平行的依據(jù).(5)定理定理(等角定理等角定理):空間中空間中,如果兩個角的兩條邊分別對應平如果兩個角的兩條邊分別對應平行行,那么這兩個角相等或互補那么這兩個角相等或互補.3.異面直線異面直線(1)判定方法判定方法定義法定義法:不同時在任何一個平面內不同時在任何一個平面內.過平面內一點與平面外一點的一條直線與該平面內不經過過平面內一點與平面外一點的一條直線與該平面內不經過
5、該點的直線異面該點的直線異面.(2)異面直線所成的角異面直線所成的角,已知已知A,B為異面直線為異面直線過空間任意一點過空間任意一點P分別引兩條異面直線分別引兩條異面直線A,B的平行線的平行線L1,L2(AL1,BL2),這兩條相交直線所成的銳角這兩條相交直線所成的銳角(或直角或直角)就是就是異面直線異面直線A,B所成的角所成的角,如果兩條異面直線所成的角是直角如果兩條異面直線所成的角是直角,我我們稱這兩條直線互相垂直們稱這兩條直線互相垂直.兩條異面直線所成角的范圍兩條異面直線所成角的范圍090.考考 點點 訓訓 練練1.如果三個平面兩兩相交如果三個平面兩兩相交,那么它們的交線條數(shù)有那么它們的
6、交線條數(shù)有( )A.3B.1C.1或或3D.2或或3答案答案:C解析解析:如圖如圖(一一)有三條交線有三條交線,如圖如圖(二二)有一條交線有一條交線.故選故選C.2.若直線若直線M與平面與平面相交但相交但不不垂直垂直,則下列說法中正確的是則下列說法中正確的是( )A.在平面在平面內有且只有一條直線與直線內有且只有一條直線與直線M垂直垂直B.過直線過直線M有且只有一個平面與平面有且只有一個平面與平面垂直垂直C.與直線與直線M垂直的直線垂直的直線不不可能與平面可能與平面平行平行D.與直線與直線M平行的平面平行的平面不不可能與平面可能與平面垂直垂直解析解析:由直線與平面的位置關系可知選由直線與平面的
7、位置關系可知選B.答案答案:B3.(2009海南海南,寧夏寧夏)如圖如圖,正方體正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為的棱長為1,線段線段B1D1上有兩個動點上有兩個動點E,F,且且 ,2EF2則下列結論中錯誤的是A. ACBEB. EF平面平面ABCDC.三棱錐三棱錐ABEF的體積為定值的體積為定值D.異面直線異面直線AE,BF所成的角為定值所成的角為定值解析解析:因因AC平面平面BB1D1D,所以所以ACBE,選項選項A正確正確;因因B1D1平面平面ABCD,所以所以EF平面平面AC,選項選項B正確正確;因點因點A到平到平面面BB1D1D的距離為定值的距離為定值,BEF的面積也為定值的面積
8、也為定值,所以三棱錐所以三棱錐ABEF的體積也為定值的體積也為定值,選項選項C正確正確;因點因點A、B到直線到直線B1D1的距離不等的距離不等,所以選項所以選項D錯誤錯誤.答案答案:D4.(2009全國全國)已知正四棱柱已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中中,AA1=2AB,E為為AA1中點中點,則異面直線則異面直線BE與與CD1所成角的余所成角的余弦值為弦值為( )1013 103A. B. C. D.105105答案答案:C解析解析:連結連結BA1,BA1CD1,EBA1為異面直線為異面直線BE與與CD1所成的角所成的角.解讀高考第二關解讀高考第二關 熱點關熱點關題型一題型一 公理的應用
9、公理的應用例例1(2009遼寧卷遼寧卷)在正方體在正方體ABCDA1B1C1D1中中,E,F分別為分別為棱棱AA1,CC1的中點的中點,則在空間中與三條直線則在空間中與三條直線A1D1,EF,CD都相都相交的直線交的直線( )A.不存在不存在B.有且只有兩條有且只有兩條C.有且只有三條有且只有三條D.有無數(shù)條有無數(shù)條答案答案:D解析解析:本小題主要考查立體幾何中空間直線相交問題本小題主要考查立體幾何中空間直線相交問題,考查學考查學生的空間想象能力生的空間想象能力.如圖如圖,在在EF上任意取一點上任意取一點M,直線直線A1D1與與M確定一個平面確定一個平面,這個這個平面與平面與CD有且僅有有且僅
10、有1個交點個交點N,當當M取不同的位置就確定不同取不同的位置就確定不同的平面的平面,從而與從而與CD有不同的交點有不同的交點N,而直線而直線MN與這與這3條異面直條異面直線都有交點線都有交點.題型二題型二 空間兩條直線的位置關系空間兩條直線的位置關系例例2(2009安徽模擬安徽模擬)若兩條異面直線所成的角為若兩條異面直線所成的角為60,則稱則稱這對異面直線為這對異面直線為“黃金異面直線對黃金異面直線對”,在連接正方體各頂點的在連接正方體各頂點的所有直線中所有直線中,“黃金異面直線對黃金異面直線對”共有共有_對對.答案答案:24解析解析:如圖如圖,與與A1C1成黃金對的直線有成黃金對的直線有D1
11、C,AB1,AD1,B1C.而而A1C1這樣的直線有這樣的直線有12條條,再消去順序為再消去順序為().12 4242對點評點評:空間兩條直線的位置關系的考查通常以選擇題或填空題空間兩條直線的位置關系的考查通常以選擇題或填空題出現(xiàn)出現(xiàn),要求能夠根據(jù)圖形想象它們的位置關系要求能夠根據(jù)圖形想象它們的位置關系.題型三題型三 異面直線所成的角異面直線所成的角例例3在正方體在正方體ABCDA1B1C1D1中中,其棱長為其棱長為A,E,F分別為分別為BB1,CC1的中點的中點,求求AE與與BF所成的角的余弦值所成的角的余弦值.解解:如圖如圖,連接連接DF、BD.易證易證:DFAE,且且DF=AE.DFB為
12、異面直線所成的角或它的補角為異面直線所成的角或它的補角,在在RTABE中中,點評點評:研究異面直線所成的角研究異面直線所成的角,就是通過平移把異面直線轉化就是通過平移把異面直線轉化為相交直線為相交直線,這是研究空間圖形的一種基本思想這是研究空間圖形的一種基本思想,即把空間圖即把空間圖形問題轉化為平面圖形問題形問題轉化為平面圖形問題.變式變式:如下圖所示如下圖所示,正四面體正四面體PABC中中,M為棱為棱AB的中點的中點,則則PA與與CM所成角的余弦值為所成角的余弦值為_.:36答案解析解析:不妨設正四面體的棱長為不妨設正四面體的棱長為1.設設N為為PB的中點的中點.如圖所示如圖所示.連結連結M
13、N,則則MNAP.CMN為異面直線為異面直線PA與與CM所成的角所成的角.笑對高考第三關笑對高考第三關 技巧關技巧關異面直線的判定方法異面直線的判定方法:(1)根據(jù)異面直線的定義根據(jù)異面直線的定義;(2)利用異面直利用異面直線的判定定理線的判定定理;(3)反證法反證法.典例典例(2009遼寧遼寧)如圖如圖,已知兩個正方形已知兩個正方形ABCD和和DCEF不在不在同一個平面內同一個平面內,M、N分別為分別為AB、DF的中點的中點.(1)若若CD=2,平面平面ABCD平面平面DCEF,求求MN的長的長;(2)用反證法證明用反證法證明:直線直線ME與與BN是兩條異面直線是兩條異面直線.解解:(1)如
14、圖如圖,取取CD的中點的中點G,連結連結MG,NG,ABCD,DCEF為正方形為正方形,且邊長為且邊長為2,CD,MG2,NG2.DCEF,NG.6.22MGABCDMGDCEFMGMNMGNG平面平面平面可得(2)假設直線假設直線ME與與BN共面共面,則則AB 平面平面MBEN,且平面且平面MBEN與平面與平面DCEF交于交于EN.由已知由已知,兩正方形不共面兩正方形不共面,AB 平面平面DCEF.ABCD,AB平面平面DCEF.而而EN為平面為平面MBEN與平面與平面DCEF的交線的交線,ABEN.又又ABCDEF,ENEF,這與這與ENEF=E矛盾矛盾,故假設不成立故假設不成立.ME與與
15、BN不共面不共面,它們是異面直線它們是異面直線.考考 向向 精精 測測1.“A,B為異面直線為異面直線”是指是指:AB=,且且A不平行于不平行于B;A 平面平面,B 平面平面,且且AB=;A 平面平面,B 平面平面,且且A=;A 平面平面,B 平面平面;不存在平面不存在平面能使能使A ,B 成立成立.其中正確的序號是其中正確的序號是.解析解析:由異面直線的定義可得成立由異面直線的定義可得成立.答案答案:2.如圖所示如圖所示,鼓狀的幾何體是由半徑為鼓狀的幾何體是由半徑為5的球的球O經過兩個水平經過兩個水平平面切割而成平面切割而成,上下底面都是半徑為上下底面都是半徑為4的圓的圓,五點五點O1,O,
16、O2,A,D同在平面同在平面上上,而另五點而另五點O1,O,O2,B,C同在平面同在平面上上,若若,則則直線直線OB與與AC所成角的余弦值為所成角的余弦值為( )175A. B.8521715C. D.1513解析解析:本題考查了有關異面直線成角的問題本題考查了有關異面直線成角的問題.解法一解法一,如圖如圖,將矩形將矩形O1O2BC補一個與其全等的矩形補一個與其全等的矩形BCEF,取取EF的中點的中點G,連接連接CG,則可證得則可證得OBCG,則則ACG即為所求即為所求的角的角.連接連接AG,在在ACG中中,可求得可求得AG2=89,CG=5,AC2=68,答案答案:A點評點評:求解立體幾何成
17、角問題常用的方法有幾何法和空間向量求解立體幾何成角問題常用的方法有幾何法和空間向量法法.幾何法主要就是通過圖形的結構特點幾何法主要就是通過圖形的結構特點,實現(xiàn)三步實現(xiàn)三步:“作作角角”“”“證角證角”“”“求角求角”,一般最后都是將所求角放在一個易于一般最后都是將所求角放在一個易于求解的三角形內求解的三角形內,利用三角形的知識進行求解的利用三角形的知識進行求解的,利用此法求利用此法求解需要學生有一定的空間想象能力和構造能力解需要學生有一定的空間想象能力和構造能力,如本題的解法如本題的解法一一,就是通過補形的方法將所求異面直線所成角轉化為平面角就是通過補形的方法將所求異面直線所成角轉化為平面角的
18、的.空間向量法的難度在于建立空間直角坐標系空間向量法的難度在于建立空間直角坐標系,建系的原則建系的原則一般都是以對稱、垂直、坐標最簡為原則一般都是以對稱、垂直、坐標最簡為原則.而后的具體問題可而后的具體問題可通過空間向量的相應知識進行求解通過空間向量的相應知識進行求解,其應用要簡單于幾何法其應用要簡單于幾何法,其過程在于算其過程在于算.課時作業(yè)課時作業(yè)(四十一四十一) 空間圖形的基本關系與公理空間圖形的基本關系與公理一、選擇題一、選擇題1.若若P是兩條異面直線是兩條異面直線L,M外的任意一點外的任意一點,則則( )A.過點過點P有且僅有一條直線與有且僅有一條直線與L,M都平行都平行B.過點過點
19、P有且僅有一條直線與有且僅有一條直線與L,M都垂直都垂直C.過點過點P有且僅有一條直線與有且僅有一條直線與L,M都相交都相交D.過、鉖有且僅有一條直線與過、鉖有且僅有一條直線與L,M都異面都異面解析解析:A錯錯,若過點若過點P存在直線存在直線A與與L,M都平行都平行,則則LM,與與L,M異面矛盾異面矛盾.C錯錯,如圖如圖,L與與M異面異面,M ,P,L,則過則過P點與點與M相交的相交的直線都在直線都在內與內與L不能相交不能相交.D錯錯,過過P點有無數(shù)條直線與點有無數(shù)條直線與L,M都異面都異面,故選故選B.答案答案:B2.一個無蓋的正方體盒子展開后的平面圖如圖所示一個無蓋的正方體盒子展開后的平面
20、圖如圖所示,A、B、C是展開圖上的三點是展開圖上的三點,則在正方體盒子中則在正方體盒子中,ABC的大小為的大小為( )A.30B.45C.60D.90解析解析:如圖如圖,正方體中正方體中,ABC是正三角形是正三角形,故故ABC=60.故選故選C.答案答案:C3.正方體正方體AC1中中,E、F分別是線段分別是線段C1D,BC的中點的中點,則直線則直線A1B與直線與直線EF的位置關系是的位置關系是( )A.相交相交B.異面異面C.平行平行D.垂直垂直答案答案:A解析解析:直線直線A1B與直線外一點與直線外一點E確定的平面為確定的平面為A1BCD1,EF 平平面面A1BCD1,且兩直線不平行且兩直線
21、不平行,故兩直線相交故兩直線相交,選選A.4.空間中有五個點空間中有五個點,其中有四個點在同一平面內其中有四個點在同一平面內,但沒有任何三但沒有任何三點共線點共線,這樣的五個點確定平面的個數(shù)最多可以是這樣的五個點確定平面的個數(shù)最多可以是( )A.4個個B.5個個C.6個個D.7個個解析解析:以四棱錐為模型以四棱錐為模型,可知五個點確定可知五個點確定7個平面?zhèn)€平面.答案答案:D5.E、F、G、H分別是空間四邊形分別是空間四邊形ABCD的各邊的各邊AB、BC、CD、DA的中點的中點,若對角線若對角線BD=2,AC=4,則則EG2+HF2的值為的值為( )A.12B.10C.5D.不能確定不能確定答
22、案答案:B解析解析:E、F、G、H分別為所在棱的中點分別為所在棱的中點,故故EFGH為為11EHBD1,EFAC2.22()10.2222EGHF2 EFEH平行四邊形且6.正三棱錐正三棱錐SABC的側棱與底面邊長相等的側棱與底面邊長相等,如果如果E、F分別為分別為SC、AB的中點的中點,那么異面直線那么異面直線EF與與SA所成的角等于所成的角等于( )A.90B.60C.45D.30答案答案:C解析解析:正三棱錐的側棱與底面邊長相等正三棱錐的側棱與底面邊長相等,則則SABC為正四面體為正四面體,將它放在正方體中將它放在正方體中,如圖所示如圖所示,易知易知EF與與SA所成角即為側棱與面對角線所
23、成角所成角即為側棱與面對角線所成角,故選故選C.二、填空題二、填空題7.在四面體在四面體ABCD中中,M、N分別是面分別是面ACD、BCD的的重心重心,則四面體的四個面中與則四面體的四個面中與MN平行的是平行的是_.答案答案:平面平面ABC和平面和平面ABD解析解析:連結連結AM并延長交并延長交CD于于E;連結連結BN并延長交并延長交CD于于F.由重由重心的性質可知心的性質可知:E、F重合為一點重合為一點,且該點為且該點為CD的中點的中點E.由由1,/ /.,/ /2/ /ABD.EMENMNABMNABCMANBMN得因此平面且平面8.(2009安徽安徽)對于四面體對于四面體ABCD,下列命
24、題正確的是下列命題正確的是_(寫出所有正確命題的編號寫出所有正確命題的編號).相對棱相對棱AB與與CD所成的直線異面所成的直線異面;由頂點由頂點A作四面體的高作四面體的高,其垂足是其垂足是BCD三條高線的交點三條高線的交點;若分別作若分別作ABC和和ABD的邊的邊AB上的高上的高,則這兩條高所在則這兩條高所在的直線異面的直線異面;分別作三組相對棱中點的連線分別作三組相對棱中點的連線,所得的三條線段相交于一點所得的三條線段相交于一點;最長棱必有某個端點最長棱必有某個端點,由它引出的另兩條棱的長度之和大于由它引出的另兩條棱的長度之和大于最長棱最長棱.答案答案:解析解析:本題主要考查立體幾何的線面關
25、系本題主要考查立體幾何的線面關系.對于對于,若若AB,CD共面共面,則則ABCD點共面點共面,則其不能構成四面則其不能構成四面體體,正確正確;錯誤錯誤;對于對于,設設E,F,G,H,M,N分別為分別為AB,BC,CD,DA,AC,BD的中點的中點,則則EHFG,且且EHBD,EH= BD.即即EG與與HF交于交于EG的中點的中點O,同理同理EG與與MN交于交于EG的中的中點點O.所以所以EG,HF,MN交于點交于點O,正確正確;正確正確.129.四邊形四邊形ABCD中中,AB=BC=CD=DA=BD=1,要使要使A、B、C、D四點不共面四點不共面,則則AC的取值范圍是的取值范圍是_.: 0,
26、3答案解析解析:如圖如圖(一一)所示所示,ABD與與BCD均為邊長為均為邊長為1的正三角形的正三角形,當當ABD與與CBD重合時重合時,AC=0,將將ABD以以BD為軸轉動為軸轉動,到到A,B,C,D四點再共面時四點再共面時,(),0AC3.AC3AC如圖 二 故的取值范圍是10.下列命題正確的是下列命題正確的是_.過直線外一點作這條直線的平行平面有無數(shù)多個過直線外一點作這條直線的平行平面有無數(shù)多個過一點作一直線的平行直線有無數(shù)條過一點作一直線的平行直線有無數(shù)條過平面外一點過平面外一點,與該平面平行的直線有無數(shù)條與該平面平行的直線有無數(shù)條過兩條平行線中的一條的任一平面均與另一條直線平行過兩條平
27、行線中的一條的任一平面均與另一條直線平行答案答案:三、解答題三、解答題11.如圖所示如圖所示,在棱長為在棱長為1的正方體的正方體ABCDA1B1C1D1中中,M為為AB的中點的中點,N為為BB1的中點的中點,O為面為面BCC1B1的中點的中點.(1)過過O作一直線與作一直線與AN交于交于P,與與CM交于交于Q(只寫作法只寫作法,不必證不必證明明);(2)求求PQ的長的長.分析分析:(1)AN和和CM是兩條異面直線是兩條異面直線,過過O點作直線要與點作直線要與AN和和CM都相交都相交,應在平面內來作應在平面內來作.因此因此,點點O、A、N和和O、C、M各確定一個平面各確定一個平面、.(2)當點當
28、點P、Q作出后作出后,求求PQ的長只需解的長只需解三角形即可三角形即可.解解:(1)由由ONAD知知,AD與與ON確定一個平面確定一個平面;又又O、C、M三點確定一個平面三點確定一個平面(如圖所示如圖所示).平面平面、和平面和平面ABCD兩兩相交兩兩相交,有三條交線有三條交線OP、CM、DA,其中交線其中交線DA與交線與交線CM不平行且共面不平行且共面,DA與與CM必相交必相交,記交點為記交點為Q,OQ是是與與的交線的交線.連接連接OQ與與AN交于交于P,故故OPQ即為所求作的直線即為所求作的直線.12.如圖所示如圖所示,等腰等腰ABC的底邊的底邊AB=6 ,高高CD=3,點點E是線段是線段B
29、D上異于點上異于點B、D的動點的動點.點點F在在BC邊上邊上,且且EFAB.現(xiàn)沿現(xiàn)沿EF將將BEF折起到折起到PEF的位置的位置,使使PEAE.記記BE=X,V(X)表示表示四棱錐四棱錐PACFE的體積的體積.(1)求求V(X)的表達式的表達式;(2)當當X為何值時為何值時,V(X)取得最大值、取得最大值、(3)當當V(X)取得最大值時取得最大值時,求異面直線求異面直線AC與與PF所成角的余弦值所成角的余弦值.6解解:(1)EFAB,EFPE.又又PEAE,EFAE=E,且且EF在平面在平面ACFE內內,PE平面平面ACFE.EFAB,CDAB,四棱錐四棱錐PACFE的體積的體積(3)過點過點F作作FGAC交交AE于點于點G,連接連接PG,則則PFG為異面直線為異面直線AC與與PF所成的角所成的角.ABC是等腰三角形是等腰三角形,GBF也是等腰三角形也是等腰三角形.點評點評:本小題主要考查函數(shù)、函數(shù)極值、導數(shù)及其應用、幾何本小題主要考查函數(shù)、函數(shù)極值、導數(shù)及其應用、幾何體體積、空間異面直線所成的角等基礎知識體體積、空間異面直線所成的角等基礎知識,考查數(shù)形結合的考查數(shù)形結合的數(shù)字思想方法數(shù)字思想方法,以及空間想象能力、推理論證能力、運算求解以及空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力、創(chuàng)新意識能力、創(chuàng)新意識.
內蒙古呼倫貝爾市高三數(shù)學總復習《空間圖形的基本關系與公理》課件
