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1、
難點38 分類討論思想
分類討論思想就是根據(jù)所研究對象的性質(zhì)差異，分各種不同的情況予以分析解決.分類討論題覆蓋知識點較多，利于考查學(xué)生的知識面、分類思想和技巧；同時方式多樣，具有較高的邏輯性及很強(qiáng)的綜合性，樹立分類討論思想，應(yīng)注重理解和掌握分類的原則、方法與技巧、做到“確定對象的全體，明確分類的標(biāo)準(zhǔn)，分層別類不重復(fù)、不遺漏的分析討論.”
●難點磁場
1.（★★★★★）若函數(shù)在其定義域內(nèi)有極值點，則a的取值為.
2.（★★★★★）設(shè)函數(shù)f(x)=x2+｜x–a｜+1，x∈R.
(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；
(2)求函數(shù)f(x)的最小值.
●案例探究
［例1］已知{a
2、n}是首項為2，公比為的等比數(shù)列，Sn為它的前n項和.
（1）用Sn表示Sn+1;
（2）是否存在自然數(shù)c和k，使得成立.
命題意圖：本題主要考查等比數(shù)列、不等式知識以及探索和論證存在性問題的能力，屬★★★★★級題目.
知識依托：解決本題依據(jù)不等式的分析法轉(zhuǎn)化，放縮、解簡單的分式不等式；數(shù)列的基本性質(zhì).
錯解分析：第2問中不等式的等價轉(zhuǎn)化為學(xué)生的易錯點，不能確定出.
技巧與方法：本題屬于探索性題型，是高考試題的熱點題型.在探討第2問的解法時，采取優(yōu)化結(jié)論的策略，并靈活運用分類討論的思想：即對雙參數(shù)k,c輪流分類討論，從而獲得答案.
解：（1）由Sn=4(1–），得
，(n∈N*
3、)
（2）要使，只要
因為
所以，(k∈N*)
故只要Sk–2＜c＜Sk，（k∈N*）
因為Sk+1＞Sk，(k∈N*)①
所以Sk–2≥S1–2=1.
又Sk＜4，故要使①成立，c只能取2或3.
當(dāng)c=2時，因為S1=2，所以當(dāng)k=1時，c＜Sk不成立，從而①不成立.
當(dāng)k≥2時，因為，由Sk＜Sk+1(k∈N*)得
Sk–2＜Sk+1–2
故當(dāng)k≥2時，Sk–2＞c，從而①不成立.
當(dāng)c=3時，因為S1=2，S2=3，
所以當(dāng)k=1，k=2時，c＜Sk不成立，從而①不成立
因為，又Sk–2＜Sk+1–2
所以當(dāng)k≥3時，Sk–2＞c，從而①成立.
綜上所述
4、，不存在自然數(shù)c,k,使成立.
［例2］給出定點A（a,0)（a＞0）和直線l：x=–1，B是直線l上的動點，∠BOA的角平分線交AB于點C.求點C的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與a值的關(guān)系.
命題意圖：本題考查動點的軌跡，直線與圓錐曲線的基本知識，分類討論的思想方法.綜合性較強(qiáng)，解法較多，考查推理能力和綜合運用解析幾何知識解題的能力.屬★★★★★級題目.
知識依托：求動點軌跡的基本方法步驟.橢圓、雙曲線、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的基本特點.
錯解分析：本題易錯點為考生不能巧妙借助題意條件，構(gòu)建動點坐標(biāo)應(yīng)滿足的關(guān)系式和分類討論軌跡方程表示曲線類型.
技巧與方法：精心思考，發(fā)散思維、多途徑
5、、多角度的由題設(shè)條件出發(fā)，探尋動點應(yīng)滿足的關(guān)系式.巧妙地利用角平分線的性質(zhì).
解法一：依題意，記B（–1，b)，(b∈R），則直線OA和OB的方程分別為y=0和y=–bx.
設(shè)點C(x,y)，則有0≤x＜a，由OC平分∠AOB，知點C到OA、OB距離相等.
根據(jù)點到直線的距離公式得｜y｜=①
依題設(shè)，點C在直線AB上，故有
由x–a≠0，得②
將②式代入①式，得y2［(1–a)x2–2ax+(1+a)y2］=0
若y≠0，則
(1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0＜x＜a)
若y=0則b=0,∠AOB=π，點C的坐標(biāo)為（0，0）滿足上式.
綜上，得點C的軌跡方程
6、為
（1–a）x2–2ax+(1+a)y2=0(0＜x＜a
(i)當(dāng)a=1時，軌跡方程化為y2=x(0≤x＜1③
此時方程③表示拋物線弧段；
(ii)當(dāng)a≠1，軌跡方程化為
④
所以當(dāng)0＜a＜1時，方程④表示橢圓弧段；
當(dāng)a＞1時，方程④表示雙曲線一支的弧段.
解法二：如圖，設(shè)D是l與x軸的交點，過點C作CE⊥x軸，E是垂足.
（i）當(dāng)｜BD｜≠0時，
設(shè)點C(x,y)，則0＜x＜a，y≠0
由CE∥BD，得.
∵∠COA=∠COB=∠COD–∠BOD=π–∠COA–∠BOD
∴2∠COA=π–∠BOD
∴
∵
∴整理，得
(1–a)x2–2ax+(1
7、+a)y2=0(0＜x＜a)
(ii)當(dāng)｜BD｜=0時，∠BOA=π，則點C的坐標(biāo)為(0,0)，滿足上式.
綜合(i)、(ii)，得點C的軌跡方程為
(1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0≤x＜a)
以下同解法一.
解法三：設(shè)C(x,y)、B(–1,b)，則BO的方程為y=–bx，直線AB的方程為
∵當(dāng)b≠0時，OC平分∠AOB，設(shè)∠AOC=θ,
∴直線OC的斜率為k=tanθ,OC的方程為y=kx于是
又tan2θ=–b
∴–b=①
∵C點在AB上
∴②
由①、②消去b，得③
又，代入③，有
整理，得(a–1)x2–(1+a)y2+2ax=0
8、 ④
當(dāng)b=0時，即B點在x軸上時，C(0,0)滿足上式：
a≠1時，④式變?yōu)?
當(dāng)0＜a＜1時，④表示橢圓弧段；
當(dāng)a＞1時，④表示雙曲線一支的弧段；
當(dāng)a=1時，④表示拋物線弧段.
●錦囊妙計
分類討論思想就是依據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)，對問題分類、求解，要特別注意分類必須滿足互斥、無漏、最簡的原則.分類討論常見的依據(jù)是：
1.由概念內(nèi)涵分類.如絕對值、直線的斜率、指數(shù)對數(shù)函數(shù)、直線與平面的夾角等定義包含了分類.
2.由公式條件分類.如等比數(shù)列的前n項和公式、極限的計算、圓錐曲線的統(tǒng)一定義中圖形的分類等.
3.由實際意義分類.如排列、組合、概率中較常見，但不明顯、有些應(yīng)
9、用問題也需分類討論.
在學(xué)習(xí)中也要注意優(yōu)化策略，有時利用轉(zhuǎn)化策略，如反證法、補(bǔ)集法、變更多元法、數(shù)形結(jié)合法等簡化甚至避開討論.
●殲滅難點訓(xùn)練
一、選擇題
1.（★★★★）已知其中a∈R，則a的取值范圍是( )
A.a＜0 B.a＜2或a≠–2
C.–2＜a＜2 D.a＜–2或a＞2
2.（★★★★★）四面體的頂點和各棱的中點共10個點，在其中取4個不共面的點，不同的取法共有( )
A.150種 B.147種 C.144種 D.141
10、種
二、填空題
3.（★★★★）已知線段AB在平面α外，A、B兩點到平面α的距離分別為1和3，則線段AB的中點到平面α的距離為.
4.（★★★★★）已知集合A={x｜x2–3x+2=0},B={x｜x2–ax+(a–1)=0}，C={x｜x2–mx+2=0}，且A∪B=A，A∩C=C，則a的值為，m的取值范圍為.
三、解答題
5.（★★★★）已知集合A={x｜x2+px+q=0}，B={x｜qx2+px+1=0},A,B同時滿足：
①A∩B≠,②A∩B={–2}.求p、q的值.
6.（★★★★）已知直角坐標(biāo)平面上點Q（2，0）和圓C：x2+y2=1，動點M到圓C的切線長與｜MQ｜
11、的比等于常數(shù)λ(λ＞0).求動點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線.
7.(★★★★★)已知函數(shù)y=f(x)的圖象是自原點出發(fā)的一條折線.當(dāng)n≤y≤n+1(n=0,1,2,…)時，該圖象是斜率為bn的線段（其中正常數(shù)b≠1），設(shè)數(shù)列{xn}由f(xn)=n(n=1,2,…)定義.
（1）求x1、x2和xn的表達(dá)式；
（2）計算xn；
（3）求f(x)的表達(dá)式，并寫出其定義域.
8.（★★★★★）已知a＞0時，函數(shù)f(x)=ax–bx2
（1）當(dāng)b＞0時，若對任意x∈R都有f(x)≤1，證明a≤2b;
（2）當(dāng)b＞1時，證明：對任意x∈［0,1］,｜f(x)｜≤1的充要條件是b–1
12、≤a≤2；
（3）當(dāng)0＜b≤1時，討論：對任意x∈［0,1］,｜f(x)｜≤1的充要條件.
參 考 答 案
●難點磁場
1.解析：即f(x)=(a–1)x2+ax–=0有解.
當(dāng)a–1=0時，滿足.當(dāng)a–1≠0時，只需Δ=a2–(a–1)＞0.
答案：或a=1
2.解：(1)當(dāng)a=0時，函數(shù)f(–x)=(–x)2+｜–x｜+1=f(x)，此時f(x)為偶函數(shù).
當(dāng)a≠0時，f(a)=a2+1,f(–a)=a2+2｜a｜+1.f(–a)≠f(a),f(–a)≠–f(a)
此時函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).
（2）①當(dāng)x≤a時，函數(shù)f(x)=x2–x+a+1=
13、(x–)2+a+
若a≤，則函數(shù)f(x)在(–∞,a］上單調(diào)遞減.
從而函數(shù)f(x)在（–∞,a上的最小值為f(a)=a2+1
若a＞，則函數(shù)f(x)在（–∞,a上的最小值為f()=+a，且f()≤f(a).
②當(dāng)x≥a時，函數(shù)f(x)=x2+x–a+1=(x+)2–a+
若a≤–，則函數(shù)f(x)在［a,+∞］上的最小值為f(–)=–a，且f(–)≤f(a)；
若a＞–，則函數(shù)f(x)在［a,+∞)單調(diào)遞增.
從而函數(shù)f(x)在［a,+∞］上的最小值為f(a)=a2+1.
綜上，當(dāng)a≤–時，函數(shù)f(x)的最小值為–a；
當(dāng)–＜a≤時，函數(shù)f(x)的最小值是a2+1；
當(dāng)a＞
14、時，函數(shù)f(x)的最小值是a+.
●殲滅難點訓(xùn)練
一、1.解析：分a=2、｜a｜＞2和｜a｜＜2三種情況分別驗證.
答案：C
2.解析：任取4個點共C=210種取法.四點共面的有三類：（1）每個面上有6個點，則有4×C=60種取共面的取法；（2）相比較的4個中點共3種；（3）一條棱上的3點與對棱的中點共6種.
答案：C
二、3.解析：分線段AB兩端點在平面同側(cè)和異側(cè)兩種情況解決.
答案：1或2
4.解析：A={1,2},B={x｜(x–1)(x–1+a)=0},
由A∪B=A可得1–a=1或1–a=2；
由A∩C=C，可知C={1}或.
答案：2或33或（–2，2）
三
15、、5.解：設(shè)x0∈A，x0是x02+px0+q=0的根.
若x0=0，則A={–2,0}，從而p=2,q=0,B={–}.
此時A∩B=與已知矛盾，故x0≠0.
將方程x02+px0+q=0兩邊除以x02，得
.
即滿足B中的方程，故∈B.
∵A∩={–2},則–2∈A,且–2∈.
設(shè)A={–2,x0}，則B={}，且x0≠2（否則A∩B=）.
若x0=–，則–2∈B,與–2B矛盾.
又由A∩B≠,∴x0=，即x0=±1.
即A={–2,1}或A={–2,–1}.
故方程x2+px+q=0有兩個不相等的實數(shù)根–2，1或–2，–1
∴
6.解：如圖，設(shè)MN切圓C于N，則
16、動點M組成的集合是P={M｜｜MN｜=λ｜MQ｜,λ＞0}.
∵ON⊥MN,｜ON｜=1,
∴｜MN｜2=｜MO｜2–｜ON｜2=｜MO｜2–1
設(shè)動點M的坐標(biāo)為(x,y)，
則
即（x2–1)(x2+y2)–4λ2x+(4λ2+1)=0.
經(jīng)檢驗，坐標(biāo)適合這個方程的點都屬于集合P，故方程為所求的軌跡方程.
（1）當(dāng)λ=1時，方程為x=，它是垂直于x軸且與x軸相交于點（，0）的直線；
（2）當(dāng)λ≠1時，方程化為：
它是以為圓心，為半徑的圓.
7.解：（1）依題意f(0)=0，又由f(x1)=1，當(dāng)0≤y≤1，函數(shù)y=f(x)的圖象是斜率為b0=1的線段，故由
∴x1=
17、1
又由f(x2)=2，當(dāng)1≤y≤2時，函數(shù)y=f(x)的圖象是斜率為b的線段，故由
即x2–x1=
∴x2=1+
記x0=0，由函數(shù)y=f(x)圖象中第n段線段的斜率為bn–1，故得
又由f(xn)=n,f(xn–1)=n–1
∴xn–xn–1=()n–1,n=1,2,……
由此知數(shù)列{xn–xn–1}為等比數(shù)列，其首項為1，公比為.
因b≠1，得(xk–xk–1)
=1++…+
即xn=
（2）由（1）知，當(dāng)b＞1時，
當(dāng)0＜b＜1，n→∞, xn也趨于無窮大.xn不存在.
（3）由（1）知，當(dāng)0≤y≤1時，y=x，即當(dāng)0≤x≤1時，f(x)=x;
當(dāng)n
18、≤y≤n+1，即xn≤x≤xn+1由（1）可知
f(x)=n+bn(x–xn)(n=1,2,…),由（2）知
當(dāng)b＞1時，y=f(x)的定義域為［0,);
當(dāng)0＜b＜1時，y=f(x)的定義域為［0,+∞).
8.(1)證明：依設(shè)，對任意x∈R，都有f(x)≤1
∵
∴≤1
∵a＞0,b＞0
∴a≤2.
（2）證明：必要性：
對任意x∈［0,1］，｜f(x)｜≤1–1≤f(x），據(jù)此可以推出–1≤f(1)
即a–b≥–1，∴a≥b–1
對任意x∈［0,1］，｜f(x)｜≤1f(x)≤1.
因為b＞1，可以推出f()≤1即a·–1≤1，
∴a≤2,∴b–1≤a≤2
19、充分性：
因為b＞1，a≥b–1，對任意x∈［0,1］.
可以推出ax–bx2≥b(x–x2)–x≥–x≥–1
即ax–bx2≥–1
因為b＞1,a≤2,對任意x∈［0,1］，可以推出ax–bx2≤2x–bx2≤1
即ax–bx2≤1,∴–1≤f(x)≤1
綜上，當(dāng)b＞1時，對任意x∈［0,1］，｜f(x)｜≤1的充要條件是b–1≤a≤2.
(3)解：∵a＞0，0＜b≤1
∴x∈［0,1］,f(x)=ax–bx2≥–b≥–1
即f(x)≥–1
f(x)≤1f(1)≤1a–b≤1
即a≤b+1
a≤b+1f(x)≤(b+1)x–bx2≤1
即f(x)≤1
所以當(dāng)a＞0，0＜b≤1時，對任意x∈［0,1］，｜f(x)｜≤1的充要條件是a≤b+1.
內(nèi)容總結(jié)
（1）難點38 分類討論思想
分類討論思想就是根據(jù)所研究對象的性質(zhì)差異，分各種不同的情況予以分析解決.分類討論題覆蓋知識點較多，利于考查學(xué)生的知識面、分類思想和技巧
高考數(shù)學(xué)難點41講難點38分類討論思想
