高考二輪復習綜合檢測專題七 不等式推理與證明算法與復數(shù)綜合檢測 新人教A

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1、2012年高考數(shù)學二輪復習綜合檢測：專題七不等式、推理與證明、算法與復數(shù) 時間：120分鐘　滿分：150分 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分；在每小題給出四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．(文)若復數(shù)(a2－3a＋2)＋(a－1)i是純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為(　　) A．1　　　　B．2　　　　 C．1或2　　　D．－1 [答案]　B [解析]∵(a2－3a＋2)＋(a－1)i是純虛數(shù)， ∴，∴a＝2.故選B. (理)(2011·福建理，1)i是虛數(shù)單位，若集合S＝{－1,0,1}，則(　　) A．i∈SB．i2∈S C．i3∈SD.∈S [答

2、案]　B [解析]　i2＝－1∈S，故選B. 2．(文)(2011·福建文，6)若關于x的方程x2＋mx＋1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(－1,1)B．(－2,2) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) [答案]　C [解析]　“方程x2＋mx＋1＝0有兩個不相等實數(shù)根”?m2－4>0，解得m>2或m<－2. (理)(2011·陜西文，3)設0

3、列命題中正確的是(　　) A．若a，b，c∈R，且a>b，則ac2>bc2 B．若a，b∈R，且a·b≠0，則＋≥2 C．若a，b∈R，且a>|b|，則an>bn(n∈N*) D．若a>b，c>d，則> [答案]　C [解析]　當c＝0時，A不成立；當ab<0時，＋≤－2，B不成立；若dc＝0，>不成立，D不成立，故選C. 4．(2011·湖北理，8)已知向量a＝(x＋z,3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b，若x，y滿足不等式|x|＋|y|≤1，則z的取值范圍為(　　) A．[－2,2] B．[－2,3] C．[－3,2] D．[－3,3] [答案]　D [解析]

4、∵a⊥b，∴a·b＝0，即(x＋z,3)·(2，y－z)＝0， ∴z＝2x＋3y 不等式|x|＋|y|≤1表示如圖所示平面區(qū)域． 作直線l0：2x＋3y＝0，平移l0過點A(0,1)時z取最大值3. 平移l0過點C(0，－1)時，z取最小值－3， ∴z∈[－3,3]． 5．(2011·西安模擬)觀察下列數(shù)表規(guī)律： 012345678910111213141516 則從數(shù)2011到2012的箭頭方向是(　　) A．2011 B．2011 C．2011 D．2011 [答案]　D [解析]　由圖可以看出，每隔4個數(shù)，箭頭方向相同，可認為T＝4，又2011＝502×4＋3

5、，所以2011處的箭頭方向同數(shù)字3處的箭頭方向，故選D. 6．(2011·重慶理，7)已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，則y＝＋的最小值是(　　) A.B．4 C.D．5 [答案]　C [解析]∵a＋b＝2，∴＋＝1， ∴y＝＋＝＝＋＋， ∵a>0，b>0，∴＋≥2＝2，當且僅當 ＝，且a＋b＝2，即a＝，b＝時取得等號， ∴y的最小值是，選C. 7．(文)(2011·北京文，6)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入A的值為2，則輸出的P值為(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 [答案]　C [解析]P＝1，S＝1―→P＝2，S＝1＋＝―→P＝3，S＝＋

6、＝―→P＝4，S＝＋＝>2，所以輸出P＝4. (理)(2011·北京理，4)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為(　　) A．－3 B．－ C.D．2 [答案]　D [解析]　由框圖知得：i：0→1→2→3→4，則s：2→→－→－3→2.選D. 8．(2011·新課標理，1)復數(shù)的共軛復數(shù)是(　　) A．－i B.i C．－i D．i [答案]　C [解析]　依題意：＝＝－＝i，∴其共軛復數(shù)為－i，選C. 9．(文)(2011·天津文，3)閱讀下邊的程序框圖，運行相應的程序，若輸入x的值為－4，則輸出y的值為(　　) A．0.5 B．1 C．2

7、D．4 [答案]　C [解析]　第1次循環(huán)：x＝－4，x＝|－4－3|＝7 第2次循環(huán)：x＝7，x＝|7－3|＝4 第3次循環(huán)：x＝4，x<|4－3|＝1， y＝21＝2.輸出y. (理)(2011·天津理，3)閱讀下邊的程序框圖，運行相應的程序，則輸出i的值為(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 [答案]　B [解析]　第一次運行結束：i＝1，a＝2 第二次運行結束：i＝2，a＝5 第三次運行結束：i＝3，a＝16 第四次運行結束：i＝4，a＝65，故輸出i＝4，選B. 10．(2011·福建理，8)已知O是坐標原點，點A(－1,1)，若點M(x，

8、y)為平面區(qū)域上的一個動點，則·的取值范圍是(　　) A．[－1,0] B．[0,1] C．[0,2] D．[－1,2] [答案]　C [解析]·＝(－1,1)·(x，y)＝y(tǒng)－x，畫出線性約束條件表示的平面區(qū)域如圖所示． 可以看出當z＝y(tǒng)－x過點D(1,1)時有最小值0，過點C(0,2)時有最大值2，則·的取值范圍是[0,2]，故選C. 11．(2011·四川理，9)某運輸公司有12名駕駛員和19名工人，有8輛載重量為10噸的甲型卡車和7輛載重量為6噸的乙型卡車，某天需送往A地至少72噸的貨物，派用的每輛車需載滿且只運送一次，派用的每輛甲型卡車需配2名工人，運送一次可得利

9、潤450元；派用的每輛乙型卡車需配1名工人；運送一次可得利潤350元，該公司合理計劃當天派用兩類卡車的車輛數(shù)，可得最大利潤z＝(　　) A．4650元 B．4700元 C．4900元 D．5000元 [答案]　C [解析]　設派用甲車數(shù)x輛，乙車數(shù)y輛，由題意：約束條件： ，目標函數(shù)：z＝450x＋350y 經平移9x＋7y＝0得過A(7,5)利潤最大 z＝450×7＋350×5＝4900元，故選C. 12．(文)(2011·陜西二檢)設O(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，點P是線段AB上的一個動點，＝λ，若·≥·，則實數(shù)λ的取值范圍是(　　) A.≤λ≤1

10、 B．1－≤λ≤1 C.≤λ≤1＋D．1－≤λ≤1＋ [答案]　B [解析]　設P(x，y)，則由＝λ得， (x－1，y)＝λ(－1,1)，∴，解得. 若·≥·，則 (x，y)·(－1,1)≥(1－x，－y)·(－x,1－y)， ∴x2＋y2－2y≤0，∴(1－λ)2＋λ2－2λ≤0， ∴1－≤λ≤1＋. 又點P是線段AB上的一個動點，∴0≤λ≤1， ∴1－≤λ≤1.故選B. (理)(2011·山西二模)已知函數(shù)f(x)＝－x3＋px2＋qx＋r，且p2＋3q<0，若對x∈R都有f(m2－sinx)≥f(m＋＋cosx)成立，則實數(shù)m的取值范圍為(　　) A．[0,1

11、] B．[2，] C．[1，] D．[0，] [答案]　A [解析]　由題知，f′(x)＝－3x2＋2px＋q， 其判別式Δ＝4p2＋12q＝4(p2＋3q)<0，∴f′(x)<0， ∴f(x)在R上單調遞減． 又f(m2－sinx)≥f(m＋＋cosx)， ∴m2－sinx≤m＋＋cosx，即m2－m－≤sinx＋cosx. 記t＝sinx＋cosx，則問題等價于m2－m－≤tmin. 又t＝sinx＋cosx＝sin(x＋)，x∈R，∴tmin＝－， 所以m2－m－≤－，解得0≤m≤1， ∴實數(shù)m的取值范圍是[0,1]． 二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，

12、共16分，將答案填寫在題中橫線上．) 13．(2011·山東濰坊三模)在各項為正數(shù)的數(shù)列{an}中，數(shù)列的前n項和Sn滿足Sn＝(an＋)，則a3＝________，猜想數(shù)列{an}的通項公式為________． [答案]－－ [解析]　(1)由Sn＝(an＋)可計算出a1＝1，a2＝－1，a3＝－. (2)由a1，a2，a3可歸納猜想出an＝－. 14．(文)(2011·浙江理，12)某程序框圖如圖所示，則該程序運行后輸出的k的值是________． [答案]　5 [解析]　第一次執(zhí)行循環(huán)體時，k＝3，a＝44＝64，b＝34＝81，由于a

13、次執(zhí)行循環(huán)體時，k＝4，a＝44＝256，b＝44＝256，由于a＝b，所以執(zhí)行第三次循環(huán)． 第三次執(zhí)行循環(huán)體時，k＝5，a＝45＝1024，b＝54＝625，由于a>b，退出循環(huán)結構，輸出k＝5，應填：5. (理)(2011·山東理，13)執(zhí)行下圖所示的程序框圖，輸入l＝2，m＝3，n＝5，則輸出的y的值是________． [答案]　68 [解析]　依題意，l＝2，m＝3，n＝5，則l2＋m2＋n2≠0， ∴y＝70×2＋21×3＋15×5＝278，又278>105 ∴y＝278－105＝173. 又173>105， ∴y＝173－105＝68<105. ∴y＝68.

14、 15．(文)(2011·湖南理，10)設x，y∈R，且xy≠0，則(x2＋)(＋4y2)的最小值為________． [答案]　9 [解析]＝1＋4＋＋4x2y2≥5＋2×2＝9，當且僅當＝4x2y2時等號成立． (理)(2011·浙江文，16)若實數(shù)x，y滿足x2＋y2＋xy＝1，則x＋y的最大值是________． [答案] [解析]　由x2＋y2＋xy＝1可得，(x＋y)2＝xy＋1 而由均值不等式得xy≤()2 ∴(x＋y)2≤()2＋1整理得，(x＋y)2≤1 ∴x＋y∈[－，] ∴x＋y的最大值為. 16．(文)(2011·蘇錫常鎮(zhèn)三調)將全體正整數(shù)排成一個

15、三角形數(shù)陣： 1 2 　 3 4 　5　 6 7　 8　 9　10 11　12　13　14　15 …　…　…　…　…　… 根據以上排列規(guī)律，數(shù)陣中第n(n≥3)行從左至右的第3個數(shù)是________． [答案]－＋3(n≥3) [解析]　該數(shù)陣的第1行有1個數(shù)，第2行有2個數(shù)，…，第n行有n個數(shù)，則第n－1(n≥3)行的最后一個數(shù)為＝－，則第n行的第3個數(shù)為－＋3(n≥3)． (理)(2011·福建二檢)如圖，點P在已知三角形ABC的內部，定義有序實數(shù)對(μ，υ，ω)為點P關于△ABC的面積坐標，其中μ＝，υ＝， ω＝；若點Q滿足＝＋，則點Q關于△ABC的面積坐標為__

16、______． [答案]　(，，) [解析]　由點Q滿足＝＋可知Q到BC、AC、AB三邊的距離分別是三邊相應高的，，，所以S△QBC＝s，S△AQC＝s，S△AQB＝s(s為△ABC的面積)．故點Q關于△ABC的面積坐標為(，，)． 三、解答題(本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(本小題滿分12分)若函數(shù)f(x)＝4x＋a·2x＋a＋1有零點，求實數(shù)a的取值范圍． [解析]　解法一：令2x＝t，f(x)有零點，即方程t2＋at＋a＋1＝0，在(0，＋∞)內有解． 變形為a＝－＝－[(t＋1)＋]＋2≤2－2， ∴a的范圍是(－∞，2－2

17、]． 解法二：t2＋at＋a＋1＝0在(0，＋∞)內有解， ①有兩解，得－1

18、題滿分12分)(2011·安徽理，19)(1)設x≥1，y≥1，證明x＋y＋≤＋＋xy. (2)1≤a≤b≤c，證明logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac. [證明]　(1)由于x≥1，y≥1，所以x＋y＋≤＋＋xy?xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2. 將上式中的右式減左式，得 (y＋x＋(xy)2)－(xy(x＋y)＋1) ＝((xy)2－1)－(xy(x＋y)－(x＋y)) ＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1) ＝(xy－1)(xy－x－y＋1) ＝(xy－1)(x－1)(y－1)． 既然x≥1，y≥1，所以(xy－1)

19、(x－1)(y－1)≥0，從而所要證明的不等式成立． (2)設logab＝x，logbc＝y(tǒng)，由對數(shù)的換底公式得 logca＝，logba＝，logab＝，logac＝xy.于是， 所要證明的不等式即為x＋y＋≤＋＋xy， 其中x＝logab≥1，y＝logbc≥1. 故由(1)立知所要證明的不等式成立． 20．(本小題滿分12分)寫出求滿足1×3×5×7×…×n>50000的最小正整數(shù)n的算法并畫出相應的程序框圖． [解析]　算法如下： S1　S＝1，i＝3. S2　如果S≤50000，則執(zhí)行S3，否則執(zhí)行S5. S3　S＝S×i. S4　i＝i＋2，返回執(zhí)行S2.

20、S5　i＝i－2. S6　輸出i. 程序框圖如圖所示： 21．(本小題滿分12分)觀察下表： 1， 2,3 4,5,6,7 8,9,10,11,12,13,14,15， …… 問：(1)此表第n行的最后一個數(shù)是多少？ (2)此表第n行的各個數(shù)之和是多少？ (3)2012是第幾行的第幾個數(shù)？ (4)是否存在n∈N*，使得第n行起的連續(xù)10行的所有數(shù)之和為227－213－120？若存在，求出n的值；若不存在，請說明理由． [解析]　(1)∵第n＋1行的第1個數(shù)是2n， ∴第n行的最后一個數(shù)是2n－1. (2)2n－1＋(2n－1＋1)＋(2n－1＋2)＋…＋(2n

21、－1) ＝＝3·22n－3－2n－2. (3)∵210＝1024,211＝2048,1024<2012<2048， ∴2012在第11行，該行第1個數(shù)是210＝1024，由2012－1024＋1＝989，知2012是第11行的第989個數(shù)． (4)設第n行的所有數(shù)之和為an，第n行起連續(xù)10行的所有數(shù)之和為Sn. 則an＝3·22n－3－2n－2，an＋1＝3·22n－1－2n－1， an＋2＝3·22n＋1－2n，…，an＋9＝3·22n＋15－2n＋7， ∴Sn＝3(22n－3＋22n－1＋…＋22n＋15)－(2n－2＋2n－1＋…＋2n＋7)＝3·－＝22n＋17－22n

22、－3－2n＋8＋2n－2，n＝5時，S5＝227－128－213＋8＝227－213－120. ∴存在n＝5使得第5行起的連續(xù)10行的所有數(shù)之和為227－213－120. 22．(本小題滿分14分)(文)(2011·四川文，20)已知{an}是以a為首項，q為公比的等比數(shù)列，Sn為它的前n項和． (1)當S1，S3，S4成等差數(shù)列時，求q的值； (2)當Sm，Sn，Si成等差數(shù)列時，求證：對任意自然數(shù)k，am＋k，an＋k，ai＋k也成等差數(shù)列． [解析]　(1)若公比q＝1，則S1＝a，S3＝3a，S4＝4a，而2S3＝6a≠S1＋S4≠5a ∴不滿足S1，S3，S4成等差數(shù)列，

23、∴q≠1 若q≠1，由前n項和公式知，Sn＝， ∵S1，S3，S4成等差數(shù)列 ∴2S3＝S1＋S4，即＝a＋ 即2a(1－q3)＝a(1－q)＋a(1－q4) ∵a≠0，∴2(1－q)(q2＋q＋1)＝(1－q)＋(1－q)(1＋q)(1＋q2) 又∵1－q≠0 ∴2(1＋q＋q2)＝1＋(1＋q2)(1＋q) 即q2＝q＋1?q2－q－1＝0， ∴q＝ (2)若公比q＝1，則am＋k＝an＋k＝ai＋k＝a， ∴am＋k，an＋k，ai＋k成等差數(shù)列 若公比q≠1，由Sm，Sn，Si成等差數(shù)列得Sm＋Si＝2Sn 即＋＝ ∴2qn＝qm＋qi 又2an＋k＝2a

24、·qn＋k－1 而am＋k＋ai＋k＝a·qm＋k－1＋a·qi＋k－1＝a·qk－1(qm＋qi)＝a·qk－1·2qn＝2a·qn＋k－1 ∴am＋k＋ai＋k＝2an＋k， ∴am＋k，an＋k，ai＋k也成等差數(shù)列． (理)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝1－，bn＝，其中n∈N*. (1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列； (2)求證：在數(shù)列{an}中對于任意的n∈N*，都有an＋1

25、－＝－ ＝2(n∈N*)． 所以數(shù)列{bn}是等差數(shù)列． (2)證明：要證an＋1