高考二輪復(fù)習(xí)綜合檢測(cè)專題七 不等式推理與證明算法與復(fù)數(shù)綜合檢測(cè) 新人教A

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1、2012年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)綜合檢測(cè):專題七不等式、推理與證明、算法與復(fù)數(shù) 時(shí)間:120分鐘 滿分:150分 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分;在每小題給出四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1.(文)若復(fù)數(shù)(a2-3a+2)+(a-1)i是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)a的值為(  ) A.1    B.2     C.1或2   D.-1 [答案] B [解析]∵(a2-3a+2)+(a-1)i是純虛數(shù), ∴,∴a=2.故選B. (理)(2011·福建理,1)i是虛數(shù)單位,若集合S={-1,0,1},則(  ) A.i∈SB.i2∈S C.i3∈SD.∈S [答

2、案] B [解析] i2=-1∈S,故選B. 2.(文)(2011·福建文,6)若關(guān)于x的方程x2+mx+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(  ) A.(-1,1)B.(-2,2) C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞) [答案] C [解析] “方程x2+mx+1=0有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根”?m2-4>0,解得m>2或m<-2. (理)(2011·陜西文,3)設(shè)0

3、列命題中正確的是(  ) A.若a,b,c∈R,且a>b,則ac2>bc2 B.若a,b∈R,且a·b≠0,則+≥2 C.若a,b∈R,且a>|b|,則an>bn(n∈N*) D.若a>b,c>d,則> [答案] C [解析] 當(dāng)c=0時(shí),A不成立;當(dāng)ab<0時(shí),+≤-2,B不成立;若dc=0,>不成立,D不成立,故選C. 4.(2011·湖北理,8)已知向量a=(x+z,3),b=(2,y-z),且a⊥b,若x,y滿足不等式|x|+|y|≤1,則z的取值范圍為(  ) A.[-2,2] B.[-2,3] C.[-3,2] D.[-3,3] [答案] D [解析]

4、∵a⊥b,∴a·b=0,即(x+z,3)·(2,y-z)=0, ∴z=2x+3y 不等式|x|+|y|≤1表示如圖所示平面區(qū)域. 作直線l0:2x+3y=0,平移l0過點(diǎn)A(0,1)時(shí)z取最大值3. 平移l0過點(diǎn)C(0,-1)時(shí),z取最小值-3, ∴z∈[-3,3]. 5.(2011·西安模擬)觀察下列數(shù)表規(guī)律: 012345678910111213141516 則從數(shù)2011到2012的箭頭方向是(  ) A.2011 B.2011 C.2011 D.2011 [答案] D [解析] 由圖可以看出,每隔4個(gè)數(shù),箭頭方向相同,可認(rèn)為T=4,又2011=502×4+3

5、,所以2011處的箭頭方向同數(shù)字3處的箭頭方向,故選D. 6.(2011·重慶理,7)已知a>0,b>0,a+b=2,則y=+的最小值是(  ) A.B.4 C.D.5 [答案] C [解析]∵a+b=2,∴+=1, ∴y=+==++, ∵a>0,b>0,∴+≥2=2,當(dāng)且僅當(dāng) =,且a+b=2,即a=,b=時(shí)取得等號(hào), ∴y的最小值是,選C. 7.(文)(2011·北京文,6)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入A的值為2,則輸出的P值為(  ) A.2 B.3 C.4 D.5 [答案] C [解析]P=1,S=1―→P=2,S=1+=―→P=3,S=+

6、=―→P=4,S=+=>2,所以輸出P=4. (理)(2011·北京理,4)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的s值為(  ) A.-3 B.- C.D.2 [答案] D [解析] 由框圖知得:i:0→1→2→3→4,則s:2→→-→-3→2.選D. 8.(2011·新課標(biāo)理,1)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是(  ) A.-i B.i C.-i D.i [答案] C [解析] 依題意:==-=i,∴其共軛復(fù)數(shù)為-i,選C. 9.(文)(2011·天津文,3)閱讀下邊的程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,若輸入x的值為-4,則輸出y的值為(  ) A.0.5 B.1 C.2

7、D.4 [答案] C [解析] 第1次循環(huán):x=-4,x=|-4-3|=7 第2次循環(huán):x=7,x=|7-3|=4 第3次循環(huán):x=4,x<|4-3|=1, y=21=2.輸出y. (理)(2011·天津理,3)閱讀下邊的程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,則輸出i的值為(  ) A.3 B.4 C.5 D.6 [答案] B [解析] 第一次運(yùn)行結(jié)束:i=1,a=2 第二次運(yùn)行結(jié)束:i=2,a=5 第三次運(yùn)行結(jié)束:i=3,a=16 第四次運(yùn)行結(jié)束:i=4,a=65,故輸出i=4,選B. 10.(2011·福建理,8)已知O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A(-1,1),若點(diǎn)M(x,

8、y)為平面區(qū)域上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則·的取值范圍是(  ) A.[-1,0] B.[0,1] C.[0,2] D.[-1,2] [答案] C [解析]·=(-1,1)·(x,y)=y(tǒng)-x,畫出線性約束條件表示的平面區(qū)域如圖所示. 可以看出當(dāng)z=y(tǒng)-x過點(diǎn)D(1,1)時(shí)有最小值0,過點(diǎn)C(0,2)時(shí)有最大值2,則·的取值范圍是[0,2],故選C. 11.(2011·四川理,9)某運(yùn)輸公司有12名駕駛員和19名工人,有8輛載重量為10噸的甲型卡車和7輛載重量為6噸的乙型卡車,某天需送往A地至少72噸的貨物,派用的每輛車需載滿且只運(yùn)送一次,派用的每輛甲型卡車需配2名工人,運(yùn)送一次可得利

9、潤450元;派用的每輛乙型卡車需配1名工人;運(yùn)送一次可得利潤350元,該公司合理計(jì)劃當(dāng)天派用兩類卡車的車輛數(shù),可得最大利潤z=(  ) A.4650元 B.4700元 C.4900元 D.5000元 [答案] C [解析] 設(shè)派用甲車數(shù)x輛,乙車數(shù)y輛,由題意:約束條件: ,目標(biāo)函數(shù):z=450x+350y 經(jīng)平移9x+7y=0得過A(7,5)利潤最大 z=450×7+350×5=4900元,故選C. 12.(文)(2011·陜西二檢)設(shè)O(0,0),A(1,0),B(0,1),點(diǎn)P是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),=λ,若·≥·,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是(  ) A.≤λ≤1

10、 B.1-≤λ≤1 C.≤λ≤1+D.1-≤λ≤1+ [答案] B [解析] 設(shè)P(x,y),則由=λ得, (x-1,y)=λ(-1,1),∴,解得. 若·≥·,則 (x,y)·(-1,1)≥(1-x,-y)·(-x,1-y), ∴x2+y2-2y≤0,∴(1-λ)2+λ2-2λ≤0, ∴1-≤λ≤1+. 又點(diǎn)P是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),∴0≤λ≤1, ∴1-≤λ≤1.故選B. (理)(2011·山西二模)已知函數(shù)f(x)=-x3+px2+qx+r,且p2+3q<0,若對(duì)x∈R都有f(m2-sinx)≥f(m++cosx)成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(  ) A.[0,1

11、] B.[2,] C.[1,] D.[0,] [答案] A [解析] 由題知,f′(x)=-3x2+2px+q, 其判別式Δ=4p2+12q=4(p2+3q)<0,∴f′(x)<0, ∴f(x)在R上單調(diào)遞減. 又f(m2-sinx)≥f(m++cosx), ∴m2-sinx≤m++cosx,即m2-m-≤sinx+cosx. 記t=sinx+cosx,則問題等價(jià)于m2-m-≤tmin. 又t=sinx+cosx=sin(x+),x∈R,∴tmin=-, 所以m2-m-≤-,解得0≤m≤1, ∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是[0,1]. 二、填空題(本大題共4小題,每小題4分,

12、共16分,將答案填寫在題中橫線上.) 13.(2011·山東濰坊三模)在各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列{an}中,數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=(an+),則a3=________,猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________. [答案]-- [解析] (1)由Sn=(an+)可計(jì)算出a1=1,a2=-1,a3=-. (2)由a1,a2,a3可歸納猜想出an=-. 14.(文)(2011·浙江理,12)某程序框圖如圖所示,則該程序運(yùn)行后輸出的k的值是________. [答案] 5 [解析] 第一次執(zhí)行循環(huán)體時(shí),k=3,a=44=64,b=34=81,由于a

13、次執(zhí)行循環(huán)體時(shí),k=4,a=44=256,b=44=256,由于a=b,所以執(zhí)行第三次循環(huán). 第三次執(zhí)行循環(huán)體時(shí),k=5,a=45=1024,b=54=625,由于a>b,退出循環(huán)結(jié)構(gòu),輸出k=5,應(yīng)填:5. (理)(2011·山東理,13)執(zhí)行下圖所示的程序框圖,輸入l=2,m=3,n=5,則輸出的y的值是________. [答案] 68 [解析] 依題意,l=2,m=3,n=5,則l2+m2+n2≠0, ∴y=70×2+21×3+15×5=278,又278>105 ∴y=278-105=173. 又173>105, ∴y=173-105=68<105. ∴y=68.

14、 15.(文)(2011·湖南理,10)設(shè)x,y∈R,且xy≠0,則(x2+)(+4y2)的最小值為________. [答案] 9 [解析]=1+4++4x2y2≥5+2×2=9,當(dāng)且僅當(dāng)=4x2y2時(shí)等號(hào)成立. (理)(2011·浙江文,16)若實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2+xy=1,則x+y的最大值是________. [答案] [解析] 由x2+y2+xy=1可得,(x+y)2=xy+1 而由均值不等式得xy≤()2 ∴(x+y)2≤()2+1整理得,(x+y)2≤1 ∴x+y∈[-,] ∴x+y的最大值為. 16.(文)(2011·蘇錫常鎮(zhèn)三調(diào))將全體正整數(shù)排成一個(gè)

15、三角形數(shù)陣: 1 2   3 4  5  6 7  8  9 10 11 12 13 14 15 … … … … … … 根據(jù)以上排列規(guī)律,數(shù)陣中第n(n≥3)行從左至右的第3個(gè)數(shù)是________. [答案]-+3(n≥3) [解析] 該數(shù)陣的第1行有1個(gè)數(shù),第2行有2個(gè)數(shù),…,第n行有n個(gè)數(shù),則第n-1(n≥3)行的最后一個(gè)數(shù)為=-,則第n行的第3個(gè)數(shù)為-+3(n≥3). (理)(2011·福建二檢)如圖,點(diǎn)P在已知三角形ABC的內(nèi)部,定義有序?qū)崝?shù)對(duì)(μ,υ,ω)為點(diǎn)P關(guān)于△ABC的面積坐標(biāo),其中μ=,υ=, ω=;若點(diǎn)Q滿足=+,則點(diǎn)Q關(guān)于△ABC的面積坐標(biāo)為__

16、______. [答案] (,,) [解析] 由點(diǎn)Q滿足=+可知Q到BC、AC、AB三邊的距離分別是三邊相應(yīng)高的,,,所以S△QBC=s,S△AQC=s,S△AQB=s(s為△ABC的面積).故點(diǎn)Q關(guān)于△ABC的面積坐標(biāo)為(,,). 三、解答題(本大題共6小題,共74分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17.(本小題滿分12分)若函數(shù)f(x)=4x+a·2x+a+1有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍. [解析] 解法一:令2x=t,f(x)有零點(diǎn),即方程t2+at+a+1=0,在(0,+∞)內(nèi)有解. 變形為a=-=-[(t+1)+]+2≤2-2, ∴a的范圍是(-∞,2-2

17、]. 解法二:t2+at+a+1=0在(0,+∞)內(nèi)有解, ①有兩解,得-1

18、題滿分12分)(2011·安徽理,19)(1)設(shè)x≥1,y≥1,證明x+y+≤++xy. (2)1≤a≤b≤c,證明logab+logbc+logca≤logba+logcb+logac. [證明] (1)由于x≥1,y≥1,所以x+y+≤++xy?xy(x+y)+1≤y+x+(xy)2. 將上式中的右式減左式,得 (y+x+(xy)2)-(xy(x+y)+1) =((xy)2-1)-(xy(x+y)-(x+y)) =(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1) =(xy-1)(xy-x-y+1) =(xy-1)(x-1)(y-1). 既然x≥1,y≥1,所以(xy-1)

19、(x-1)(y-1)≥0,從而所要證明的不等式成立. (2)設(shè)logab=x,logbc=y(tǒng),由對(duì)數(shù)的換底公式得 logca=,logba=,logab=,logac=xy.于是, 所要證明的不等式即為x+y+≤++xy, 其中x=logab≥1,y=logbc≥1. 故由(1)立知所要證明的不等式成立. 20.(本小題滿分12分)寫出求滿足1×3×5×7×…×n>50000的最小正整數(shù)n的算法并畫出相應(yīng)的程序框圖. [解析] 算法如下: S1 S=1,i=3. S2 如果S≤50000,則執(zhí)行S3,否則執(zhí)行S5. S3 S=S×i. S4 i=i+2,返回執(zhí)行S2.

20、S5 i=i-2. S6 輸出i. 程序框圖如圖所示: 21.(本小題滿分12分)觀察下表: 1, 2,3 4,5,6,7 8,9,10,11,12,13,14,15, …… 問:(1)此表第n行的最后一個(gè)數(shù)是多少? (2)此表第n行的各個(gè)數(shù)之和是多少? (3)2012是第幾行的第幾個(gè)數(shù)? (4)是否存在n∈N*,使得第n行起的連續(xù)10行的所有數(shù)之和為227-213-120?若存在,求出n的值;若不存在,請(qǐng)說明理由. [解析] (1)∵第n+1行的第1個(gè)數(shù)是2n, ∴第n行的最后一個(gè)數(shù)是2n-1. (2)2n-1+(2n-1+1)+(2n-1+2)+…+(2n

21、-1) ==3·22n-3-2n-2. (3)∵210=1024,211=2048,1024<2012<2048, ∴2012在第11行,該行第1個(gè)數(shù)是210=1024,由2012-1024+1=989,知2012是第11行的第989個(gè)數(shù). (4)設(shè)第n行的所有數(shù)之和為an,第n行起連續(xù)10行的所有數(shù)之和為Sn. 則an=3·22n-3-2n-2,an+1=3·22n-1-2n-1, an+2=3·22n+1-2n,…,an+9=3·22n+15-2n+7, ∴Sn=3(22n-3+22n-1+…+22n+15)-(2n-2+2n-1+…+2n+7)=3·-=22n+17-22n

22、-3-2n+8+2n-2,n=5時(shí),S5=227-128-213+8=227-213-120. ∴存在n=5使得第5行起的連續(xù)10行的所有數(shù)之和為227-213-120. 22.(本小題滿分14分)(文)(2011·四川文,20)已知{an}是以a為首項(xiàng),q為公比的等比數(shù)列,Sn為它的前n項(xiàng)和. (1)當(dāng)S1,S3,S4成等差數(shù)列時(shí),求q的值; (2)當(dāng)Sm,Sn,Si成等差數(shù)列時(shí),求證:對(duì)任意自然數(shù)k,am+k,an+k,ai+k也成等差數(shù)列. [解析] (1)若公比q=1,則S1=a,S3=3a,S4=4a,而2S3=6a≠S1+S4≠5a ∴不滿足S1,S3,S4成等差數(shù)列,

23、∴q≠1 若q≠1,由前n項(xiàng)和公式知,Sn=, ∵S1,S3,S4成等差數(shù)列 ∴2S3=S1+S4,即=a+ 即2a(1-q3)=a(1-q)+a(1-q4) ∵a≠0,∴2(1-q)(q2+q+1)=(1-q)+(1-q)(1+q)(1+q2) 又∵1-q≠0 ∴2(1+q+q2)=1+(1+q2)(1+q) 即q2=q+1?q2-q-1=0, ∴q= (2)若公比q=1,則am+k=an+k=ai+k=a, ∴am+k,an+k,ai+k成等差數(shù)列 若公比q≠1,由Sm,Sn,Si成等差數(shù)列得Sm+Si=2Sn 即+= ∴2qn=qm+qi 又2an+k=2a

24、·qn+k-1 而am+k+ai+k=a·qm+k-1+a·qi+k-1=a·qk-1(qm+qi)=a·qk-1·2qn=2a·qn+k-1 ∴am+k+ai+k=2an+k, ∴am+k,an+k,ai+k也成等差數(shù)列. (理)在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=1-,bn=,其中n∈N*. (1)求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列; (2)求證:在數(shù)列{an}中對(duì)于任意的n∈N*,都有an+1

25、-=- =2(n∈N*). 所以數(shù)列{bn}是等差數(shù)列. (2)證明:要證an+1

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