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1、附錄核心知識整合一、集合與常用邏輯用語知識必備1.集合的子集的個數(1)對于含有n個元素的集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數依次為2n,2n-1,2n-1,2n-2.2.集合中的兩個重要結論(1)AB=AAB.(2)AB=ABA.3.四種命題及其相互關系(1)(2)互為逆否命題的兩命題同真同假.(3)若pq,則稱p是q的充要條件;(2)解決集合問題時,要注意根據集合元素的互異性進行檢驗;(3)A是B的充分不必要條件,可認為條件是A,結論是B,推理方向是從A到B,即由A能夠推出B,但由B不能推出A;A的充分不必要條件是B,可認為條件是B,結論是A,推理方向是從B到A,即由A不能夠
2、推出B,但由B能夠推出A.(4)命題的“否定”與“否命題”是兩個不同的概念,命題p的否定是否定命題所作的判斷,而“否命題”是對“若p,則q”形式的命題而言,既要否定條件也要否定結論.二、不等式知識必備1.解不等式的常見策略(1)解一元二次不等式的策略:先化為一般形式ax2+bx+c0(a0),再結合相應二次方程的根及二次函數圖象確定一元二次不等式的解集.(2)解簡單的分式不等式的策略:將不等式一邊化為0,再將不等式等價轉化為整式不等式(組)求解;(3)若已知一元二次不等式的解集,則可根據一元二次方程根與系數的關系求解其中的參數及相關問題.4.解不含實際背景的線性規(guī)劃問題的一般步驟(1)畫出可行
3、域;(2)根據目標函數的幾何意義確定其取得最優(yōu)解的點;(3)求出目標函數的最大值或者最小值.易忘提醒(1)解形如一元二次不等式ax2+bx+c0時,易忽視系數a的討論導致漏解或錯解,要注意分a0,a0進行討論.(3)求解線性規(guī)劃問題時,作圖一定要準確,邊界的虛、實要搞清,區(qū)域是否是封閉的一定要明確.三、函數的概念、圖象與性質及函數與方程知識必備1.函數的三要素定義域、值域和對應關系,其中值域被函數的定義域和對應關系完全確定,因此定義域和對應關系相同的兩個函數是同一函數.2.函數的圖象與性質見附表3.函數與方程(1)方程的根與函數零點的關系:由函數零點的定義,可知函數y=f(x)的零點就是方程f
4、(x)=0的實數根,也就是函數y=f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標.所以,方程f(x)=0有實數根函數y=f(x)的圖象與x軸有交點函數y=f(x)有零點.(2)函數零點的存在性:如果函數y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且f(a)f(b)0,那么函數f(x)在區(qū)間(a,b)內至少有一個零點,即存在c(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0的實數根.易忘提醒(1)求解與函數有關的問題,如值域、單調區(qū)間、判斷奇偶性,求極值、求最值等等,都必須注意定義域優(yōu)先的原則.實際問題或幾何問題除要考慮解析式有意義外,還要使實際問題有意義.(2)分段函數的求值(解不等
5、式)問題,必須依據條件準確地找出利用哪一段求解.(3)求函數單調區(qū)間時,易錯誤地在多個單調區(qū)間之間添加符號“”和“或”,它們之間只能用“,”隔開或者用“和”字連接;單調區(qū)間不能用集合或不等式表示,必須用區(qū)間表示.(4)判斷函數的奇偶性時,要注意定義域必須關于原點對稱,有時還要對函數解析式化簡處理,但必須使定義域不受影響.(5)利用指數函數、對數函數的單調性時,易忽視對底數的討論.(6)如果函數y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是一條連續(xù)的曲線,并且有f(a)f(b)0時,不能否定函數y=f(x)在(a,b)內有零點.函數的零點有“變號零點”和“不變號零點”,對于“不變號零點”函數的零點定理是“無
6、能為力”的,在解決函數零點問題時要注意這個問題.(3)各象限內的三角函數值符號為正的規(guī)律:一全正,二正弦,三正切,四余弦.abc=sinAsinBsinC;a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.4.解三角形的類型及相應解法(1)已知兩角和一邊,如已知A、B和c,由A+B+C=求C,由正弦定理求a、b.(2)已知兩邊和這兩邊的夾角,如已知a、b和C,應先用余弦定理求c,再應用正弦定理先求較短邊所對的角,然后利用A+B+C=求另一角.(3)已知兩邊和其中一邊的對角,如已知a、b和A,應先用正弦定理求B,由A+B+C=求C,再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解可能有多種情況.(4)已
7、知三邊a、b、c,可應用余弦定理求A、B、C.5.三角形中的幾個常用結論(1)A+B+C=;(4)tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC;(5)sin(A+B)=sinC;(6)cos(A+B)=-cosC;(7)sinAsinBabAB.易忘提醒(1)在已知兩邊和其中一邊的對角時,要注意解三角形的不確定性.(2)在解三角形時,不要忘記三角形內角和定理這一隱含條件,即A+B+C=.六、平面向量知識必備1.平面向量的數量積(1)若a,b為非零向量,夾角為,則ab=|a|b|cos.(2)設a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=x1x2+y1y2.2.兩個非零向量平行、垂
8、直的充要條件若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則(1)aba=b(b0)x1y2-x2y1=0.(2)abab=0 x1x2+y1y2=0.易忘提醒(1)當ab0(或ab0).圓的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0).(2)直線l:Ax+By+C=0(A2+B20)與圓:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)的位置關系如下表.(3)圓與圓的位置關系(O1、O2半徑分別為r1、r2,d=|O1O2|)3.圓錐曲線的定義、標準方程與幾何性質見附表4.直線與圓錐曲線的位置關系(1)直線與橢圓的位置關系的判定方法將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消去一個未知數,得到一個一元
9、二次方程,若0,則直線與橢圓相交;若=0,則直線與橢圓相切;若0這一條件.十、導數及其應用知識必備1.基本初等函數的導數公式和運算法則(1)基本初等函數的導數公式(3)復合函數的求導法則復合函數y=f(g(x)的導數和y=f(u),u=g(x)的導數之間的關系為yx=f(u)g(x).2.導數幾何意義的應用(1)函數f(x)圖象上點P(x0,f(x0)處切線的斜率為f(x0),切線方程為y-f(x0)=f(x0)(x-x0).(2)過點P(x1,y1)作曲線y=f(x)的切線時,要先設出切點坐標(x0,f(x0),寫出切線方程y-f(x0)=f(x0)(x-x0),再利用P在切線上解出x0,得
10、切線方程.(3)已知切線方程求參數時,要注意切點(x0,y0)同時在曲線和切線上,且f(x0)等于切線的斜率.3.利用導數研究函數的單調性(1)求可導函數單調區(qū)間的一般步驟:確定函數f(x)的定義域;求導函數f(x);在函數f(x)的定義域內求不等式f(x)0或f(x)0的解集確定函數f(x)的單調增區(qū)間,f(x)0(或f(x)0.(2)f(x0)=0是函數y=f(x)在x=x0處取得極值的必要不充分條件,而不是充要條件.(3)存在性問題與恒成立問題容易混淆,它們既有區(qū)別又有聯(lián)系:若f(x)m恒成立,則f(x)maxm;若f(x)m恒成立,則f(x)minm.若f(x)m有解,則f(x)min
11、m;若f(x)m有解,則f(x)maxm.十一、推理與證明、復數知識必備1.解決合情推理問題時應注意(1)運用歸納推理得出一般結論時,要注意從等式、不等式的項數、次數、系數等多個方面進行綜合分析,歸納發(fā)現其一般結論.(2)若已給出的式子較少,規(guī)律不明顯時,可多寫出幾個式子,發(fā)現其中的一般結論.(3)進行類比推理時,要充分考慮已知對象性質的推理過程,然后類比推導類比對象的性質.2.復數的相關概念及運算法則(1)復數z=a+bi(a,bR)的分類z是實數b=0.z是虛數b0.z是純虛數a=0且b0.(4)復數相等的充要條件a+bi=c+dia=c且b=d(a,b,c,dR).特別地,a+bi=0a
12、=0且b=0(a,bR).易忘提醒(1)在進行歸納推理時,要認真觀察、分析已給出具體結論的特點,必要時再寫出幾個具體的結論,從而歸納得到一般性結論.(2)已知復數z=a+bi(a,bR)是純虛數時,切記是兩個條件,一是a=0;二是b0.十二、計數原理與概率知識必備1.解決排列組合問題的常用方法(1)每個元素都有附加條件時用列表法或樹形圖法;(2)特殊元素或特殊位置優(yōu)先安排法;(3)相鄰問題捆綁法;(4)不相鄰問題插空法;(5)定序問題消序法;(6)排列組合綜合問題先選后排法;(7)“小集團”問題先整體后局部法;(8)正難則反、等價轉化法.2.解決二項式定理有關問題的常用方法(1)求解二項展開式中特定項,一般用通項公式、待定系數法求解.(2)求解二項展開式系數和等問題,一般用賦值法.(3)對于形式上接近二項展開式的代數式,要善于逆用二項式定理.
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