數(shù)學第二章 函數(shù) 第三節(jié) 函數(shù)的奇偶性與周期性 文

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1、第三節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性總綱目錄教材研讀1.函數(shù)的奇偶性考點突破2.奇（偶）函數(shù)的性質(zhì)3.周期性考點二函數(shù)周期性的判斷與應(yīng)用考點二函數(shù)周期性的判斷與應(yīng)用考點一函數(shù)奇偶性考點三函數(shù)性質(zhì)的綜合問題考點三函數(shù)性質(zhì)的綜合問題1.函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性教材研讀教材研讀奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x,都有f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱奇函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x,都有f(-x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關(guān)于原點對稱2.奇奇(偶偶)函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì)(1)奇(偶)函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱.(2)奇函數(shù)在關(guān)于原點

2、對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同,偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反.(3)在公共定義域內(nèi)(i)兩個奇函數(shù)的和是奇函數(shù),兩個奇函數(shù)的積是偶函數(shù).(ii)兩個偶函數(shù)的和、積都是偶函數(shù).(iii)一個奇函數(shù),一個偶函數(shù)的積是奇函數(shù).(4)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且在x=0處有定義,則f(0)=0.與函數(shù)奇偶性有關(guān)的結(jié)論與函數(shù)奇偶性有關(guān)的結(jié)論(1)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù),那么f(x)=f(|x|).(2)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型,即f(x)=0,xD,其中定義域D是關(guān)于原點對稱的非空數(shù)集.(3)偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相同的最大(小)值,取最值時的自變量互為相反數(shù);奇函數(shù)在關(guān)于原點

3、對稱的區(qū)間上的最值互為相反數(shù),取最值時的自變量也互為相反數(shù).3.周期性周期性(1)周期函數(shù)周期函數(shù):對于函數(shù)y=f(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當x取定義域內(nèi)的任何值時,都有f(x+T)=f(x),那么就稱函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù),稱T為這個函數(shù)的周期.(2)最小正周期最小正周期:如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù),那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.有關(guān)周期函數(shù)的幾個常用結(jié)論有關(guān)周期函數(shù)的幾個常用結(jié)論周期函數(shù)y=f(x)滿足:(1)若f(x+a)=f(x-a),則函數(shù)的周期為2|a|;(2)若f(x+a)=-f(x),則函數(shù)的周期為2|a|;(3)若f(x+

4、a)=-,則函數(shù)的周期為2|a|;(4)若f(x+a)=,則函數(shù)的周期為2|a|;(5)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a與x=b對稱,則函數(shù)f(x)的周期為2|b-a|;(6)若函數(shù)f(x)的圖象既關(guān)于點(a,0)對稱,又關(guān)于點(b,0)對稱,則函數(shù)f(x)1( )f x1( )f x的周期是2|b-a|;(7)若函數(shù)f(x)的圖象既關(guān)于直線x=a對稱,又關(guān)于點(b,0)對稱,則函數(shù)f(x)的周期是4|b-a|;(8)若函數(shù)f(x)是偶函數(shù),其圖象關(guān)于直線x=a對稱,則其周期為2|a|;(9)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù),其圖象關(guān)于直線x=a對稱,則其周期為4|a|.1.(2018北京東城期末)下

5、列函數(shù)中為偶函數(shù)的是()A.y=(x-2)2B.y=|lnx|C.y=xcosxD.y=e-|x答案答案D偶函數(shù)需具備:定義域關(guān)于原點對稱;滿足f(-x)=f(x),只有D項符合,故選D.D2.(2017北京朝陽期中)下列四個函數(shù)中,在其定義域上既是奇函數(shù)又是單調(diào)遞增函數(shù)的是()A.y=x-1B.y=tanxC.y=x3D.y=-2x答案答案CA.y=x-1是非奇非偶函數(shù),不符合題意.B.y=tanx是奇函數(shù),但在定義域上不是單調(diào)函數(shù),不符合題意.C.y=x3是奇函數(shù),在定義域上為增函數(shù),符合題意.D.y=-是奇函數(shù),在定義域上不是單調(diào)函數(shù),不符合題意.故選C.2xC3.(2016北京東城二模

6、)已知函數(shù)g(x)=f(x)-x是偶函數(shù),且f(3)=4,則f(-3)=()A.-4B.-2C.0D.4答案答案Bg(x)=f(x)-x是偶函數(shù),g(x)=g(-x).Bg(3)=f(3)-3=4-3=1,g(-3)=f(-3)-(-3)=1.f(-3)=-2.4.(2018北京海淀期中)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù),當0 x1時,f(x)=,則f+f(0)=.1x52答案答案-2解析解析函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),f(0)=0,f=-f.函數(shù)f(x)的周期為2,f=f=2.f+f(0)=-2.5252521252-25.若函數(shù)f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函數(shù),

7、定義域為a-1,2a,則a=,b=.答案答案;013解析解析因為偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱,所以a-1=-2a,解得a=.由函數(shù)f(x)=x2+bx+b+1為偶函數(shù),結(jié)合偶函數(shù)圖象的特點(圖略),易得b=0.13136.(2015北京東城一模)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x0時,f(x)的解析式為,不等式f(x)0時,-x0,f(-x)=x2-4,又f(-x)=-f(x),f(x)=-x2+4;當x0時,f(x)=x2-40,-2x2,-2x0時,f(x)=-x2+40,x2,x2,不等式f(x)g(1),則x的取值范圍是()A.(0,10)B.(10,+)C.D.(10,+)1,

8、101010,10D答案答案D解析解析g(x)=f(|x|),g(-x)=f(|-x|)=f(|x|)=g(x),g(x)為偶函數(shù).又f(x)在(0,+)上為增函數(shù),g(x)在(-,0)上為減函數(shù),在(0,+)上為增函數(shù),當|x|越大時,g(x)越大,若g(lgx)g(1),則|lgx|1.lgx1或lgx10或0 x0時,f(x)=ex,則f(-1)=()A.B.-C.eD.-e1e1e答案答案D函數(shù)f(x)是奇函數(shù),f(-1)=-f(1)=-e.D1-3函數(shù)f(x-1)是R上的奇函數(shù),x1,x2R,(x1-x2)f(x1)-f(x2)0,則f(1-x)0的解集是()A.(-,0)B.(0,

9、+)C.(-,2)D.(2,+)答案答案C由于函數(shù)f(x-1)是R上的奇函數(shù),故有f(-x-1)=-f(x-1),令x=0,則有f(-1)=-f(-1),于是有f(-1)=0.x1,x2R,(x1-x2)f(x1)-f(x2)0,則函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減,不等式f(1-x)0等價于f(1-x)-1,解得x2,故選C.C典例典例3(1)設(shè)f(x)是定義在R上的周期為3的函數(shù),當x-2,1)時,f(x)=則f=()A.0B.1C.D.-1(2)設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),且當x0,2)時,f(x)=2x-x2,則f(0)+f(1)+f(2)+f(2016)=.242,

10、 20,01,xxxx 5212考點二函數(shù)周期性的判斷與應(yīng)用考點二函數(shù)周期性的判斷與應(yīng)用答案答案(1)D(2)1008解析解析(1)因為f(x)是周期為3的周期函數(shù),所以f=f=f=4-2=-1,故選D.(2)f(x+2)=f(x),函數(shù)f(x)的周期T=2,又當x0,2)時,f(x)=2x-x2,所以f(0)=0,f(1)=1,所以f(0)=f(2)=f(4)=f(2016)=0,f(1)=f(3)=f(5)=f(2015)=1.故f(0)+f(1)+f(2)+f(2016)=1008.5213212212規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)判斷函數(shù)周期性的幾個常用結(jié)論若對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個x都有

11、:(1)f(x+a)=-f(x)(a0),則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù),2|a|是它的一個周期;(2)f(x+a)=(a0,f(x)0),則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù),2|a|是它的一個周期;(3)f(x+a)=-(a0,f(x)0),則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù),2|a|是它的一個周期.1( )f x1( )f x2-1已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),并且滿足f(x+2)=,當2x3時,f(x)=x,則f(105.5)=.1( )f x答案答案2.5解析解析由f(x+2)=得f(x+4)=f(x+2)+2)=f(x),f(x)是以4為周期的周期函數(shù).f(105.5)=f(264+1.5)=f(1

12、.5)=f(-2.5+4)=f(-2.5).f(x)為偶函數(shù),且當2x3時,f(x)=x,f(105.5)=f(-2.5)=f(2.5)=2.5.1( )f x1(2)f x11( )f x2.5考點三函數(shù)性質(zhì)的綜合問題考點三函數(shù)性質(zhì)的綜合問題典例典例4(2016北京東城(上)期中)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-x)=f(x),對于任意x1,x20,+),0(x2x1),則()A.f(-1)f(-2)f(3)B.f(3)f(-1)f(-2)C.f(-2)f(-1)f(3)D.f(3)f(-2)f(-1)2121()()f xf xxx答案答案D解析解析由f(-x)=f(x)得f(x)為偶函

13、數(shù),所以f(-2)=f(2),f(-1)=f(1),對于任意x1,x20,+),0,所以當x0時,f(x)為減函數(shù),所以f(3)f(2)f(1),即f(3)f(-2)f(-1),故選D.2121()()f xf xxxD方法技巧方法技巧(1)利用函數(shù)性質(zhì)求值的關(guān)鍵是利用函數(shù)的奇偶性、對稱性以及函數(shù)的周期性將自變量轉(zhuǎn)化到指定區(qū)間內(nèi),然后代入函數(shù)解析式求值;(2)利用函數(shù)性質(zhì)解不等式問題,主要利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性等將函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量之間的大小關(guān)系求解.3-1(2016廣東廣州模擬)已知f(x)在R上是奇函數(shù),且滿足f(x+4)=f(x),當x(0,2)時,f(x)=2x2,則f(7)=()A.-2B.2C.-98D.98答案答案A因為f(x+4)=f(x),所以函數(shù)f(x)的周期為4,所以f(7)=f(7-8)=f(-1),又因為f(x)為奇函數(shù),且當x(0,2)時,f(x)=2x2,所以f(7)=f(-1)=-f(1)=-2,故選A.A答案答案x|-1x0或0 x13-2(2015北京房山期末)已知奇函數(shù)f(x)在(0,+)上為增函數(shù),且f(1)=0,則不等式0的解集為(-1,0)(1,+),f(x)0的解集為(-,-1)(0,1),由0等價于或解得-1x0或0 x1.( )f xx0,( )0 xf x0,( )0,xf xx|-1x0或或0 x1