數學第六章 數列 第一節(jié) 數列的概念及簡單表示法 理

第一節(jié)數列的概念及簡單表示法總綱目錄教材研讀1.數列的定義考點突破2.數列的分類3.數列的表示方法考點二由遞推關系式求數列的通項公式考點二由遞推關系式求數列的通項公式考點一由an與Sn的關系求通項an4.數列的通項公式考點三數列的性質考點三數列的性質5.已知數列an的前n項和Sn,教材研讀教材研讀1.數列的定義數列的定義按照一定順序一定順序排列的一列數叫做數列,數列中的每一個數叫做這個數列的項項.2.數列的分類數列的分類分類原則類型滿足條件按項數分類有窮數列項數有限有限無窮數列項數無限無限按項與項間的大小關系分類遞增數列an+1an其中nN*遞減數列an+1an常數列an+1=an按其他標準分類有界數列存在正數M,使對于任意的nN*,都有|an|M擺動數列從第二項起,有些項大于它的前一項,有些項小于它的前一項3.數列的表示方法數列的表示方法數列有三種表示方法,它們分別是列表法列表法、圖象法圖象法和解析式法解析式法.4.數列的通項公式數列的通項公式如果數列an的第n項與序號序號n之間的關系可以用一個式子來表示,那么這個式子叫做這個數列的通項公式.5.已知數列已知數列an的前的前n項和項和Sn,則an=11(1),(2).nnSnSSn 1.數列an的前n項和為Sn,若Sn-Sn-1=2n-1(n2),且S2=3,則a1+a3的值為()A.1B.3C.5D.6C答案答案C由題意知S2-S1=3-a1=3,a1=0,a3=S3-S2=23-1=5,a1+a3=5,故選C.2.(2018北京海淀期中,4)已知數列an滿足a1+a2+an=2a2(n=1,2,3,),則()A.a10C.a1a2D.a2=0D答案答案Da1=2a2,a1+a2=2a2,a1=a1+a2,a2=0,故選D.3.(2017北京西城一模,7)若數列an的通項公式為an=|n-c|(nN*),則“c1”是“an為遞增數列”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件A答案答案A充分性:當c1時,an=|n-c|=n-c(nN*),易知an為遞增數列,所以充分性成立;必要性:當c=1.1時,易驗證an為遞增數列,所以必要性不成立.綜上,“c1”是“an為遞增數列”的充分不必要條件.4.已知數列an的通項公式為an=2n(3n-13),則數列an的前n項和Sn的最小值是()A.S3B.S4C.S5D.S6B答案答案B易知數列an是遞增數列,且a1,a2,a3,a4的值為負數,從第5項開始以后各項均為正數,所以數列an的前n項和Sn的最小值是S4,選B.5.已知數列an的前n項和Sn=2n-3,則數列an的通項公式是an=.11,12,2nnn答案答案an=11,12,2nnn解析解析當n=1時,a1=S1=2-3=-1,當n2時,an=Sn-Sn-1=(2n-3)-(2n-1-3)=2n-2n-1=2n-1.又a1=-1不適合上式,故an=11,1,2,2.nnn6.已知函數f(x)的對應關系如下表所示,數列an滿足a1=3,an+1=f(an),則a4=1,a2015=3.x123f(x)321答案答案1;3解析解析a1=3,a2=f(a1)=f(3)=1,a3=f(a2)=f(1)=3,a4=f(a3)=f(3)=1,可知數列an是以2為周期的周期數列,a2015=a1=3.考點一由考點一由an與與Sn的關系求通項的關系求通項an考點突破考點突破典例典例1已知數列an的前n項和Sn,求an的通項公式.(1)Sn=2n2-3n;(2)Sn=3n+b.解析解析(1)當n=1時,a1=S1=-1;當n2時,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-2(n-1)2-3(n-1)=4n-5,又a1=-1也適合上式,因此an=4n-5(nN*).(2)當n=1時,a1=S1=3+b,當n2時,an=Sn-Sn-1=(3n+b)-(3n-1+b)=23n-1.當b=-1時,a1適合上式;當b-1時,a1不適合上式.當b=-1時,an=23n-1(nN*);當b-1時,an=13,1,2 3,2.nb nn方法技巧方法技巧已知Sn求an的三個步驟(1)先利用a1=S1求出a1;(2)用n-1替換Sn中的n得出Sn-1,利用an=Sn-Sn-1(n2)便可求出當n2時an的表達式;(3)看a1是否符合n2時an的表達式,如果符合,則可以把數列的通項公式合寫,如果不符合,則應該分n=1與n2兩段來寫.1-1已知數列an的前n項和Sn=3-32n,nN*,則an=-32n-1.答案答案-32n-1解析解析分情況討論:當n=1時,a1=S1=3-321=-3;當n2時,an=Sn-Sn-1=(3-32n)-(3-32n-1)=-32n-1.綜合,得an=-32n-1.(經檢驗a1=-3符合該式)典例典例2(1)已知數列an滿足a1=,an+1=an+,則an=;(2)若數列an滿足a1=,an+1=an,則通項an=;(3)若數列an滿足a1=1,an+1=2an+3,則an=.1221nn231nn考點二由遞推關系式求數列的通項公式考點二由遞推關系式求數列的通項公式答案答案(1)-(2)(3)2n+1-3321n23n解析解析(1)由條件知an+1-an=-,則n2時,(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+(an-an-1)=+,即n2時,an-a1=1-,又a1=,n2時,an=1-+=-,又n=1時,a1=符合上式,an=-.(2)由an+1=an(an0),得=,故n2時,an=a1=,又n=1時,a1=符21nn1(1)n n1n11n11211231134111nn1n121n12321n12321n1nn1nnaa1nn1nnaa12nnaa21aa1nn21nn122323n23合上式,an=.(3)設遞推關系式an+1=2an+3可以轉化為an+1-t=2(an-t),則an+1=2an-t,則t=-3.故an+1+3=2(an+3).令bn=an+3,則b1=a1+3=4,bn0,且=2.所以bn是以4為首項,2為公比的等比數列.23n1nnbb133nnaa所以bn=42n-1=2n+1,即an=2n+1-3.方法技巧方法技巧由數列的遞推關系求通項公式的常用方法遞推式方法轉化過程an+1=an+f(n)累加法(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=an-a1(n2)=f(n)累乘法=(n2)an+1=pan+q(p0,1,q0)轉化法化為an+1+m=p(an+m),以此構造等比數列an+mn 1naa21aa32aa43aan 1n 2aann 1aan1aa2-1數列an的首項a1=2,且(n+1)an=nan+1,則a3的值為()A.5B.6C.7D.8答案答案B由題意知=,由累乘法得=,n2,an=na1,n2,又a1=2,an=2n,n2,又a1=2適合上式,an=2n,a3=6,故選B.1nnaa1nn1nnaa12nnaa21aa1nn12nn21B2-2數列an中,a1=2,an+1=an+n+1,則an=.答案答案222nn解析解析由條件知an+1-an=n+1,則n2時,an=(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+(an-an-1)+a1=(2+3+4+n)+2=,又當n=1時,a1=2符合上式,an=.222nn222nn222nn典例典例3(1)已知數列an的首項為2,且數列an滿足an+1=,數列an的前n項和為Sn,則S2016為()A.504B.588C.-588D.-504(2)設等比數列an滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2an的最大值為.11nnaa考點三數列的性質考點三數列的性質答案答案(1)C(2)64解析解析(1)a1=2,an+1=,a2=,a3=-,a4=-3,a5=2,數列an是以4為周期的數列,且a1+a2+a3+a4=-,20164=504,S2016=504=-588,故選C.(2)設an的公比為q,于是a1(1+q2)=10,a1(q+q3)=5,聯(lián)立解得a1=8,q=,11nnaa1312767612an=24-n,a1a2an=23+2+1+(4-n)=26=64.a1a2an的最大值為64.217222nn21749()2282n方法技巧方法技巧(1)解決數列的單調性問題可用以下三種方法:用作差比較法,根據an+1-an的符號進行判斷.用作商比較法,根據(an中各項都同號)與1的大小關系進行判斷.結合相應函數的圖象直觀判斷.(2)解決數列周期性問題的方法:先根據已知條件求出數列的前幾項,確定數列的周期,再根據周期求值.(3)數列的最值問題可以利用數列的單調性或求函數最值的方法求解.1nnaa3-1已知數列an的前n項和Sn=1-5+9-13+17-21+(-1)n-1(4n-3),則S11=()A.-21B.-19C.19D.21答案答案DS11=-45+(-1)11-1(411-3)=-20+41=21.D