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穿針引線法
釋義:“數(shù)軸標(biāo)根法”又稱“”或“穿針引線法”。
準(zhǔn)確的說,應(yīng)該叫做“序軸標(biāo)根法”。序軸:省去原點和單位,只表示數(shù)的大小的數(shù)軸。序軸上標(biāo)出的兩點中,左邊的點表示的數(shù)比右邊的點表示的數(shù)小。
當(dāng)高次不等式f(x)>0(或<0)的左邊整式、分式不等式φ(x)/h(x)>0(或<0)的左邊分子、分母能分解成若干個一次因式的積(x-a1)(x-a2)…(x-an)的形式,可把各因式的根標(biāo)在數(shù)軸上,形成若干個區(qū)間,最右端的區(qū)間f(x)、 φ(x)/h(x)的值必為正值,從右往左通常為正值、負值依次相間,這種解不等式的方法稱為序軸標(biāo)根法。
為了形象地體
2、現(xiàn)正負值的變化規(guī)律,可以畫一條浪線從右上方依次穿過每一根所對應(yīng)的點,穿過最后一個點后就不再變方向,這種畫法俗稱“穿針引線法“。
使用步驟:
第一步:通過不等式的諸多性質(zhì)對不等式進行移項,使得右側(cè)為0。(注意:一定要保證x前的為)
例如:將x^3-2x^2-x+2>0化為(x-2)(x-1)(x+1)>0
第二步:換號。將不等號換成等號解出所有根。
例如:(x-2)(x-1)(x+1)=0的根為:x1=2,x2=1,x3=-1
第三步:標(biāo)根。在數(shù)軸上從左到右依次標(biāo)出各根。
例如:-1 1 2
第四步:畫穿根線:以數(shù)軸為標(biāo)準(zhǔn),從“最右根”的右上方穿過根,往左下畫線,然后又穿過“次右
3、根”上去,一上一下依次穿過各根。
第五步:觀察不等號,如果不等號為“>”,則取數(shù)軸上方,穿根線以內(nèi)的范圍;如果不等號為“<”,則取數(shù)軸下方,穿根線以內(nèi)的范圍。
例如:若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。
在數(shù)軸上標(biāo)根得:-1 1 2
畫穿根線:由右上方開始穿根。
因為不等號為“>”則取數(shù)軸上方,穿根線以內(nèi)的范圍。即:-12
注意:一、重根時,奇穿偶不穿
出現(xiàn)時,機械地“穿針引線”
例2 解不等式(x+1)(x-1)^2(x-4)^3<0
解 將三個根-1、1、4標(biāo)在數(shù)軸上,
原不等式的解集為{x|x<-1或1
4、不加分析地、機械地“穿針引線”。出現(xiàn)幾個相同的根時,所畫的浪線遇到“偶次”點(即偶數(shù)個相同根所對應(yīng)的點)不能過數(shù)軸,仍在數(shù)軸的同側(cè)折回,只有遇到“奇次”點(即奇數(shù)個相同根所對應(yīng)的點)才能穿過數(shù)軸,正確的解法如下:
解 將三個根-1、1、4標(biāo)在數(shù)軸上,畫出浪線圖來穿過各根對應(yīng)點,遇到x=1的點時浪線不穿過數(shù)軸,仍在數(shù)軸的同側(cè)折回;遇到x=4的點才穿過數(shù)軸,于是,可得到不等式的解集
{x|-1
5、籍口訣:或“自上而下,從右到左,奇穿偶不穿”(也可以這樣記憶:“自上而下,自右而左,奇穿偶回” 或“奇穿偶連”)。
二、x系數(shù)必須為正
出現(xiàn)形如(a-x)的一次因式時,匆忙地“穿針引線”。
例1 解不等式x(3-x)(x+1)(x-2)>0。
解 x(3-x)(x+1)(x-2)>0,將各根-1、0、2、3依次標(biāo)在數(shù)軸上,由圖1可得原不等式的解集為{x|x<-1或03}。
事實上,只有將因式(a-x)變?yōu)椋▁-a)的形式后才能用序軸標(biāo)根法,正確的是:
解 原不等式變形為x(x-3)(x+1)(x-2)<0,將各根-1、0、2、3依次標(biāo)在數(shù)軸上,由圖1,原不等式的解集為
6、{x|-10
解 原不等式為x(x+1)(x-2)(x-1)(x^2+x+1)>0,有些同學(xué)同解變形到這里時,認(rèn)為不能用序軸標(biāo)根法了,因為序軸標(biāo)根法指明要分解成一次的積,事實上,根據(jù)這個二次因式的將其消去,再運用序軸標(biāo)根法即可。
解 原不等式等價于
x(x+1)(x-2)(x-1)(x^2+x+1)>0,
∵ x^2+x+1>0對一切x恒成立,
∴ x(x-1)(x+1)(x-2)>0,由圖4可得原不等式的為{x|x<-1或02}
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