新編高考數(shù)學理一輪資源庫 第4章學案20

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1、新編高考數(shù)學復習資料 學案20 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式 導學目標: 1.會用向量數(shù)量積推導出兩角差的余弦公式.2.能利用兩角差的余弦公式導出兩角差的正弦、正切公式.3.能利用兩角差的余弦公式導出兩角和的正弦、余弦、正切公式.4.熟悉公式的正用、逆用、變形應用. 自主梳理 1.(1)兩角和與差的余弦 cos(α+β)=____________________________________, cos(α-β)=____________________________________. (2)兩角和與差的正弦 sin(α+β)=____________________

2、_________________, sin(α-β)=_____________________________________. (3)兩角和與差的正切 tan(α+β)=_____________________________________, tan(α-β)=_____________________________________. (α,β,α+β,α-β均不等于kπ+,k∈Z) 其變形為: tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β), tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β). 2.輔助角公式 asin

3、 α+bcos α=sin(α+φ), 其中角φ稱為輔助角. 自我檢測 1.cos 43°cos 77°+sin 43°cos 167°的值為________. 2.已知tan(α+β)=3,tan(α-β)=5,則tan 2α=________. 3.cos+sin=________. 4.(1+tan 17°)(1+tan 18°)(1+tan 27°)(1+tan 28°)的值是________. 5.已知cos+sin α=,則sin的值是________. 探究點一 給角求值問題(三角函數(shù)式的化簡、求值) 例1 求值: (1)[2sin 50°+sin 10°

4、(1+tan 10°)]; (2)sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-·cos(θ+15°). 變式遷移1 求值:(1); (2)tan(-θ)+tan(+θ)+tan(-θ)tan(+θ). 探究點二 給值求值問題(已知某角的三角函數(shù)值,求另一角的三角函數(shù)值) 例2 已知0<β<<α<,cos=,sin=,求sin(α+β)的值. 變式遷移2 (2010·廣州高三二模)已知tan=2,tan β=. (1)求tan α的值; (2)求的值. 探究點三 給值求角問題(已知某角的三角函數(shù)值,求另一角的值)

5、 例3 已知0<α<<β<π,tan =,cos(β-α)=. (1)求sin α的值; (2)求β的值. 變式遷移3 若sin A=,sin B=,且A、B均為鈍角,求A+B的值. 轉(zhuǎn)化與化歸思想 例 (14分)已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),|a-b|=. (1)求cos(α-β)的值; (2)若-<β<0<α<,且sin β=-,求sin α的值. 【答題模板】 解 (1)∵|a-b|=,∴a2-2a·b+b2=.[2分] 又∵a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),∴a

6、2=b2=1, a·b=cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β),[4分] 故cos(α-β)===.[7分] (2)∵-<β<0<α<,∴0<α-β<π. ∵cos(α-β)=,∴sin(α-β)=.[9分] 又∵sin β=-,-<β<0,∴cos β=.[11分] 故sin α=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β =×+×=.[14分] 【突破思維障礙】 本題是三角函數(shù)問題與向量的綜合題,唯一一個等式條件|a-b|=,必須從這個等式出發(fā),利用向量知識化簡再結(jié)合兩角差的余弦公式可求第(1)問,在第(2)問中

7、需要把未知角向已知角轉(zhuǎn)化再利用角的范圍來求,即將α變?yōu)?α-β)+β. 本節(jié)主要應用轉(zhuǎn)化與化歸思想,即異角化同角.未知角向已知角轉(zhuǎn)化,非特殊角向特殊角轉(zhuǎn)化. 【易錯點剖析】 |a-b|平方逆用及兩角差的余弦公式是易錯點,把未知角轉(zhuǎn)化成已知角并利用角的范圍確定三角函數(shù)符號也是易錯點. 1.轉(zhuǎn)化思想是實施三角變換的主導思想,變換包括:函數(shù)名稱變換,角的變換,“1”的變換,和積變換. 2.變換則必須熟悉公式.分清和掌握哪些公式會實現(xiàn)哪種變換,也要掌握各個公式的相互聯(lián)系和適用條件. 3.恒等變形前需已知式中角的差異,函數(shù)名稱的差異,運算結(jié)構(gòu)的差異,尋求聯(lián)系,實現(xiàn)轉(zhuǎn)化. 4.基本技巧:

8、切割化弦,異名化同,異角化同或盡量減少名稱、角數(shù). (滿分:90分) 一、填空題(每小題6分,共48分) 1.已知a∈(-,0),sin α=-,則tan(α+)=______________. 2.(2011·鹽城模擬)已知cos(-α)=,則sin2(α-)-cos(+α)的值是________. 3.(2010·東北育才中學一模)已知α、β均為銳角,且tan β=,則tan(α+β)=________. 4.函數(shù)y=sin(-x)+cos(-x)的最大值為________. 5.求值:=________. 6.在△ABC中,3sin A+4cos B=6,4sin B+3

9、cos A=1,則C的大小為________. 7.函數(shù)f(x)=asin(x+)+3sin(x-)是偶函數(shù),則a=________. 8.已知tan α、tan β是方程x2+3x+4=0的兩根,且α、β∈,則tan(α+β)=__________,α+β的值為________. 二、解答題(共42分) 9.(14分)(1)已知α∈,β∈且sin(α+β)=,cos β=-.求sin α; (2)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=,tan β=-,求2α-β的值. 10.(14分)(2010·四川)(1)①證明兩角和的余弦公式C(α+β):cos(α+β

10、)=cos αcos β-sin αsin β;②由C(α+β)推導兩角和的正弦公式S(α+β):sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β. (2)已知△ABC的面積S=,·=3,且cos B=,求cos C. 11.(14分)(2010·濟南高三三模)設函數(shù)f(x)=a·b,其中向量a=(2cos x,1),b=(cos x,sin 2x),x∈R. (1)若函數(shù)f(x)=1-,且x∈,求x; (2)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間,并在給出的坐標系中畫出y=f(x)在區(qū)間[0,π]上的圖象. 答案 自主梳理 1.(1)co

11、s αcos β-sin αsin β cos αcos β+sin αsin β (2)sin αcos β+cos αsin β sin αcos β-cos αsin β (3)  自我檢測 1.- 2.- 3. 4.4 5.- 課堂活動區(qū) 例1 解題導引 在三角函數(shù)求值的問題中,要注意“三看”口訣,即(1)看角,把角盡量向特殊角或可計算的角轉(zhuǎn)化,合理拆角,化異為同;(2)看名稱,把算式盡量化成同一名稱或相近的名稱,例如把所有的切都轉(zhuǎn)化為弦,或把所有的弦都轉(zhuǎn)化為切;(3)看式子,看式子是否滿足三角函數(shù)的公式.如果滿足則直接使用,如果不滿足需轉(zhuǎn)化一下角或轉(zhuǎn)換一下名稱,就可以使用

12、. 解 (1)原式 =·sin 80° =·sin 80° =·cos 10° =·cos 10° =2··cos 10° =·cos 10°=2sin 60°=2×=. (2)原式=sin[(θ+45°)+30°]+cos(θ+45°)-·cos[(θ+45°)-30°] =sin(θ+45°)+cos(θ+45°)+cos(θ+45°)-cos(θ+45°)-sin(θ+45°)=0. 變式遷移1 解 (1)原式= ===. (2)原式=tan[(-θ)+(+θ)][1-tan(-θ)·tan(+θ)]+tan(-θ)tan(+θ)=. 例2 解題導引 對于給值求

13、值問題,即由給出的某些角的三角函數(shù)的值,求另外一些角的三角函數(shù)值,關(guān)鍵在于“變角”,使“所求角”變?yōu)椤耙阎恰?,若角所在象限沒有確定,則應分類討論.應注意公式的靈活運用,掌握其結(jié)構(gòu)特征,還要學會拆角、拼角等技巧. 解 cos=sin=, ∵0<β<<α<,∴<+α<π,<+β<π. ∴cos=-=-, cos=-=-. ∴sin[π+(α+β)]=sin =sincos+cossin =×-×=-.∴sin(α+β)=. 變式遷移2 解 (1)由tan=2,得=2, 即1+tan α=2-2tan α,∴tan α=. (2) = == =-tan(α-β)=-=-=

14、. 例3 解題導引 (1)通過求角的某種三角函數(shù)值來求角,在選取函數(shù)時,遵循以下原則: ①已知正切函數(shù)值,選正切函數(shù); ②已知正、余弦函數(shù)值,選正弦或余弦函數(shù);若角的范圍是,選正、余弦皆可;若角的范圍是(0,π),選余弦較好;若角的范圍為,選正弦較好. (2)解這類問題的一般步驟: ①求角的某一個三角函數(shù)值; ②確定角的范圍; ③根據(jù)角的范圍寫出所求的角. 解 (1)∵tan =, ∴sin α=sin=2sin cos ====. (2)∵0<α<,sin α=,∴cos α=. 又0<α<<β<π,∴0<β-α<π. 由cos(β-α)=,得sin(β-α)=.

15、 ∴sin β=sin[(β-α)+α]=sin(β-α)cos α+cos(β-α)sin α =×+×==. 由<β<π得β=π.(或求cos β=-,得β=π) 變式遷移3 解 ∵A、B均為鈍角且sin A=,sin B=,∴cos A=-=-=-, cos B=-=-=-. ∴cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B =-×-×=.① 又∵

16、 解析 兩式平方相加得9+16+24sin(A+B)=37, sin(A+B)=sin C=,所以C=或π. 如果C=π,則0, 3cos A>1與4sin B+3cos A=1矛盾, 故C=. 7.-3 解析 f(x)=asin(x+)+3sin(x-) =asin x+acos x+(sin x-cos x)=(a+3)sin x+(a-3)cos x,因為是偶函數(shù),則f(-x)=f(x),代入得:(a+3)sin x=0,所以a=-3. 8.?。? 解析  ∴tan(α+β)==, 又α、β∈, ∴α、β∈,-π<α+β<0,α+β=-.

17、 9.解 (1)∵β∈,cos β=-, ∴sin β=.………………………………………………………………………………(2分) 又∵0<α<,<β<π, ∴<α+β<,又sin(α+β)=, ∴cos(α+β)=- =- =-,………………………………………………………………(5分) ∴sin α=sin[(α+β)-β] =sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β =·-·=.……………………………………………………………(7分) (2)∵tan α=tan[(α-β)+β] ===,……………………………………………………(10分) ∴tan(2α-β)

18、=tan[α+(α-β)] ===1.……………………………………………………(12分) ∵α,β∈(0,π),tan α=<1,tan β=-<0, ∴0<α<,<β<π, ∴-π<2α-β<0,∴2α-β=-.………………………………………………………(14分) 10.(1)①證明 如圖,在直角坐標系xOy內(nèi)作單位圓O,并作出角α、β與-β,使角α的始邊為Ox,交⊙O于點P1,終邊交⊙O于點P2;角β的始邊為OP2,終邊交⊙O于點P3;角-β的始邊為OP1,終邊交⊙O于點P4. 則P1(1,0),P2(cos α,sin α), P3(cos(α+β),sin(α+β))

19、, P4(cos(-β),sin(-β)),…………………………………………………………………(2分) 由P1P3=P2P4及兩點間的距離公式, 得[cos(α+β)-1]2+sin2(α+β) =[cos(-β)-cos α]2+[sin(-β)-sin α]2, 展開并整理得:2-2cos(α+β)=2-2(cos αcos β-sin αsin β),∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β.………………………………………………………………………………………(4分) ②解 由①易得,cos=sin α,sin=cos α. sin(α+β)=cos=c

20、os =coscos(-β)-sinsin(-β) =sin αcos β+cos αsin β. ∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.……………………………………………………(7分) (2)解 由題意,設△ABC的角B、C的對邊分別為b、c. 則S=bcsin A=,·=bccos A=3>0, ∴A∈,cos A=3sin A,…………………………………………………………(10分) 又sin2A+cos2A=1,∴sin A=,cos A=, 由cos B=,得sin B=. ∴cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B=.…

21、………………………………………(12分) 故cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-.……………………………………(14分) 11.解 (1)依題設得f(x)=2cos2x+sin 2x =1+cos 2x+sin 2x=2sin+1. 由2sin+1=1-,得sin=-.……………………………………(3分) ∵-≤x≤,∴-≤2x+≤. ∴2x+=-,即x=-.………………………………………………………………(6分) (2)-+2kπ≤2x+≤+2kπ (k∈Z), 即-+kπ≤x≤+kπ (k∈Z), 得函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為 (k∈Z).……………………………………(10分) 列表: x 0 π y 2 3 2 0 -1 0 2 描點連線,得函數(shù)圖象如圖所示: ……………………………(14分)

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