新編一輪優(yōu)化探究理數(shù)蘇教版練習(xí)：第八章 第五節(jié)　空間向量及其運(yùn)算 Word版含解析

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1、 一、填空題 1．若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，且a∥b，則x＝______，y＝________. 解析：若a∥b，則＝＝， ∴x＝，y＝－. 答案：?。? 2．在下列命題中： ①若向量a，b共線，則向量a，b所在的直線平行； ②若三個(gè)向量a，b，c兩兩共面，則向量a，b，c共面； ③已知空間的三個(gè)向量a，b，c，則對(duì)于空間的任意一個(gè)向量p總存在實(shí)數(shù)x，y，z使得p＝x a＋y b＋z c. 其中正確命題的個(gè)數(shù)是________． 解析：a與b共線，a，b所在直線也可能重合，故①不正確；三個(gè)向量a，b，c中任兩個(gè)一定共面，但三個(gè)卻不一定共面，故②不正

2、確；只有當(dāng)a，b，c不共面時(shí)，空間任意一向量p才能表示為p＝x a＋y b＋z c，故③不正確，綜上可知四個(gè)命題中正確的個(gè)數(shù)為0. 答案：0 3．若{a，b，c}為空間的一組基底，則下列各項(xiàng)中，能構(gòu)成基底的一組向量是________． ①a，a＋b，a－b?、赽，a＋b，a－b ③c，a＋b，a－b　④a＋b，a－b，a＋2b 解析：若c、a＋b、a－b共面， 則c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b， 則a、b、c為共面向量，此與{a，b，c}為空間向量的一組基底矛盾，故c，a＋b，a－b可構(gòu)成空間向量的一組基底． 答案：③ 4．已知空間四邊形ABCD中

3、，M、G分別為BC、CD的中點(diǎn)，則＋(＋)等于________． 解析：如圖所示： (＋)＝，＋＝. 答案： 5．正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，點(diǎn)M在上且＝，N為B1B的中點(diǎn)，則||為________． 解析：以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz， 則A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N(a，a，)． 設(shè)M(x，y，z)， ∵點(diǎn)M在上且＝， ∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)， ∴x＝a，y＝，z＝. 得M(，，)， ∴||＝ ＝a. 答案：a 6．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且a與b的夾角的余弦

4、值為，則λ等于________． 解析：由已知得＝＝， ∴8＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝. 答案：－2或 7．已知A(－1，－2,6)，B(1,2，－6)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則向量與的夾角是________． 解析：設(shè)與的夾角為θ，則cos θ＝－1知θ＝π. 答案：π 8．已知ABCD為平行四邊形，且A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為________． 解析：設(shè)D(x，y，z)，由題設(shè)知，＝(－2，－6，－2)， ＝(3－x,7－y，－5－z)， 又＝，所以，所以， 故D(5,13，－3)． 答案：(5,13，－3) 9．在空

5、間四邊形ABCD中，·＋·＋·＝________. 解析：設(shè)＝b，＝c，＝d， 則＝d－c，＝d－b，＝c－b. 原式＝b·(d－c)＋d·(c－b)－c(d－b)＝0. 答案：0 二、解答題 10．已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)． (1)求|2a＋b|； (2)在直線AB上是否存在一點(diǎn)E，使得⊥b? 解析：(1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)， 故|2a＋b|＝＝5. (2)假設(shè)存在一點(diǎn)E滿足題意，即＝t(t≠0)． ＝＋＝＋t＝(－3，－1,4)＋t(1，－1

6、，－2)＝(－3＋t，－1－t,4－2t)． 若⊥b，則·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝，因此存在點(diǎn)E，使得⊥b， 此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(－，－，)． 11．證明三個(gè)向量a＝－e1＋3e2＋2e3，b＝4e1－6e2＋2e3，c＝－3e1＋12e2＋11e3共面． 證明：若e1、e2、e3共面，顯然a、b、c共面； 若e1、e2、e3不共面，設(shè)c＝λa＋μb， 即－3e1＋12e2＋11e3＝λ(－e1＋3e2＋2e3)＋μ(4e1－6e2＋2e3)， 整理得－3e1＋12e2＋11e3＝(4μ－λ)e1＋(3λ－6μ)e2＋(2λ＋2μ)e3

7、， 由空間向量基本定理可知解得 即c＝5a＋b，則三個(gè)向量共面． 12．已知△ABC的頂點(diǎn)A(1,1,1)，B(2,2,2)，C(3,2,4)，試求： (1)△ABC的重心坐標(biāo)； (2)△ABC的面積； (3)△ABC的AB邊上的高． 解析：(1)設(shè)重心坐標(biāo)為(x0，y0，z0)， 則x0＝＝2，y0＝＝， z0＝＝， ∴重心坐標(biāo)為(2，，)． (2)＝(1,1,1)，＝(2,1,3)，||＝， ||＝，·＝2＋1＋3＝6， ∴cos A＝cos 〈，〉＝＝， ∴sin A＝ ＝. ∴S△ABC＝||·||·sin A ＝×××＝. (3)設(shè)AB邊上的高為CD， 則S△ABC＝||·||，∴||＝＝. 故△ABC的AB邊上的高是.