新編人教版高中數(shù)學(xué)選修11:3.4 生活中的優(yōu)化問題舉例 課時(shí)提升作業(yè)二十五 3.4 含解析
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1、新編人教版精品教學(xué)資料
課時(shí)提升作業(yè)(二十五)
生活中的優(yōu)化問題舉例
(25分鐘 60分)
一、選擇題(每小題5分,共25分)
1.已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位:萬元)與年產(chǎn)量x(單位:萬件)的函數(shù)關(guān)系式為y=-13x3+81x-234,則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為 ( )
A.13萬件 B.11萬件
C.9萬件 D.7萬件
【解析】選C.y′=-x2+81,令導(dǎo)數(shù)y′=-x2+81>0,解得0
2、.圓柱形金屬飲料罐的體積一定,要使生產(chǎn)這種金屬飲料罐所用的材料最省,它的高與底面半徑比為 ( ) A.2∶1 B.1∶2 C.1∶4 D.4∶1 【解題指南】設(shè)出高及底面半徑,當(dāng)飲料罐用料最省時(shí),用體積表示出高及半徑后求比值. 【解析】選A. 設(shè)圓柱形飲料罐的高為h,底面半徑為R, 則表面積S=2πRh+2πR2.由V=πR2h, 得h=VπR2,則S(R)=2πRVπR2+2πR2 =2VR+2πR2,令S′(R)=-2VR2+4πR=0, 解得R=3V2π, 從而h=VπR2=Vπ3V2π2=34Vπ=23V2π, 即h=2R,因?yàn)镾(R)只
3、有一個(gè)極值,所以它是最小值,當(dāng)飲料罐的高與底面直徑相等,即h∶R=2∶1時(shí)所用材料最省.
3.已知球O的半徑為R,圓柱內(nèi)接于球,當(dāng)內(nèi)接圓柱的體積最大時(shí),高等
于 ( )
A.233R B.33R
C.32R D.3R
【解析】選A.設(shè)球內(nèi)接圓柱的高為h,圓柱底面半徑為r,
則h2+(2r)2=(2R)2,得r2=R2-14h2(0
4、23R3 5、時(shí),
V′(x)<0,此時(shí)V(x)單調(diào)遞減所以x=40是V(x)的極大值,即當(dāng)箱子的體積最大時(shí),箱子底面邊長(zhǎng)為40.
5.用長(zhǎng)為90cm,寬為48 cm的長(zhǎng)方形鐵皮做一個(gè)無蓋的容器,先在四角分別截去一個(gè)大小相同的小正方形,然后把四邊翻轉(zhuǎn)90°角,再焊接而成(如圖),當(dāng)容器的體積最大時(shí),該容器的高為 ( )
A.8cm B.9cm
C.10cm D.12cm
【解析】選C.設(shè)容器的高為xcm,容器的體積為V(x)cm3,
則V(x)=(90-2x)(48-2x)x
=4x3-276x2+4320x(0 6、4320,
由12x2-552x+4320=0得x=10或x=36(舍),
因?yàn)楫?dāng)0 7、6πR2=0,
所以πR(l-6R)=0,
所以l-6R=0,所以R=,
當(dāng)R<時(shí)V′>0,R>時(shí),V′<0,故當(dāng)R=時(shí),V取極大值.
故當(dāng)R=時(shí),圓柱體積有最大值,圓柱體積的最大值是:V=πR2-2πR3=.
答案:
7.統(tǒng)計(jì)表明:某種型號(hào)的汽車在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量y(升)關(guān)于行駛速度x(千米/小時(shí))的函數(shù)解析式可以表示為y=1128 000x3-380x+8,x∈(0,120],且甲、乙兩地相距100千米,則當(dāng)汽車以 千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí),從甲地到乙地耗油量最少.
【解析】當(dāng)速度為x千米/小時(shí)時(shí),汽車從甲地到乙地行駛了100x小時(shí),設(shè)耗油量為h(x)升,
8、依題意得h(x)=1128 000x3-380x+8·100x
=11 280x2+800x-154(0 9、速行駛到乙地.已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本由固定成本和可變成本組成,固定成本為160元,可變成本為16 400v3元.為使全程運(yùn)輸成本最小,汽車應(yīng)以 速度行駛.
【解析】設(shè)全程運(yùn)輸成本為y元,由題意,得
y=240v160+16 400v3=240160v+16 400v2,v>0,
y′=240-160v2+26 400v.
令y′=0,得v=80.當(dāng)v>80時(shí),y′>0;
當(dāng)0 10、100件這樣的產(chǎn)品單價(jià)為50萬元,產(chǎn)量定為
件時(shí)總利潤最大.
【解析】設(shè)產(chǎn)品單價(jià)為p,則有p2=kx,將x=100,p=50代入,得k=250000,所以p=500x.
設(shè)總利潤為L(zhǎng),L=L(x)
=500xx-1 200+275x3(x>0),
即L(x)=500xx-1200-275x3,
L′(x)=250x-2x225,
令L′(x)=0,即250x-2x225=0,得x=25,
因?yàn)閤=25是函數(shù)L(x)在(0,+∞)上唯一的極值點(diǎn),且是極大值點(diǎn),從而是最大值點(diǎn).
答案:25
三、解答題(每小題10分,共20分)
9.(2015·泰安高二檢測(cè))某工廠共有 11、10臺(tái)機(jī)器,生產(chǎn)一種儀器元件,由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平等因素限制,會(huì)產(chǎn)生一定數(shù)量的次品.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道,每臺(tái)機(jī)器產(chǎn)生的次品數(shù)P(萬件)與每臺(tái)機(jī)器的日產(chǎn)量x(萬件)(4≤x≤12)之間滿足關(guān)系:P=0.1x2-3.2lnx+3.已知每生產(chǎn)1萬件合格的元件可以盈利2萬元,但每產(chǎn)生1萬件次品將虧損1萬元.(利潤=盈利-虧損)
(1)試將該工廠每天生產(chǎn)這種元件所獲得的利潤y(萬元)表示為x的函數(shù).
(2)當(dāng)每臺(tái)機(jī)器的日產(chǎn)量x(萬件)為多少時(shí)所獲得的利潤最大,最大利潤為多少?
【解析】(1)由題意得,所獲得的利潤為y=10[2(x-P)-P]=20x-3x2+96lnx-90(4≤x≤12).
( 12、2)由(1)知,y′=-6x2+20x+96x=-2(3x+8)(x-6)x
當(dāng)4≤x<6時(shí),y′>0,函數(shù)在[4,6]上為增函數(shù);當(dāng)6 13、中4 14、+2(4 15、體積.
【解析】設(shè)長(zhǎng)方體的寬為xm,則長(zhǎng)為2xm,高為(4.5-3x)m.
由x>0,4.5-3x>0,解得0 16、積最大,最大體積為3m3.
(20分鐘 40分)
一、選擇題(每小題5分,共10分)
1.如圖所示,半徑為2的☉M切直線AB于點(diǎn)O,射線OC從OA出發(fā)繞著O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OB.旋轉(zhuǎn)過程中,OC交☉M于點(diǎn)P.記∠PMO為x,弓形PnO的面積為S=f(x),那么f(x)的圖象是下圖中的 ( )
【解析】選A.由所給的圖示可得,當(dāng)0 17、積先是增加得越來越快,然后是增加得越來越慢,直到增加率為0,由此可以排除D,故選A.
2.將邊長(zhǎng)為1m的正三角形薄片,沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊,其中一塊是梯形,記S=(梯形的周長(zhǎng))2梯形的面積,則S的最小值是 ( )
A.3233 B.1633 C.833 D.433
【解題指南】設(shè)剪成的小正三角形的邊長(zhǎng)為x,用x表示出梯形周長(zhǎng)、梯形面積后代入求最值.
【解析】選A.設(shè)剪成的小正三角形的邊長(zhǎng)為x,則S=(3-x)212·(x+1)·32·(1-x)=43·(3-x)21-x2(0 18、2x-6)·(1-x2)-(3-x)2·(-2x)(1-x2)2
=43·-2(3x-1)(x-3)(1-x2)2.
由S′(x)=0,0 19、g(t)=f(t)t=t+12t+10(0 20、則根據(jù)題意和力的平衡關(guān)系,得
xF(x)=49×1+2x×x2,即F(x)=49x+x(x>0).
令F′(x)=-49x2+1=x2-49x2=0(x>0),得惟一的極值點(diǎn)x=7;
因?yàn)樽钍×Φ母軛U長(zhǎng)確實(shí)存在,所以當(dāng)杠桿長(zhǎng)為7m時(shí)最省力.
答案:7m
三、解答題(每小題10分,共20分)
5.時(shí)下,網(wǎng)校教學(xué)越來越受到廣大學(xué)生的喜愛,它已經(jīng)成為學(xué)生們課外學(xué)習(xí)的一種趨勢(shì),假設(shè)某網(wǎng)校的套題每日的銷售量y(單位:千套)與銷售價(jià)格x(單位:元/套)滿足關(guān)系式y(tǒng)=mx-2+4(x-6)2,其中2 21、)假設(shè)網(wǎng)校的員工工資,辦公等所有開銷折合為每套題2元(只考慮銷售出的套數(shù)),試確定銷售價(jià)格x的值,使網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大.(保留1位小數(shù))
【解析】(1)因?yàn)閤=4時(shí),y=21,
代入關(guān)系式y(tǒng)=mx-2+4(x-6)2,
得m2+16=21,解得m=10.
(2)由(1)可知,套題每日的銷售量y=10x-2+4(x-6)2,
所以每日銷售套題所獲得的利潤
f(x)=(x-2)10x-2+4(x-6)2=10+4(x-6)2(x-2)=4x3-56x2+240x-278(2 22、,
令f′(x)=0,得x=103,或x=6(舍去)且在2,103上,f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;在103,6上,f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,
所以x=103是函數(shù)f(x)在(2,6)內(nèi)的極大值點(diǎn),也是最大值點(diǎn),
所以當(dāng)x=103≈3.3時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值.
故當(dāng)銷售價(jià)格為3.3元/套時(shí),網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大.
6.(2015·江蘇高考)某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路,為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀,計(jì)劃修建一條連接兩條公路的山區(qū)邊界的直線型公路,記兩條相互垂直的公路為l1,l2,山區(qū)邊界曲線為C,計(jì)劃修建的公路為l,如圖所示,M,N為C的兩 23、個(gè)端點(diǎn),測(cè)得點(diǎn)M到l1,l2的距離分別為5千米和40千米,點(diǎn)N到l1,l2的距離分別為20千米和2.5千米,以l1,l2所在的直線分別為y,x軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy,假設(shè)曲線C符合函數(shù)y=ax2+b(其中a,b為常數(shù))模型.
(1)求a,b的值.
(2)設(shè)公路l與曲線C相切于P點(diǎn),P的橫坐標(biāo)為t.
①請(qǐng)寫出公路l長(zhǎng)度的函數(shù)解析式f(t),并寫出其定義域;
②當(dāng)t為何值時(shí),公路l的長(zhǎng)度最短?求出最短長(zhǎng)度.
【解析】(1)由題意知,M點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,40),N點(diǎn)的坐標(biāo)為(20,2.5),代入曲線C的方程y=ax2+b可得:40=a52+b,2.5=a202+b.解得a=1 00 24、0,b=0.
(2)①由(1)知曲線C的方程為y=1 000x2(5≤x≤20),y′=-2 000x3,所以y′|x=t=-2 000t3即為l的斜率.又當(dāng)x=t時(shí),y=1 000t2,所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為t,1 000t2,所以l的方程為y-1 000t2=-2 000t3(x-t).令x=0,得y=3 000t2;令y=0,得x=32t.所以f(t)=32t2+3 000t22,其中5≤t≤20;
②由①知f(t)=32t2+3 000t22,其中5≤t≤20.令g(t)=32t2+3 000t22=
94t2+9×106t4,所以g′(t)=92t-4×9×106t5=92·t6-8 25、×106t5=92·t6-(102)6t5.因?yàn)?≤t≤20,令g′(t)<0,得5≤t<102;令g′(t)=0,得t=102;g′(t)>0,得102 26、%.
(1)設(shè)獎(jiǎng)勵(lì)方案的函數(shù)模型為f(x),試用數(shù)學(xué)語言表述公司對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)方案的函數(shù)模型f(x)的基本要求.
(2)下面是公司預(yù)設(shè)的兩個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)方案的函數(shù)模型:
①f(x)=x150+2;②f(x)=4lgx-2.
試分別分析這兩個(gè)函數(shù)模型是否符合公司要求.
【解析】(1)由題意知,公司對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)方案的函數(shù)模型f(x)的基本要求是:
當(dāng)x∈[10,1000]時(shí),
①f(x)是增函數(shù);②f(x)≥1恒成立;③f(x)≤x5恒成立,
(2)①對(duì)于函數(shù)模型f(x)=x150+2:
當(dāng)x∈[10,1000]時(shí),f(x)是增函數(shù),
則f(x)≥1顯然恒成立,
而若使函數(shù)f(x)=x150+2≤ 27、x5在[10,1000]上恒成立,整理即29x≥300恒成立,而(29x)min=290,所以f(x)≤x5不恒成立.
故該函數(shù)模型不符合公司要求.
②對(duì)于函數(shù)模型f(x)=4lgx-2:
當(dāng)x∈[10,1000]時(shí),f(x)是增函數(shù),
則f(x)min=f(10)=4lg10-2=2>1.
所以f(x)≥1恒成立.
設(shè)g(x)=4lgx-2-x5,則g′(x)=4lgex-15.
當(dāng)x≥10時(shí),g′(x)=4lgex-15≤2lge-15=lge2-15<0,
所以g(x)在[10,1000]上是減函數(shù),
從而g(x)≤g(10)=4lg10-2-2=0.
所以4lgx-2-x5≤0,即4lgx-2≤x5,所以f(x)≤x5恒成立.
故該函數(shù)模型符合公司要求.
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