新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫 第13章學(xué)案5

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 學(xué)案65 隨機變量的均值和方差 導(dǎo)學(xué)目標: 1.理解隨機變量均值、方差的概念.2.能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差,并能解決一些實際問題. 自主梳理 1.離散型隨機變量的均值與方差 若離散型隨機變量X的概率分布為 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)均值 μ=E(X)=________________________________為隨機變量X的均值或______________,它反映了離散型隨機變量取值的____________. (2)方差 σ2=V(X)=_____

2、____________________________=xpi-μ2為隨機變量X的方差,它刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的______________,其________________________為隨機變量X的標準差,即σ=. 2.均值與方差的性質(zhì) (1)E(aX+b)=________. (2)V(aX+b)=________(a,b為實數(shù)). 3.兩點分布與二項分布的均值、方差 (1)若X服從兩點分布,則E(X)=____,V(X)=____________________________________. (2)若X~B(n,p),則E(X)=____,V(X)=_

3、_______. 自我檢測 1.若隨機變量X的分布列如下表,則E(X)=________. X 0 1 2 3 4 5 P 2x 3x 7x 2x 3x x 2.已知隨機變量X服從二項分布,且E(X)=2.4,V(X)=1.44,則二項分布的參數(shù)n,p的值分別為________和________. 3.(2010·課標全國改編)某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9,現(xiàn)播種了1 000粒,對于沒有發(fā)芽的種子,每粒需要再補種2粒,補種的種子數(shù)記為X,則X的數(shù)學(xué)期望為________. 4.(2011·浙江)某畢業(yè)生參加人才招聘會,分別向甲、乙、丙三個公司投遞了

4、個人簡歷.假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為,得到乙、丙兩公司面試的概率均為p,且三個公司是否讓其面試是相互獨立的,記X為該畢業(yè)生得到面試的公司個數(shù).若P(X=0)=,則隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=________. 5.隨機變量ξ的概率分布如下: ξ -1 0 1 P a b c 其中a,b,c成等差數(shù)列.若E(ξ)=,則V(ξ)=________. 探究點一 離散型隨機變量的期望與方差的求法 例1 袋中有20個大小相同的球,其中記上0號的有10個,記上n號的有n個(n=1,2,3,4).現(xiàn)從袋中任取一球,ξ表示所取球的標號. (1)求ξ的概率分布、期望和

5、方差; (2)若η=aξ+b,E(η)=1,V(η)=11,試求a,b的值. 變式遷移1 編號1,2,3的三位學(xué)生隨意入座編號為1,2,3的三個座位,每位學(xué)生坐一個座位,設(shè)與座位編號相同的學(xué)生的個數(shù)是X. (1)求隨機變量X的概率分布; (2)求隨機變量X的數(shù)學(xué)期望和方差. 探究點二 二項分布的期望與方差 例2 A、B是治療同一種疾病的兩種藥,用若干試驗組進行對比試驗.每個試驗組由4只小白鼠組成,其中2只服用A,另2只服用B,然后觀察療效.若在一個試驗組中,服用A有效的小白鼠

6、的只數(shù)比服用B有效的多,就稱該試驗組為甲類組.設(shè)每只小白鼠服用A有效的概率為,服用B有效的概率為. (1)求一個試驗組為甲類組的概率; (2)觀察3個試驗組,用ξ表示這3個試驗組中甲類組的個數(shù),求ξ的概率分布和數(shù)學(xué)期望. 變式遷移2 (2010·泰州模擬)在一次抗洪搶險中,準備用射擊的方法引爆從橋上游漂流而下的一巨大汽油罐.已知只有5發(fā)子彈備用,且首次命中只能使汽油流出,再次命中才能引爆成功,每次射擊命中率都是,每次命中與否互相獨立. (1)求油罐被引爆的概率; (2)如果引爆或子彈打光則停止射擊,設(shè)射擊次數(shù)為ξ,求ξ的概率分布及ξ的數(shù)學(xué)期望

7、. 探究點三 離散型隨機變量期望與方差的 實際應(yīng)用 例3 購買某種保險,每個投保人每年度向保險公司交納保費a元,若投保人在購買保險的一年度內(nèi)出險,則可以獲得10 000元的賠償金.假定在一年度內(nèi)有10 000人購買了這種保險,且各投保人是否出險相互獨立.已知保險公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金10 000元的概率為1-0.999104. (1)求一投保人在一年度內(nèi)出險的概率p; (2)設(shè)保險公司開辦該項險種業(yè)務(wù)除賠償金外的成本為50 000元,為保證盈利的期望不小于0,求每位投保人應(yīng)交納的最低保費(單位:元).

8、 變式遷移3 (2010·江蘇)某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品.甲產(chǎn)品的一等品率為80%,二等品率為20%;乙產(chǎn)品的一等品率為90%,二等品率為10%.生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品,若是一等品則獲得利潤4萬元,若是二等品則虧損1萬元;生產(chǎn)1件乙產(chǎn)品,若是一等品則獲得利潤6萬元,若是二等品則虧損2萬元.設(shè)生產(chǎn)各件產(chǎn)品相互獨立. (1)記X(單位:萬元)為生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品和1件乙產(chǎn)品可獲得的總利潤,求X的概率分布; (2)求生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所獲得的利潤不少于10萬元的概率. 1.若η=aξ+b,則E(η)=aE(ξ)+b,V(η)=a2V(ξ). 2.若ξ~B(n,p)

9、,則E(ξ)=np,V(ξ)=np(1-p). 3.求離散型隨機變量的期望與方差的常用方法有:(1)已知隨機變量的概率分布求它的期望、方差和標準 差,可直接按定義(公式)求解;(2)已知隨機變量ξ的期望、方差,求ξ的線性函數(shù)η=aξ+b的期望、方差和標準差,可直接用ξ的期望、方差的性質(zhì)求解;(3)如能分析所給隨機變量,是服從常用的分布(如兩點分布、二項分布等),可直接利用它們的期望、方差公式求解. (滿分:90分) 一、填空題(每小題6分,共48分) 1.(2010·福州質(zhì)檢)已知某一隨機變量ξ的概率分布如下,且E(ξ)=6.3,則a的值為________. ξ 4

10、 a 9 P 0.5 0.1 b 2.設(shè)ξ~B(n,p),若有E(ξ)=12,V(ξ)=4,則n、p的值分別為________________. 3.隨機變量X的概率分布為 X 1 2 4 P 0.4 0.3 0.3 則E(5X+4)=________. 4.(2010·成都畢業(yè)班第一次診斷)已知拋物線y=ax2+bx+c (a≠0)的對稱軸在y軸的左側(cè),其中a、b、c∈{-3,-2,-1,0,1,2,3},在這些拋物線中,記隨機變量ξ為“|a-b|的取值”,則ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)=________. 5.(2011·上海)馬老師從課本上抄錄一個隨機變量ξ的

11、概率分布列如下表: x 1 2 3 P(ξ=x) ? ! ? 請小牛同學(xué)計算ξ的數(shù)學(xué)期望.盡管“!”處完全無法看清,且兩個“?”處字跡模糊,但能斷定這兩個“?”處的數(shù)值相同.據(jù)此,小牛給出了正確答案E(ξ)=________. 6.設(shè)離散型隨機變量X的可能取值為1,2,3,4.P(X=k)=ak+b(k=1,2,3,4).又X的均值E(X)=3,則a+b=________. 7.(2010·遼寧改編)兩個實習(xí)生每人加工一個零件,加工為一等品的概率分別為和,兩個零件是否加工為一等品相互獨立,則這兩個零件中恰好有一個一等品的概率為________. 8.(2010·重慶)某

12、籃球隊員在比賽中每次罰球的命中率相同,且在兩次罰球中至多命中一次的概率為,則該隊員每次罰球的命中率為________. 二、解答題(共42分) 9.(14分)(2011·江西)某飲料公司招聘了一名員工,現(xiàn)對其進行一次測試,以便確定工資級別.公司準備了兩種不同的飲料共8杯,其顏色完全相同,并且其中4杯為A飲料,另外4杯為B飲料,公司要求此員工一一品嘗后,從8杯飲料中選出4杯A飲料.若4杯都選對,則月工資定為3 500元;若4杯選對3杯,則月工資定為2 800元;否則月工資定為2 100元.令X表示此人選對A飲料的杯數(shù).假設(shè)此人對A和B兩種飲料沒有鑒別能力. (1)求X的概率分布; (

13、2)求此員工月工資的期望. 10.(14分)(2011·山東)紅隊隊員甲、乙、丙與藍隊隊員A、B、C進行圍棋比賽,甲對A、乙對B、丙對C各一盤.已知甲勝A、乙勝B、丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5.假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨立. (1)求紅隊至少兩名隊員獲勝的概率; (2)用ξ表示紅隊隊員獲勝的總盤數(shù),求ξ的概率分布和數(shù)學(xué)期望E(ξ). 11.(14分)現(xiàn)有甲、乙兩個項目,對甲項目每投資十萬元,一年后利潤是1.2萬元、1.18萬元、1.17萬元的概率分別為、、;已知乙項目的利潤與產(chǎn)品價格的調(diào)整有關(guān),在每次調(diào)整中,價格下降的概率

14、都是p(0

15、+(xn-μ)2pn 平均偏離程度 算術(shù)平方根 2.(1)aE(X)+b (2)a2V(X) 3.(1)p p(1-p) (2)np np(1-p) 自我檢測 1.  2.6 0.4  3.200 4. 解析 由題意知P(X=0)=(1-p)2=,∴p=. 隨機變量X的概率分布為: X 0 1 2 3 P E(X)=0×+1×+2×+3×=. 5. 解析 由 得, 故V(ξ)=(-1-)2·+(0-)2×+(1-)2×=. 課堂活動區(qū) 例1 解題導(dǎo)引 要求期望,需先求出概率分布,要求概率分布,需先求

16、隨機變量取每個值的概率,而求概率離不開常見事件概率的計算方法.第(2)小題注意性質(zhì)E(aξ+b)=aE(ξ)+b,V(aξ+b)=a2V(ξ)的應(yīng)用. 解 (1)ξ的概率分布為 ξ 0 1 2 3 4 P ∴E(ξ)=0×+1×+2×+3×+4×=1.5. V(ξ)=(0-1.5)2×+(1-1.5)2×+(2-1.5)2×+(3-1.5)2×+(4-1.5)2×=2.75. (2)由V(η)=a2V(ξ),得a2×2.75=11,即a=±2. 又E(η)=aE(ξ)+b, 所以當a=2時,由1=2×1.5+b,得b=-2; 當a=-2時,由1=

17、-2×1.5+b,得b=4. ∴或 變式遷移1 解 (1)P(X=0)==; P(X=1)==;P(X=3)==. ∴隨機變量X的概率分布為 X 0 1 3 P (2)E(X)=0×+1×+3×=1. V(X)=(1-0)2×+(1-1)2×+(3-1)2×=1. 例2 解題導(dǎo)引 (1)準確理解事件“甲類組”的含義,把“甲類組”這一復(fù)雜事件用幾個互斥的基本事件的和來表示; (2)第(2)小題首先判斷隨機變量ξ服從二項分布,再求其概率分布和均值. 解 (1)設(shè)Ai表示事件“一個試驗組中,服用A有效的小白鼠有i只”,i=0,1,2, Bi表示事件“一個試驗

18、組中,服用B有效的小白鼠有i只”,i=0,1,2. 依題意有 P(A1)=2××=,P(A2)=×=. P(B0)=×=,P(B1)=2××=. 所求的概率為 P=P(B0A1)+P(B0A2)+P(B1A2) =×+×+×=. (2)ξ的可能值為0,1,2,3,且ξ~B. P(ξ=0)=3=, P(ξ=1)=C××2=, P(ξ=2)=C×2×=, P(ξ=3)=3=. ξ的概率分布為 ξ 0 1 2 3 P 數(shù)學(xué)期望E(ξ)=0×+1×+2×+3×=. 變式遷移2 解 (1)記“油罐被引爆”為事件A,其對立事件為, 則P()=C

19、()()4+()5, ∴P(A)=1-[C()()4+()5]=. 故油罐被引爆的概率為. (2)射擊次數(shù)ξ的可能取值為2,3,4,5, P(ξ=2)=()2=, P(ξ=3)=C×××=, P(ξ=4)=C××()2×=, P(ξ=5)=C×()()3+()4=. 故ξ的概率分布為 ξ 2 3 4 5 P E(ξ)=2×+3×+4×+5×=. 例3 解題導(dǎo)引 各投保人是否出險互相獨立,且出險的概率都是p,投保人中出險人數(shù)ξ~B(104,p),進而利用二項分布的有關(guān)性質(zhì)求解. 解 各投保人是否出險互相獨立,且出險的概率都是p,記投保的10 00

20、0人中出險的人數(shù)為ξ,則ξ~B(104,p). (1)記A表示事件:保險公司為該險種至少支付10 000元賠償金,則發(fā)生當且僅當ξ=0, P(A)=1-P()=1-P(ξ=0)=1-(1-p)104, 又P(A)=1-0.999104,故p=0.001. (2)該險種總收入為10 000a元,支出是賠償金總額與成本的和. 支出10 000ξ+50 000. 盈利η=10 000a-(10 000ξ+50 000), 盈利的期望為E(η)=10 000a-10 000E(ξ)-50 000, 由ξ~B(104,10-3)知, E(ξ)=10 000×10-3, E(η)=10

21、4a-104E(ξ)-5×104 =104a-104×104×10-3-5×104. E(η)≥0?104a-104×10-5×104≥0 ?a-10-5≥0?a≥15(元). 故每位投保人應(yīng)交納的最低保費為15元. 變式遷移3 解 (1)由題意知,X的可能取值為10,5,2,-3. P(X=10)=0.8×0.9=0.72, P(X=5)=0.2×0.9=0.18, P(X=2)=0.8×0.1=0.08, P(X=-3)=0.2×0.1=0.02, 所以X的概率分布為 X 10 5 2 -3 P 0.72 0.18 0.08 0.02 (2)設(shè)生產(chǎn)

22、的4件甲產(chǎn)品中一等品有n(n≤4且n∈N*)件,則二等品有(4-n)件. 由題設(shè)知4n-(4-n)≥10,解得n≥. 又n∈N*,得n=3或n=4. 所以P=C×0.83×0.2+C×0.84=0.819 2. 故所求概率為0.819 2. 課后練習(xí)區(qū) 1.7  2.18,  3.15  4. 5.2 解析 設(shè)“?”處的數(shù)值為x,則“!”處的數(shù)值為1-2x,則 E(ξ)=1·x+2×(1-2x)+3x=x+2-4x+3x=2. 6. 7. 解析 設(shè)事件A:“一個實習(xí)生加工一等品”, 事件B:“另一個實習(xí)生加工一等品”,由于A

23、、B相互獨立,則恰有一個一等品的概率P=P(A)+P(B) =P(A)·P()+P()·P(B) =×+×=. 8. 解析 設(shè)此隊員每次罰球的命中率為p,則1-p2=, ∴p=. 9.解 (1)X的所有可能取值為0,1,2,3,4. (2分) P(X=i)=(i=0,1,2,3,4). (4分) 即 X 0 1 2 3 4 P (7分) (2)令Y表示此員工的月工資,則Y的所有可能取值為2 100,2 800,3 500. (9分) 則P(Y=3 500)=P(X=4)=, P(Y=2 800)=P

24、(X=3)=, P(Y=2 100)=P(X≤2)=. E(Y)=3 500×+2 800×+2 100×=2 280. (12分) 所以此員工月工資的期望為2 280元. (14分) 10.解 (1)設(shè)甲勝A的事件為D,乙勝B的事件為E,丙勝C的事件為F,則,,分別表示甲不勝A,乙不勝B,丙不勝C的事件. 因為P(D)=0.6,P(E)=0.5,P(F)=0.5, 由對立事件的概率公式知P()=0.4,P()=0.5, P()=0.5.(2分) 紅隊至少兩人獲勝的事件有:DE,DF,EF,DEF. 由于以上四個事件兩兩互斥且各盤比賽的結(jié)果相互獨立

25、, (4分) 因此紅隊至少兩人獲勝的概率為 P=P(DE)+P(DF)+P(EF)+P(DEF) =0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.55. (7分) (2)由題意知ξ可能的取值為0,1,2,3.(9分) 又由(1)知 F,E,D 是兩兩互斥事件,且各盤比賽的結(jié)果相互獨立,(11分) 因此P(ξ=0)=P( )=0.4×0.5×0.5=0.1, P(ξ=1)=P( F)+P(E)+P(D ) =0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5 =0.35, P(ξ=3)=P

26、(DEF)=0.6×0.5×0.5=0.15. 由對立事件的概率公式得 P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=0.4. (12分) 所以ξ的概率分布為: ξ 0 1 2 3 P 0.1 0.35 0.4 0.15 因此E(ξ)=0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0.15=1.6.(14分) 11.解 (1)ξ1的概率分布為 ξ1 1.2 1.18 1.17 P E(ξ1)=1.2×+1.18×+1.17×=1.18. (3分) 由題設(shè)得ξ~B(2,p),即ξ的概率分布為 ξ 0 1 2

27、 P (1-p)2 2p(1-p) p2 (5分) 故ξ2的概率分布為 ξ2 1.3 1.25 0.2 P (1-p)2 2p(1-p) p2 所以ξ2的數(shù)學(xué)期望是E(ξ2)=1.3×(1-p)2+1.25×2p(1-p)+0.2×p2=1.3×(1-2p+p2)+2.5×(p-p2)+0.2×p2=-p2-0.1p+1.3. (8分) (2)由E(ξ1)1.18,整理得(p+0.4)(p-0.3)<0, 解得-0.4

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