新版全國通用高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強化練 專題20 概率含解析
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1、 1
2、 1 【走向高考】(全國通用)20xx高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強化練 專題20 概率(含解析) 一、選擇題 1.(文)(20xx·廣東文,7)已知5件產(chǎn)品中有2件次品,其余為合格品.現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件,恰有1件次品的概率為( ) A.0.4 B.0.6 C.0.8 D.1 [答案] B [解析] 5件產(chǎn)品中有2件次品,記為a,b,有3件合格品,
3、記為c,d,e,從這5件產(chǎn)品中任取2件,有10種,分別是(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),恰有一件次品,有6種,分別是(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),設(shè)事件A=“恰有一件次品”,則P(A)==0.6,故選B. (理)(20xx·太原市一模)某袋中有編號為1,2,3,4,5,6的6個小球(小球除編號外完全相同),甲先從袋中抽取一個球,記下編號后放回,乙再從袋中摸出一個球,記下編號,則甲、乙兩人所摸出球的編號不同的概率是( ) A. B. C. D. [答案]
4、 C [解析] 記甲、乙各摸一次得的編號為(x,y),則共有36個不同的結(jié)果,其中甲、乙摸出球的編號相同的結(jié)果有6個,故所求概率P=1-=. [方法點撥] 1.用古典概型概率計算公式P=求概率,必須先判斷事件的等可能性. 2.當(dāng)某事件含有的基本事件情況比較復(fù)雜,分類較多時,可考慮用對立事件概率公式求解. 3.要熟練掌握列舉基本事件的方法,當(dāng)古典概型與其他知識結(jié)合在一起考查時,要先依據(jù)其他知識點的要求求出所有可能的事件及基本事件數(shù),再計算. 2.(文)若不等式組表示的平面區(qū)域為M,x2+y2≤1所表示的平面區(qū)域為N,現(xiàn)隨機向區(qū)域M內(nèi)拋一粒豆子,則豆子落在區(qū)域N內(nèi)的概率為( ) A.
5、 B. C. D. [答案] A [解析] 如圖,不等式組表示的平面區(qū)域M為△OAB,A(1,-1),B(3,3),S△OAB=3, 區(qū)域N在M中的部分面積為,∴所求概率P==. (理)如圖,在邊長為e(e為自然對數(shù)的底數(shù))的正方形中隨機撒一粒黃豆,則它落到陰影部分的概率為( ) A. B. C. D. [答案] A [解析] ∵S陰=2(e-ex)dx=2(ex-ex)|=2, S正方形=e2,∴P=. [方法點撥] 1.當(dāng)試驗的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域為長度、面積、體積、弧長、夾角等時,應(yīng)考慮使用幾何概型求解; 2.利用幾何概型求概率時,關(guān)鍵是試驗
6、的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的測度的計算,有時需要設(shè)出變量,在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域.
3.幾何概型與其他知識結(jié)合命題,應(yīng)先依據(jù)所給條件轉(zhuǎn)化為幾何概型,求出區(qū)域的幾何測度,再代入公式求解.
3.(文)在長為10cm的線段AB上任取一點C,現(xiàn)作一矩形,鄰邊長分別等于線段AC、CB的長,則該矩形面積小于24cm2的概率為( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 設(shè)線段AC的長為xcm,其中0 7、0 8、活動中,有編號為1,2,3,…,18的18名火炬手.若從中任選3人,則選出的火炬手的編號能組成以3為公差的等差數(shù)列的概率為( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 設(shè)選出的三人編號為a-3,a,a+3,則,∴4≤a≤15,共12種,從18人中選3人有C種選法,∴P==.
5.(文)扇形AOB的半徑為1,圓心角為90°.點C、D、E將弧AB等分成四份.連接OC、OD、OE,從圖中所有的扇形中隨機取出一個,面積恰為的概率是( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 所有的扇形共10個,其中面積為的扇形共有3個,故所求概率為P=.
( 9、理)(20xx·太原二模)已知實數(shù)a,b滿足x1,x2是關(guān)于x的方程x2-2x+b-a+3=0的兩個實根,則不等式0 10、x2正確地進(jìn)行轉(zhuǎn)化;二是無法合理地求解幾何概型的測度.事實上,對于幾何概型的問題,關(guān)鍵是對測度的正確求解.糾錯的方法有:①加強對幾何概型測度的理解與求解;②平時注意積累解決幾何概型的方法,如長度法、面積法、體積法等.
6.(文)一個正方體玩具,其各面標(biāo)有數(shù)字-3、-2、-1、0、1、2,隨機投擲一次,將其向上一面的數(shù)字記作m,則函數(shù)f(x)=x3+mx在(-∞,-)上單調(diào)的概率為( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] f ′(x)=3x2+m,當(dāng)m≥0時,f ′(x)≥0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)m<0時,令f ′(x)=0得,x=±,
∴f(x)在(-∞,-) 11、上單調(diào)增加,
∵<<,∴-<-<-,
∴當(dāng)m=-1時,f(x)在(-∞,-)上單調(diào)遞增,
∴所求概率P==.
(理)(20xx·東北三省三校一模)一個三位自然數(shù)百位,十位,個位上的數(shù)字依次為a、b、c,當(dāng)且僅當(dāng)a > b,b < c時稱為“凹數(shù)”(如213,312等),若a、b、c∈{1,2,3,4}且a、b、c互不相同,則這個三位數(shù)是“凹數(shù)”的概率是( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 解法1:任取3個數(shù),共能構(gòu)成24個三位數(shù),A=“該數(shù)為凹數(shù)”,則A={213,214,312,314,412,412,324,423}共包括8個基本事件,
∴P(A 12、)==.
解法2:從4個不同數(shù)中任取3個,這3個數(shù)字共組成6個不同三位數(shù),其中凹數(shù)有2個,∴P==.
7.有一個容量為66的樣本,數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下:
[10.5,14.5) 2 [14.5,18.5) 4
[18.5,22.5) 9 [22.5,26.5) 18
[26.5,30.5) 11 [30.5,34.5) 12
[34.5,38.5) 8 [38.5,42.5) 2
根據(jù)樣本的頻率分布估計,數(shù)據(jù)落在[30.5,42.5)內(nèi)的概率約是( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 由已知可得,[30.5,42.5) 13、的數(shù)據(jù)共有22個,所以數(shù)據(jù)落在[30.5,42.5)內(nèi)的概率約是=,選B.
8.(文)(20xx·陜西理,6)從正方形四個頂點及其中心這5個點中,任取2個點,則這2個點的距離不小于該正方形邊長的概率為( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 如圖,基本事件共有C=10個,小于正方形邊長的事件有OA,OB,OC,OD共4個,
∴P=1-=.
(理)從-=1(m、n∈{-1,2,3})所表示的圓錐曲線(橢圓、雙曲線)方程中任取一個,則此方程是焦點在x軸上的雙曲線方程的概率為( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析 14、] 當(dāng)m,n∈{-1,2,3}時,-=1所表示的圓錐曲線(橢圓、雙曲線)共有7個,(m,n)的取值分別為(-1,-1),(2,2),(3,3),(2,3),(3,2),(2,-1),(3,-1),其中表示焦點在x軸上的雙曲線方程有4個,(m,n)的取值分別為(3,2),(3,3),(2,2),(2,3),故所求的概率為,選B.
二、填空題
9.(文)在三棱錐的六條棱中任選兩條,則這兩條棱所在直線為異面直線的概率是________.
[答案]
[解析] 從六條棱中任選兩條有15種可能,其中構(gòu)成異面直線的有3種情況,故所求概率為P==.
(理)從正方體六個面的對角線中任取兩條,這兩條直 15、線成60°角的概率為________.
[答案]
[解析] 六個面的對角線共有12條,從中任取兩條共有C=66種不同的取法.
在正方體ABCD-A1B1C1D1中,與面對角線AC成60°角的面對角線有B1C,BC1,A1D,AD1,AB1,A1B,DC1,D1C,共8條,同理與DB成60°角的面對角線也有8條,因此一個面上的對角線與其他四個相鄰面上的對角線成60°角的情形共有16對,故6個面共有16×6=96對,因為每對被計算了2次,因此共有×96=48對,∴所求概率P==.
[方法點撥] 解答概率與其他知識交匯的問題,要通過審題,將所要解決的問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的概率模型,然后按相應(yīng)公式 16、計算概率,轉(zhuǎn)化時要特別注意保持等價.
10.(文)若將一個質(zhì)點隨機投入如圖所示的長方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,則質(zhì)點落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是________.
[答案]
[解析] 考查了幾何概型.
總面積2×1=2.
半圓面積×π×12=.∴p==.
(理)(20xx·呼和浩特第二次調(diào)研)在區(qū)間(0,)上任取一個數(shù)x,使得tanx<∫0cosxdx成立的概率是________.
[答案]
[解析] 求出定積分后結(jié)合三角函數(shù)的圖象解不等式.因為∫0cosxdx=sinx|0=1,所以原不等式即為tanx<1,x∈(0,),解得0 17、
[易錯分析] 考生不能正確計算定積分,或者不能正確解簡單的三角不等式,都會導(dǎo)致幾何概型計算錯誤,所以幾何概型問題,正確運算是關(guān)鍵.
三、解答題
11.(文)(20xx·太原市一模)為了考查某廠2000名工人的生產(chǎn)技能情況,隨機抽查了該廠a名工人某天的產(chǎn)量(單位:件),整理后得到如下的頻率分布直方圖(產(chǎn)量的分組區(qū)間分別為[10,15),[15,20),[20,25),[25,30),[30,35]),其中產(chǎn)量在[20,25)的工人有6名.
(1)求這一天產(chǎn)量不小于25的工人人數(shù);
(2)工廠規(guī)定從產(chǎn)量低于20件的工人中選取2名工人進(jìn)行培訓(xùn),求這2名工人不在同一分組的概率.
[解 18、析] (1)由題意得,產(chǎn)量為[20,25)的頻率為0.06×5=0.3,
∴n==20,
∴這一天產(chǎn)量不小于25的工人人數(shù)為(0.05+0.03)×5×20=8.
(2)由題意得,產(chǎn)量在[10,15)的工人人數(shù)為20×0.02×5=2,記他們分別是A,B,產(chǎn)量在[15,20)的工人人數(shù)為20×0.04×5=4,記他們?yōu)閍,b,c,d,
則從產(chǎn)量低于20件的工人中選取2位工人的結(jié)果為:(A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(A,d),(B,a),(B,b),(B,c),(B,d),(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)共15種不同的結(jié)果,
其中 19、2位工人不在同一分組的結(jié)果為(A,a),(A,b),(A,c),(A,d),(B,a),(B,b),(B,c),(B,d),共有8種,
∴所求概率為P=.
(理)某電視臺舉辦“青工技能大賽”,比賽共設(shè)三關(guān),第一、二關(guān)各有兩個問題,兩個問題全解決方可進(jìn)入下一關(guān),第三關(guān)有三個問題,只要解決其中的兩個問題,則闖關(guān)成功.每過一關(guān)可依次獲得100分、300分、500分的積分.小明對三關(guān)中每個問題正確解決的概率依次為、、,且每個問題正確解決與否相互獨立.
(1)求小明通過第一關(guān)但未過第二關(guān)的概率;
(2)用X表示小明的最后積分,求X的分布列和期望.
[解析] (1)設(shè)事件A=“小明通過第一關(guān)但未 20、過第二關(guān)”,第一關(guān)第i個問題正確解決為事件Ai(i=1,2),
第二關(guān)第i個問題正確解決為事件Bi(i=1,2),則
P(A1)=P(A2)=,P(B1)=P(B2)=.
又∵A=A1·A2·(·+B1·+·B2),
∴P(A)=P(A1)·P(A2)·(1-P(B1)·P(B2))
=()2×[1-()2]=.
(2)X∈{0,100,400,900}.
P(X=0)=1-()2=,P(X=100)=.
P(X=400)=()2×()2×[()2+C××()2]=,
P(X=900)=1---=.
∴X的分布列為
X
0
100
400
900
P
21、
E(X)=0×+100×+400×+900×=.
12.(文)(20xx·河南商丘市二模)某校團委會組織該校高中一年級某班以小組為單位利用周末時間進(jìn)行了一次社會實踐活動,且每個小組有5名同學(xué),在實踐活動結(jié)束后,學(xué)校團委會對該班的所有同學(xué)都進(jìn)行了測評,該班的A,B兩個小組所有同學(xué)所得分?jǐn)?shù)(百分制)的莖葉圖如右圖所示,其中B組一同學(xué)的分?jǐn)?shù)已被污損,但知道B組學(xué)生的平均分比A組學(xué)生的平均分高1分.
(1)若在B組學(xué)生中隨機挑選1人,求其得分超過85分的概率;
(2)現(xiàn)從A組這5名學(xué)生中隨機抽取2名同學(xué),設(shè)其分?jǐn)?shù)分別為m,n,求|m-n|≤8的概率.
[解析] (1)A組學(xué)生的平均 22、分為=85(分),
∴B組學(xué)生平均分為86分,設(shè)被污損的分?jǐn)?shù)為x,由=86,
∴x=88,
故B組學(xué)生的分?jǐn)?shù)分別為93,91,88,83,75,
則在B組學(xué)生隨機選1人所得分超過85分的概率P=.
(2)A組學(xué)生的分?jǐn)?shù)分別是94,88,86,80,77,
在A組學(xué)生中隨機抽取2名同學(xué),其分?jǐn)?shù)組成的基本事件(m,n)有(94,88),(94,86),(94,80),(94,77),(88,86),(88,80),(88,77),(86,80),(86,77),(80,77)共10個,
隨機抽取2名同學(xué)的分?jǐn)?shù)m,n滿足|m-n|≤8的事件有(94,88),(94,86),(88,86 23、),(88,80),(86,80),(80,77)共6個.
故學(xué)生得分m,n滿足|m-n|≤8的概率P==.
(理)(20xx·河北衡水中學(xué)一模)已知關(guān)于x的一元二次函數(shù)f(x)=ax2-4bx+1.
(1)若a,b分別表示將一枚質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲兩次時第一次、第二次正面朝上出現(xiàn)的點數(shù),求滿足函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù)的概率;
(2)設(shè)點(a,b)是區(qū)域內(nèi)的隨機點,求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù)的概率.
[解析] (1)∵函數(shù)f(x)=ax2-4bx+1的圖象的對稱軸為x=.
要使f(x)=ax2-4bx+1在區(qū)間[1,+∞)上為增函數(shù),當(dāng)且僅 24、當(dāng)a>0且≤1,即2b≤a.
基本事件共有36個;
所求事件包含基本事件:(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,2),(5,2),(6,2),(6,3).
所求事件包含基本事件的個數(shù)是9
∴所求事件的概率為P==.
(2)由(1)知當(dāng)且僅當(dāng)2b≤ a且a>0時,函數(shù)f(x)=ax2-4bx+1在區(qū)間[1,+∞)上為增函數(shù).
依條件可知試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為,表示的三角形OAB,其中,O(0,0),A(8,0),B(0,8),構(gòu)成所求事件的區(qū)域為三角形OAC部分.
由得交點C坐標(biāo)為.
故所求事件的概率為P==.
13.(文)(20xx·石家 25、莊市一模)某商店計劃每天購進(jìn)某商品若干件,商店每銷售一件該商品可獲利潤50元.若供大于求,剩余商品全部退回,但每件商品虧損10元,若供不應(yīng)求,則從外部調(diào)劑,此時每件調(diào)劑商品可獲利潤30元.
(1)若商店一天購進(jìn)該商品10件,求當(dāng)天的利潤y(單位:元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位:件,n∈N)的函數(shù)解析式;
(2)商店記錄了50天該商品的日需求量n(單位:件),整理得下表:
日需求量
8
9
10
11
12
頻數(shù)
9
11
15
10
5
若商店一天購進(jìn)10件該商品,以50天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率,求當(dāng)天的利潤在區(qū)間[400,500]的概率.
[解 26、析] (1)當(dāng)日需求量n≥10時,
利潤為y=50×10+(n-10)×30=30n+200;
當(dāng)日需求量n<10時,利潤為y=50×n-(10-n)×10=60n-100
所以,y關(guān)于日需求量n函數(shù)關(guān)系式為:
y=.
(2)50天內(nèi)有9天獲得的利潤380元,有11天獲得的利潤為440元,有15天獲得利潤為500元,有10天獲得的利潤為530元,有5天獲得的利潤為560元.
若利潤在區(qū)間[400,550]時,日需求量為9件、10件、11件該商品,其對應(yīng)的頻數(shù)分別為11天、15天、10天.
則利潤區(qū)間[400,550]的概率為:
p==.
(理)(20xx·東北三省四市聯(lián)考)太 27、陽島公園引進(jìn)了兩種植物品種甲與乙,株數(shù)分別為18與12,這30株植物的株高編寫成莖葉圖如圖所示(單位:cm),
甲
乙
9 8 6 6 5
16
2
9 7 6 5 4 2
17
3 7
7 7 4 3 2
18
1 5 7 8
2 0
19
1 5 7
20
1 7
若這兩種植物株高在185cm以上(包括185cm)定義為“優(yōu)秀品種”,株高在185cm以下(不包括185cm)定義為“非優(yōu)秀品種”.
(1)求乙品種的中位數(shù);
(2)在以上30株植物中,如果用分層抽樣的方法從“優(yōu)秀品種”和“非優(yōu)秀品種”中抽取5株,再從這5株中選2株,那么至少有一 28、株是“優(yōu)秀品種”的概率是多少?
(3)若從所有“優(yōu)秀品種”中選3株,用X表示3株中含甲類“優(yōu)秀品種”的株數(shù),試寫出X的分布列,并求X的數(shù)學(xué)期望.
[解析] (1)乙的中間有兩個數(shù)187和188,因此乙的中位數(shù)為187.5cm.
(2)根據(jù)莖葉圖知“優(yōu)秀品種”有12株,“非優(yōu)秀品種”有18株,
用分層抽樣的方法抽取,每株被抽中的概率是=,
故樣本中“優(yōu)秀品種”有12×=2(株),
“非優(yōu)秀品種”有18×=3(株).
用事件A表示“至少有一株‘優(yōu)秀品種’被選中”,
則P(A)=1-=1-=,
因此從5株植物中選2株,至少有一株“優(yōu)秀品種”的概率是.
(3)依題意,一共有12株“ 29、優(yōu)秀品種”,其中乙種植物有8株,甲種植物有4株,則X的所有可能取值為0,1,2,3,
P(X=0)==;
P(X=1)==;
P(X=2)==;
P(X=3)==.
因此X的分布列如下:
X
0
1
2
3
P
所以E(X)=0×+1×+2×+3×=1.
14.(文)某高中社團進(jìn)行社會實踐,對[25,55]歲的人群隨機抽取n人進(jìn)行了一次是否開通“微博”的調(diào)查,若開通“微博”的稱為“時尚族”,否則稱為“非時尚族”.通過調(diào)查分別得到如圖1所示統(tǒng)計表和如圖2所示的各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖.
組數(shù)
分組
時尚族的人數(shù)
占本組的頻率
第一組
[25 30、,30)
120
0.6
第二組
[30,35)
195
p
第三組
[35,40)
100
0.5
第四組
[40,45)
a
0.4
第五組
[45,50)
30
0.3
第六組
[50,55]
15
0.3
請完成以下問題:
(1)補全頻率直方圖,并求n,a,p的值;
(2)從[40,45)歲和[45,50)歲年齡段的“時尚族”中采用分層抽樣法抽取6人參加網(wǎng)絡(luò)時尚達(dá)人大賽,其中選取2人作為領(lǐng)隊,求選取的2名領(lǐng)隊年齡在[40,45)歲的概率.
[解析] (1)第二組的頻率為1-(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)× 31、5=0.3,
所以高為=0.06.頻率直方圖如下:
第一組的人數(shù)為=200,頻率為0.04×5=0.2,
所以n==1000,
所以第二組的人數(shù)為1000×0.3=300,p==0.65,
第四組的頻率為0.03×5=0.15,第四組的人數(shù)為1000×0.15=150,
所以a=150×0.4=60.
(2)因為[40,45)歲與[45,50)歲年齡段的“時尚族”的比值為6030=21,
所以采用分層抽樣法抽取6人,[40,45)歲中有4人,[45,50)歲中有2人.
記a1、a2、a3、a4為[40,45)歲中抽得的4人,b1、b2為[45,50)歲中抽得的2人,全 32、部可能的結(jié)果有:
(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,b1),(a1,b2),
(a2,a3),(a2,a4),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4),
(a3,b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2),(b1,b2),共15個,
選取的兩名領(lǐng)隊都在[40,45)歲的有6種,
所以所求概率為P==.
(理)(20xx·湖北七市聯(lián)考)小明家訂了一份報紙,寒假期間他收集了每天報紙送達(dá)時間的數(shù)據(jù),并繪制成頻率分布直方圖如圖所示.
(1)根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)信息,寫出眾數(shù)x0;
(2)小明的父親上班離家的時間y在上午700至730之間,而送報人每天在x0時刻前后半小時內(nèi)把報紙送達(dá)(每個時間點送達(dá)的可能性相等).
①求小明的父親在上班離家前能收到報紙(稱為事件A)的概率;
②求小明的父親周一至周五在上班離家前能收到報紙的天數(shù)X的數(shù)學(xué)期望.
[解析] (1)x0=700.
(2)①設(shè)報紙送達(dá)時間為x,則小明父親上班前能收到報紙等價于
由圖可知,所求概率為P=1-=.
②X服從二項分布B(5,),故E(X)=5×=(天).
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