新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫 第5章學(xué)案22

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 第5章 解三角形與平面向量 學(xué)案22 正弦定理和余弦定理 導(dǎo)學(xué)目標: 1.利用正弦定理、余弦定理進行邊角轉(zhuǎn)化,進而進行恒等變換解決問題.2.掌握正弦定理、余弦定理,并能解決一些簡單的三角形度量問題. 自主梳理 1.三角形的有關(guān)性質(zhì) (1)在△ABC中,A+B+C=____; (2)a+b____c,a-bb?sin A____sin B?A____B; (4)三角形面積公式:S△ABC=ah=absin C =acsin B=____________________; (5)在三角形中有:sin 2A=sin 2B?A=B或__

2、____________?三角形為等腰或直角三角形; sin(A+B)=sin C,sin =cos . 2.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 內(nèi)容 ________________=2R a2=____________, b2=____________, c2=____________ 變形 形式 ①a=________, b=________, c=________; ②sin A=________, sin B=________, sin C=________; ③a∶b∶c=________; ④= cos A=________

3、____________; cos B=____________________; cos C=____________________ 解決 的問題 ①已知兩角和任一邊,求另一角和其他兩條邊. ②已知兩邊和其中一邊的對角,求另一邊和其他兩角. ①已知三邊,求各角; ②已知兩邊和它們的夾角,求第三邊和其他兩個角. 自我檢測 1.(2010·上海改編)若△ABC的三個內(nèi)角滿足sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13,則a∶b∶c=________. 2.(2010·天津改編)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若a2-b2=bc,sin C=2

4、sin B,則A=________. 3.(2010·煙臺一模)在△ABC中,A=60°,b=1,△ABC的面積為,則邊a的值為________. 4.(2010·山東)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若a=,b=2,sin B+cos B=,則角A的大小為________. 5.(2010·北京)在△ABC中,若b=1,c=,C=,則a=________. 探究點一 正弦定理的應(yīng)用 例1 (1)在△ABC中,a=,b=,B=45°,求角A、C和邊c; (2)在△ABC中,a=8,B=60°,C=75°,求邊b和c. 變式遷移1 (1)在△

5、ABC中,若tan A=,C=150°,BC=1,則AB=________; (2)在△ABC中,若a=50,b=25,A=45°,則B=________. 探究點二 余弦定理的應(yīng)用 例2 已知a、b、c分別是△ABC中角A、B、C的對邊,且a2+c2-b2=ac. (1)求角B的大?。? (2)若c=3a,求tan A的值. 變式遷移2 在△ABC中,a、b、c分別為A、B、C的對邊,B=,b=,a+c=4,求a. 探究點三 正余弦定理的綜合應(yīng)用 例3 在△ABC中,a、b、c分別表示三個內(nèi)角A、B、C的對邊,如果(a2+b2)sin(A-B)=

6、(a2-b2)sin(A+B),試判斷該三角形的形狀. 變式遷移3 (2010·天津)在△ABC中,=. (1)證明:B=C; (2)若cos A=-,求sin的值. 1.解斜三角形可以看成是三角變換的延續(xù)和應(yīng)用,用到三角變換的基本方法,同時它是對正、余弦定理,三角形面積公式等的綜合應(yīng)用. 2.在利用正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對角,求另一邊的對角,進而求出其他的邊和角時,有可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況,應(yīng)結(jié)合圖形并根據(jù)“三角形中大邊對大角”來判斷解的情況,作出正確取舍. 3.在解三角形中的三角變換問題時,要注意兩點:一是要用到三角形

7、的內(nèi)角和及正、余弦定理,二是要用到三角變換、三角恒等變形的原則和方法.“化繁為簡”“化異為同”是解此類問題的突破口. (滿分:90分) 一、填空題(每小題6分,共48分) 1.(2010·湖北改編)在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,則cos B=________. 2.在△ABC中,AB=3,AC=2,BC=,則·=________. 3.在△ABC中,sin2=(a,b,c分別為角A,B,C的對邊),則△ABC的形狀為________. 4.(2011·蘇州調(diào)研)在△ABC中,若A=60°,BC=4,AC=4,則角B的大小為________. 5.(2010·湖南改

8、編)在△ABC中,角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,若C=120°,c=a,則a,b的大小關(guān)系為________. 6.在△ABC中,B=60°,b2=ac,則△ABC的形狀為______________. 7.(2010·廣東)已知a,b,c分別是△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊,若a=1,b=,A+C=2B,則sin C=________. 8.(2010·福建龍巖高三一模)在銳角△ABC中,AD⊥BC,垂足為D,且BD∶DC∶AD=2∶3∶6,則∠BAC的大小為________. 二、解答題(共42分) 9.(14分)(2009·浙江)在△ABC中,角A,B,C所對的

9、邊分別為a,b,c,且滿足cos=,·=3. (1)求△ABC的面積; (2)若b+c=6,求a的值. 10.(14分)(2010·陜西)在△ABC中,已知B=45°,D是BC邊上的一點,AD=10,AC=14,DC=6,求AB的長. 11.(14分)(2010·重慶)設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a、b、c,且3b2+3c2-3a2=4bc. (1)求sin A的值; (2)求的值. 答案 自主梳理 1.(1)π (2)> (3)> > (4)bcsin A (5)A+B= 2.== b2+c2-2bccos A a

10、2+c2-2accos B a2+b2-2abcos C 2Rsin A 2Rsin B 2Rsin C    sin A∶sin B∶sin C    自我檢測 1.5∶11∶13 2.30° 3. 4. 5.1 解析 方法一 由正弦定理,有=, ∴sin B=.∵C為鈍角,∴B必為銳角,∴B=, ∴A=.∴a=b=1. 方法二 由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C得, 3=a2+a+1,即a2+a-2=0, 解得a=1,a=-2(舍去). 課堂活動區(qū) 例1 解題導(dǎo)引 已知三角形的兩邊和其中一邊的對角,可利用正弦定理求其他的角和邊,但要注意對解的情況進行判斷,

11、這類問題往往有一解、兩解、無解三種情況.具體判斷方法如下:在△ABC中,已知a、b和A,求B.若A為銳角,①當(dāng)a≥b時,有一解;②當(dāng)a=bsin A時,有一解;③當(dāng)bsin Ab時,有一解;②當(dāng)a≤b時,無解. 解 (1)由正弦定理=得,sin A=. ∵a>b,∴A>B,∴A=60°或A=120°. 當(dāng)A=60°時,C=180°-45°-60°=75°, c==; 當(dāng)A=120°時,C=180°-45°-120°=15°, c==. 綜上,A=60°,C=75°,c=, 或A=120°,C=15°,c

12、=. (2)∵B=60°,C=75°,∴A=45°. 由正弦定理==, 得b==4,c==4+4. ∴b=4,c=4+4. 變式遷移1 (1) (2)60°或120° 解析 (1)∵在△ABC中,tan A=,C=150°, ∴A為銳角,∴sin A=.又∵BC=1. ∴根據(jù)正弦定理得AB==. (2)由b>a,得B>A,由=, 得sin B==×=, ∵0°

13、得cos A==. ∵0a,∴B>A, ∴cos A==.∴tan A==. 方法三 ∵c=3a,由正弦定理,得sin C=3sin A. ∵B=,∴C=π-(A+B)=-A, ∴sin(-A)=3sin A, ∴sincos A-cossin A=3sin A, ∴cos A+sin A=3sin A, ∴5sin A=cos A,∴tan A==. 變式遷移2 解 由余弦

14、定理得,b2=a2+c2-2accos B =a2+c2-2accosπ=a2+c2+ac=(a+c)2-ac. 又∵a+c=4,b=,∴ac=3, 聯(lián)立,解得a=1,c=3,或a=3,c=1. ∴a等于1或3. 例3 解題導(dǎo)引 利用正弦定理或余弦定理進行邊角互化,轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系或角角關(guān)系. 解 方法一 ∵(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B) ?a2[sin(A-B)-sin(A+B)] =b2[-sin(A+B)-sin(A-B)], ∴2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A, 由正弦定理,得sin2Acos Asin B=sin

15、2Bcos Bsin A, ∴sin Asin B(sin Acos A-sin Bcos B)=0, ∴sin 2A=sin 2B,由0<2A<2π,0<2B<2π, 得2A=2B或2A=π-2B, 即△ABC是等腰三角形或直角三角形. 方法二 同方法一可得2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A, 由正、余弦定理,即得 a2b×=b2a×, ∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2), 即(a2-b2)(c2-a2-b2)=0,∴a=b或c2=a2+b2, ∴三角形為等腰三角形或直角三角形. 變式遷移3 (1)證明 在△ABC中,由正弦定理及已

16、知得 =.于是sin Bcos C-cos Bsin C=0, 即sin(B-C)=0.因為-π

17、 B==. 2. 解析 由余弦定理得,cos A===,∴·=3×2×=. 3.直角三角形 解析 ∵sin2==, ∴cos A==?a2+b2=c2,符合勾股定理, 即△ABC為直角三角形. 4.45° 解析 ∵BC>AC,∴A>B,所以角B是銳角, 由正弦定理得,=, 即sin B===,所以B=45°. 5.a(chǎn)>b 解析 因為C=120°,c=a, 所以c2=a2+b2-2abcos C,2a2=a2+b2-2ab. 所以a2-b2=ab,a-b=,因為a>0,b>0, 所以a-b=>0,所以a>b. 6.等邊三角形 解析 ∵b2=a2+c2-2acco

18、s B,∴ac=a2+c2-ac, ∴(a-c)2=0,∴a=c,又B=60°, ∴△ABC為等邊三角形. 7.1 解析 由A+C=2B及A+B+C=180°知,B=60°. 由正弦定理知,=,即sin A=. 由a

19、……………………………………………(5分) 又由·=3得bccos A=3,所以bc=5, 因此S△ABC=bcsin A=2.…………………………………………………………………(9分) (2)由(1)知,bc=5,又b+c=6, 由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-bc=20,所以a=2.………(14分) 10.解 在△ADC中,AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得, cos∠ADC= ==-,…………………………………………………………………(6分) ∴∠ADC=120°,∠ADB=60°.…………………………………………………

20、………(8分) 在△ABD中,AD=10,B=45°, ∠ADB=60°, 由正弦定理得=, ∴AB== ==5.…………………………………………………………………………(14分) 11.解 (1)∵3b2+3c2-3a2=4bc, ∴b2+c2-a2=bc. 由余弦定理得,cos A==,……………………………………………(4分) 又0

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