新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫(kù) 第9章學(xué)案47

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 學(xué)案47　圓的方程 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.掌握確定圓的幾何要素.2.掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.3.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想． 自主梳理 1．圓的定義 在平面內(nèi)，到________的距離等于________的點(diǎn)的________叫做圓． 2．確定一個(gè)圓最基本的要素是________和________． 3．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0)，其中________為圓心，____為半徑． 4．圓的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是____________________，其中圓心為____

2、____________________，半徑r＝________________________. 5．確定圓的方程的方法和步驟 確定圓的方程主要方法是待定系數(shù)法，大致步驟為： (1)根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程； (2)根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，r或D、E、F的方程組； (3)解出a、b、r或D、E、F，代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程． 6．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有三種． 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，點(diǎn)M(x0，y0)， (1)點(diǎn)在圓上：(x0－a)2＋(y0－b)2____r2； (2)點(diǎn)在圓外：(x0－a)2＋(y0－b)2____r2；

3、(3)點(diǎn)在圓內(nèi)：(x0－a)2＋(y0－b)2____r2. 自我檢測(cè) 1．方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圓時(shí)，m的取值范圍為______________． 2．圓心在y軸上，半徑為1，且過(guò)點(diǎn)(1,2)的圓的方程是________． 3．點(diǎn)P(2，－1)為圓(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中點(diǎn)，則直線AB的方程是______________． 4．已知點(diǎn)(0,0)在圓：x2＋y2＋ax＋ay＋2a2＋a－1＝0外，則a的取值范圍是________． 5．過(guò)圓x2＋y2＝4外一點(diǎn)P(4,2)作圓的切線，切點(diǎn)為A、B，則△APB的外接圓方程為________．

4、探究點(diǎn)一　求圓的方程 例1　求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－2，－4)，且與直線l：x＋3y－26＝0相切于點(diǎn)B(8,6)的圓的方程． 變式遷移1　根據(jù)下列條件，求圓的方程． (1)與圓O：x2＋y2＝4相外切于點(diǎn)P(－1，)，且半徑為4的圓的方程； (2)圓心在原點(diǎn)且圓周被直線3x＋4y＋15＝0分成1∶2兩部分的圓的方程． 探究點(diǎn)二　圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用 例2　已知圓x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直線x＋2y－3＝0交于P，Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ (O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求該圓的圓心坐標(biāo)及半徑．

5、 變式遷移2　如圖，已知圓心坐標(biāo)為(，1)的圓M與x軸及直線y＝x分別相切于A、B兩點(diǎn)，另一圓N與圓M外切且與x軸及直線y＝x分別相切于C、D兩點(diǎn)． (1)求圓M和圓N的方程； (2)過(guò)點(diǎn)B作直線MN的平行線l，求直線l被圓N截得的弦的長(zhǎng)度． 探究點(diǎn)三　與圓有關(guān)的最值問(wèn)題 例3　已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0. (1)求y－x的最大值和最小值； (2)求x2＋y2的最大值和最小值． 變式遷移3　如果實(shí)數(shù)x，y滿足方程(x－3

6、)2＋(y－3)2＝6，求的最大值與最小值． 1．求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程就是求出圓心的坐標(biāo)與圓的半徑，借助弦心距、弦、半徑之間的關(guān)系計(jì)算可大大簡(jiǎn)化計(jì)算的過(guò)程與難度． 2．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有三種情形：點(diǎn)在圓內(nèi)、點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓外，其判斷方法是看點(diǎn)到圓心的距離d與圓半徑r的關(guān)系．dr時(shí)，點(diǎn)在圓外． 3．本節(jié)主要的數(shù)學(xué)思想方法有：數(shù)形結(jié)合思想、方程思想． (滿分：90分) 一、填空題(每小題6分，共48分) 1．(2011·重慶改編)在圓x2＋y2－2x－6y＝0內(nèi)，過(guò)點(diǎn)E(0,

7、1)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為________． 2．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓，則a的取值范圍是______________． 3．圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0關(guān)于直線2ax－by＋2＝0 (a、b∈R)對(duì)稱，則ab的取值范圍是____________． 4．(2011·蘇州模擬)已知點(diǎn)P(2,1)在圓C：x2＋y2＋ax－2y＋b＝0上，點(diǎn)P關(guān)于直線x＋y－1＝0的對(duì)稱點(diǎn)也在圓C上，則實(shí)數(shù)a，b的值分別為________和________． 5．已知兩點(diǎn)A(－2,0)，B(0,2)，點(diǎn)C是圓x2＋y2－2x＝0上任意一

8、點(diǎn)，則△ABC面積的最小值為________． 6．(2010·天津)已知圓C的圓心是直線x－y＋1＝0與x軸的交點(diǎn)，且圓C與直線x＋y＋3＝0相切，則圓C的方程為________________． 7．圓心在直線2x－3y－1＝0上的圓與x軸交于A(1,0)、B(3，0)兩點(diǎn)，則圓的方程為______________． 8．設(shè)直線ax－y＋3＝0與圓(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A、B兩點(diǎn)，且弦AB的長(zhǎng)為2，則a＝________. 二、解答題(共42分) 9．(14分)根據(jù)下列條件，求圓的方程： (1)經(jīng)過(guò)A(6,5)、B(0,1)兩點(diǎn)，并且圓心C在直線3x＋10y＋

9、9＝0上； (2)經(jīng)過(guò)P(－2,4)、Q(3，－1)兩點(diǎn)，并且在x軸上截得的弦長(zhǎng)等于6. 10．(14分)(2011·南京模擬)已知點(diǎn)(x，y)在圓(x－2)2＋(y＋3)2＝1上． (1)求x＋y的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 11．(14分)如圖是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖，該圓拱跨度AB＝20米，拱高OP＝4米，每隔4米需用一支柱支撐，求支柱A2P2的高度(精確到0.01米)(≈28.72)．

10、 學(xué)案47　圓的方程 答案 自主梳理 1．定點(diǎn)　定長(zhǎng)　集合　2.圓心　半徑　3.(a，b)　r 4．D2＋E2－4F>0　　 6．(1)＝　(2)>　(3)< 自我檢測(cè) 1．m<或m>1　2.x2＋(y－2)2＝1　3.x－y－3＝0 4．(，－1)∪(，) 5．(x－2)2＋(y－1)2＝5 課堂活動(dòng)區(qū) 例1　解題導(dǎo)引　(1)一可以利用圓的一般式方程，通過(guò)轉(zhuǎn)化三個(gè)獨(dú)立條件，得到有關(guān)三個(gè)待定字母的關(guān)系式求解；二可以利用圓的方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，由條件確定圓心和半徑． (2)一般地，求圓的方程時(shí)，當(dāng)條件中給出的是圓上若干點(diǎn)的坐標(biāo)，

11、較適合用一般式，通過(guò)解三元方程組求待定系數(shù)；當(dāng)條件中給出的是圓心坐標(biāo)或圓心在某直線上、圓的切線方程、圓的弦長(zhǎng)等條件，適合用標(biāo)準(zhǔn)式． 解　方法一　設(shè)圓心為C， 所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 則圓心C.∴kCB＝. 由kCB·kl＝－1，∴·＝－1.① 又有(－2)2＋(－4)2－2D－4E＋F＝0，② 又82＋62＋8D＋6E＋F＝0.③ 解①②③，可得D＝－11，E＝3，F(xiàn)＝－30. ∴所求圓的方程為x2＋y2－11x＋3y－30＝0. 方法二　設(shè)圓的圓心為C，則CB⊥l，從而可得CB所在直線的方程為y－6＝3(x－8)，即3x－y－18＝0.① 由A(－

12、2，－4)，B(8,6)，得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,1)． 又kAB＝＝1， ∴AB的垂直平分線的方程為y－1＝－(x－3)， 即x＋y－4＝0.② 由①②聯(lián)立后，解得 即圓心坐標(biāo)為. ∴所求圓的半徑r＝＝. ∴所求圓的方程為2＋2＝. 變式遷移1　解　(1)設(shè)所求圓的圓心Q的坐標(biāo)為(a，b)，圓Q的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝42，又∵OQ＝6， ∴聯(lián)立方程， 解得a＝－3，b＝3， 所以所求圓的方程為(x＋3)2＋(y－3)2＝16. (2) 如圖，因?yàn)閳A周被直線3x＋4y＋15＝0分成1∶2兩部分，所以∠AOB＝120°，而圓心(0,0)到直線3x＋4y

13、＋15＝0的距離d＝＝3，在△AOB中，可求得OA＝6. 所以所求圓的方程為x2＋y2＝36. 例2　解題導(dǎo)引　(1)在解決與圓有關(guān)的問(wèn)題中，借助于圓的幾何性質(zhì)，往往會(huì)使得思路簡(jiǎn)捷明了，簡(jiǎn)化思路，簡(jiǎn)便運(yùn)算． (2)本題利用方程思想求m值，即“列出m的方程”求m值． 解　方法一　將x＝3－2y， 代入方程x2＋y2＋x－6y＋m＝0， 得5y2－20y＋12＋m＝0. 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則y1、y2滿足條件： y1＋y2＝4，y1y2＝. ∵OP⊥OQ，∴x1x2＋y1y2＝0. 而x1＝3－2y1，x2＝3－2y2. ∴x1x2＝9－6(y1＋y2)＋

14、4y1y2. ∴9－6(y1＋y2)＋5y1y2＝0， ∴9－6×4＋5×＝0， ∴m＝3，此時(shí)1＋36－3×4>0，圓心坐標(biāo)為，半徑r＝. 方法二　 如圖所示， 設(shè)弦PQ中點(diǎn)為M， ∵O1M⊥PQ， ∴kO1M＝2. 又圓心坐標(biāo)為， ∴O1M的方程為y－3＝2， 即y＝2x＋4.由方程組 解得M的坐標(biāo)為(－1,2)． 則以PQ為直徑的圓可設(shè)為(x＋1)2＋(y－2)2＝r2. ∵OP⊥OQ，∴點(diǎn)O在以PQ為直徑的圓上． ∴(0＋1)2＋(0－2)2＝r2，即r2＝5，MQ2＝r2. 在Rt△O1MQ中，O1M2＋MQ2＝O1Q2. ∴2＋(3－2)2＋5

15、＝. ∴m＝3.∴半徑為，圓心為. 變式遷移2　解　(1)∵M(jìn)的坐標(biāo)為(，1)，∴M到x軸的距離為1，即圓M的半徑為1， 則圓M的方程為(x－)2＋(y－1)2＝1. 設(shè)圓N的半徑為r， 連結(jié)MA，NC，OM， 則MA⊥x軸，NC⊥x軸， 由題意知：M，N點(diǎn)都在∠COD的平分線上， ∴O，M，N三點(diǎn)共線． 由Rt△OAM∽R(shí)t△OCN可知， OM∶ON＝MA∶NC，即＝?r＝3， 則OC＝3，則圓N的方程為(x－3)2＋(y－3)2＝9. (2)由對(duì)稱性可知，所求的弦長(zhǎng)等于過(guò)A點(diǎn)與MN平行的直線被圓N截得的弦的長(zhǎng)度， 此弦的方程是y＝(x－)，即x－y－＝0，

16、圓心N到該直線的距離d＝， 則弦長(zhǎng)為2＝. 例3　解題導(dǎo)引　與圓有關(guān)的最值問(wèn)題，常見的有以下幾種類型： (1)形如μ＝形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問(wèn)題；(2)形如t＝ax＋by形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問(wèn)題；(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問(wèn)題． 解　(1)y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距，當(dāng)直線y＝x＋b與圓相切時(shí)，縱截距b取得最大值或最小值，此時(shí)＝，解得b＝－2±. 所以y－x的最大值為－2＋，最小值為－2－. (2)x2＋y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識(shí)知，在原點(diǎn)與圓

17、心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值． 又圓心到原點(diǎn)的距離為＝2， 所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4， x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4. 變式遷移3　解　(1)設(shè)P(x，y)， 則P點(diǎn)的軌跡就是已知圓C：(x－3)2＋(y－3)2＝6. 而的幾何意義就是直線OP的斜率， 設(shè)＝k，則直線OP的方程為y＝kx. 當(dāng)直線OP與圓相切時(shí)，斜率取最值． 因?yàn)辄c(diǎn)C到直線y＝kx的距離d＝， 所以當(dāng)＝， 即k＝3±2時(shí)，直線OP與圓相切． 即的最大值為3＋2，最小值為3－2. 課后練習(xí)區(qū) 1．10 解析　圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為(x－1)2＋(y－3)2＝1

18、0，由圓的性質(zhì)可知最長(zhǎng)弦|AC|＝2，最短弦BD恰以E(0,1)為中心，設(shè)點(diǎn)F為其圓心，坐標(biāo)為(1,3)． 故EF＝，∴BD＝2＝2， ∴S四邊形ABCD＝AC·BD＝10. 2．(－2，)　3. 4．0?。? 解析　圓的方程可化為2＋(y－1)2＝1＋－b，由題知圓心在直線x＋y－1＝0上，∴－＋1－1＝0，∴a＝0，又點(diǎn)(2,1)在圓上，所以b＝－3. 5．3－ 解析　lAB：x－y＋2＝0，圓心(1,0)到lAB的距離d＝＝， ∴AB邊上的高的最小值為－1.又AB＝2. ∴S△min＝×2×＝3－. 6．(x＋1)2＋y2＝2 解析　直線x－y＋1＝0與x軸的交點(diǎn)為

19、(－1,0)，即圓C的圓心坐標(biāo)為(－1,0)．又圓C與直線x＋y＋3＝0相切，∴圓C的半徑為r＝＝.∴圓C的方程為(x＋1)2＋y2＝2. 7．(x－2)2＋(y－1)2＝2 解析　所求圓與x軸交于A(1,0)，B(3,0)兩點(diǎn)，故線段AB的垂直平分線x＝2過(guò)所求圓的圓心，又所求圓的圓心在直線2x－3y－1＝0上，所以，兩直線的交點(diǎn)即為所求圓的圓心坐標(biāo)，解之得為(2,1)，進(jìn)一步可求得半徑為，所以，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－1)2＝2. 8．0 解析　由于弦AB的長(zhǎng)為2，則圓心(1,2)到直線ax－y＋3＝0的距離等于1，即＝1，解得a＝0. 9．解　(1)∵AB的中垂線方程

20、為3x＋2y－15＝0， 由解得(3分) ∴圓心為C(7，－3)．又CB＝， 故所求圓的方程為(x－7)2＋(y＋3)2＝65.(7分) (2)設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，將P、Q點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入得 (8分) 又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，③ 由|x1－x2|＝6有D2－4F＝36.④ 由①②④解得D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝－8或D＝－6，E＝－8，F(xiàn)＝0. 故所求圓的方程為x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.(14分) 10．解　(1)設(shè)t＝x＋y，則y＝－x＋t，t可視為直線y＝－x＋t的縱截距，所以x＋y的最大值和最小值就

21、是直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)直線縱截距的最大值和最小值，即直線與圓相切時(shí)的縱截距． 由直線與圓相切，得圓心到直線的距離等于半徑， 即＝1，解得t＝－1或t＝－－1， 所以x＋y的最大值為－1， 最小值為－－1.(5分) (2)可視為點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)連線的斜率，的最大值和最小值就是過(guò)原點(diǎn)的直線與該圓有公共點(diǎn)時(shí)斜率的最大值和最小值，即直線與圓相切時(shí)的斜率． 設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線方程為y＝kx，由直線與圓相切，得圓心到直線的距離等于半徑，即＝1， 解得k＝－2＋或k＝－2－， 所以的最大值為－2＋， 最小值為－2－.(10分) (3)， 即，其最值可視為點(diǎn)(x，y)到定點(diǎn)(－1,2)的距離

22、的最值，可轉(zhuǎn)化為圓心(2，－3)到定點(diǎn)(－1,2)的距離與半徑的和或差． 又因?yàn)閳A心到定點(diǎn)(－1,2)的距離為，所以的最大值為＋1，最小值為－1.(14分) 11．解　建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)該圓拱所在圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由于圓心在y軸上，所以D＝0，那么方程即為x2＋y2＋Ey＋F＝0.(3分) 下面用待定系數(shù)法來(lái)確定E、F的值． 因?yàn)镻、B都在圓上，所以它們的坐標(biāo)(0,4)、(10,0)都是這個(gè)圓的方程的解， 于是有方程組(7分) 解得F＝－100，E＝21. ∴這個(gè)圓的方程是x2＋y2＋21y－100＝0.(10分) 把點(diǎn)P2的橫坐標(biāo)x＝－2代入這個(gè)圓的方程， 得(－2)2＋y2＋21y－100＝0，y2＋21y－96＝0. ∵P2的縱坐標(biāo)y>0，故應(yīng)取正值， ∴y＝≈3.86(米)． 所以支柱A2P2的高度約為3.86米．(14分)