新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫第十一章 第3講二項(xiàng)式定理

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料第 3 講二項(xiàng)式定理一、填空題1已知x1x7展開式的第 4 項(xiàng)等于 5，則 x 等于_解析由 T4C37x41x35 得 x17.答案172在x213xn的展開式中，只有第 5 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中常數(shù)項(xiàng)是_答案73在x22x6的二項(xiàng)展開式中，x2的系數(shù)為_解析在x22x6的展開式中，第 r1 項(xiàng)為Tr1Cr6x26r2xrCr6126rx3r(2)r，當(dāng) r1 時(shí)為含 x2的項(xiàng)，其系數(shù)是 C16125(2)38.答案384已知xax8展開式中常數(shù)項(xiàng)為 1 120，其中實(shí)數(shù) a 是常數(shù)，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和是_解析由題意知 C48(a)41 120，解得 a2，

2、令 x1，得展開式各項(xiàng)系數(shù)和為(1a)81 或 38.答案1 或 385設(shè)5x1xn的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為 M，二項(xiàng)式系數(shù)之和為 N，若 MN240，則展開式中 x 的系數(shù)為_解析由已知條件 4n2n240，解得 n4，Tr1Cr4(5x)4r1xr(1)r54rCr4x43r2，令 43r21，得 r2，T3150 x.答案1506ax1x8的展開式中 x2的系數(shù)為 70，則 a_答案17若(2x3)3a0a1(x2)a2(x2)2a3(x2)3，則 a0a12a23a3_答案58(1x)(1x)2(1x)3(1x)6的展開式中， 含x2項(xiàng)的系數(shù)為_解析含 x2項(xiàng)的系數(shù)為 C22C23C2

3、6C34C24C26C3735.答案359設(shè)二項(xiàng)式xax6(a0)的展開式中 x3的系數(shù)為 A，常數(shù)項(xiàng)為 B.若 B4A，則 a 的值是_解析對(duì)于 Tr1Cr6x6rax12rCr6(a)rx632r，BC46(a)4，AC26(a)2.B4A，a0，a2.答案210 xax2x1x5的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為 2，則該展開式中常數(shù)項(xiàng)為_解析令 x1， 由已知條件 1a2， 則 a1.2x1x5C05(2x)5C15(2x)41xC25(2x)31x2C35(2x)21x3C45(2x)1x41x532x580 x380 x401x101x31x5，則常數(shù)項(xiàng)為 40.答案40二、解答題11已知1

4、22xn，(1)若展開式中第 5 項(xiàng)，第 6 項(xiàng)與第 7 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的系數(shù)；(2)若展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于 79，求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)解(1)C4nC6n2C5n，n221n980.n7 或 n14，當(dāng) n7 時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是 T4和 T5.T4的系數(shù)為 C3712423352，T5的系數(shù)為 C471232470，當(dāng) n14 時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是 T8.T8的系數(shù)為 C714127273 432.(2)C0nC1nC2n79，n2n1560.n12 或 n13(舍去)設(shè) Tk1項(xiàng)的系數(shù)最大，122x121212(1

5、4x)12，Ck124kCk1124k1，Ck124kCk1124k1.9.4k10.4，k10.展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為 T11，T11C1012122210 x1016 896x10.12在楊輝三角形中，每一行除首末兩個(gè)數(shù)之外，其余每個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和(1)試用組合數(shù)表示這個(gè)一般規(guī)律；(2)在數(shù)表中試求第 n 行(含第 n 行)之前所有數(shù)之和；(3)試探究在楊輝三角形的某一行能否出現(xiàn)三個(gè)連續(xù)的數(shù)， 使它們的比是 3 45，并證明你的結(jié)論第 0 行1第 1 行11第 2 行121第 3 行1331第 4 行14641第 5 行15101051第 6 行1615201561解(1)Crn

6、1CrnCr1n.(2)12222n2n11.(3)設(shè) Cr1nCrnCr1n345，由Cr1nCrn34，得rnr134，即 3n7r30，由CrnCr1n45，得r1nr45，即 4n9r50解聯(lián)立方程組得，n62，r27，即 C2662C2762C2862345.13把所有正整數(shù)按上小下大，左小右大的原則排成如圖所示的數(shù)表，其中第 i行共有 2i1個(gè)正整數(shù)，設(shè) aij(i，jN*)表示位于這個(gè)數(shù)表中從上往下數(shù)第 i 行，從左往右數(shù)第 j 個(gè)數(shù)(1)求 a69的值；(2)用 i，j 表示 aij；(3)記 Ana11a22a33ann(nN*)，求證：當(dāng) n4 時(shí)，Ann2C3n.1234

7、56789101112131415(1)解a6925(91)40.(2)解數(shù)表中前(i1)行共有 12222i2(2i11)個(gè)數(shù)，則第 i行的第一個(gè)數(shù)是 2i1，aij2i1j1.(3)證明aij2i1j1，則 ann2n1n1(nN*)，An(12222n1)012(n1)2n1nn12，當(dāng) n4 時(shí)，An(11)n1nn12C0nC1nC2nC3n1nn12n2C3n.14 從函數(shù)角度看， 組合數(shù) Crn可看成是以 r 為自變量的函數(shù) f(r)， 其定義域是r|rN，rn(1)證明：f(r)nr1rf(r1)；(2)利用(1)的結(jié)論，證明：當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，(ab)n的展開式中最中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大證明(1)f(r)Crnn！r！nr！，又f(r1)Cr1nn！r1！nr1！，nr1rf(r1)nr1rn！r1！nr1！n！r！nr！.則 f(r)nr1rf(r1)成立(2)設(shè) n2k，f(r)nr1rf(r1)，f(r1)0，frfr12kr1r.令 f(r)f(r1)，2kr1r1.則 rk12(等號(hào)不成立)r1,2，k 時(shí)，f(r)f(r1)成立反之，當(dāng) rk1，k2，2k 時(shí)，f(r)f(r1)成立f(k)Ck2k最大即(ab)n的展開式中最中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.