新編高考數(shù)學理一輪資源庫 第12章學案1

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1、新編高考數(shù)學復習資料 總體分布及特征數(shù)的估計 導學目標： 1.了解分布的意義和作用，會列頻率分布表，會畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，理解它們各自的特點.2.理解樣本數(shù)據(jù)標準差的意義和作用，會計算數(shù)據(jù)標準差.3.能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標準差)，并給出合理的解釋.4.會用樣本的頻率分布估計總體分布，會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征，理解用樣本估計總體的思想.5.會用隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題． 自主梳理 1．在頻率分布直方圖中，縱軸表示____________________，數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用___

2、_____________表示，所有長方形面積之和________． 2．作頻率分布直方圖的步驟 (1)求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差)； (2)決定組距與組數(shù)； (3)將數(shù)據(jù)分組； (4)列頻率分布表； (5)畫頻率分布直方圖． 3．頻率分布折線圖和總體密度曲線 (1)頻率分布折線圖：將頻率分布直方圖中各相鄰的矩形的上底邊的________順次連結起來，就得頻率分布折線圖，簡稱頻率折線圖． (2)總體密度曲線：如果將樣本容量取得足夠大，分組的組距取得足夠小，那么相應的頻率折線圖將趨于一條光滑曲線，我們稱這條光滑曲線為總體分布的密度曲線． 4．當樣本數(shù)據(jù)較少時，莖葉

3、圖表示數(shù)據(jù)的效果較好，一是統(tǒng)計圖上沒有原始數(shù)據(jù)丟失，二是方便記錄與表示，但當樣本數(shù)據(jù)很多時，莖葉圖的效果就不是很好了． 5．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù) (1)在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)________的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)． (2)將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在________位置的一個數(shù)據(jù)(或中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)． (3)如果有n個數(shù)a1，a2，……，an，那么＝____________________叫做這n個數(shù)的平均數(shù)． 6．標準差和方差 (1)標準差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種__________． (2)標準差：s＝_____________________

4、_________________________________________ ________________________________________________________________________. (3)方差：s2＝_________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ (xn是樣本數(shù)據(jù)，n是樣本容量，是樣本平均數(shù))． 自我檢測 1．在抽

5、查產(chǎn)品的尺寸過程中，將其尺寸分成若干組，[a，b)是其中的一組，抽查出的個體在該組上的頻率為m，該組在頻率分布直方圖的高為h，則|a－b|＝________. 2．(2010·福建改編)若某校高一年級8個班參加合唱比賽的得分如莖葉圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是________和________． 8 9 7 9 3 1 6 4 0 2 3.(2010·濱州一模)在樣本的頻率分布直方圖中，共有11個小長方形，若中間一個小長方形的面積等于其他10個小長方形的面積和的，且樣本容量為160，則中間一組的頻數(shù)為

6、________． 4．(2010·山東改編)樣本中共有五個個體，其值分別為a,0,1,2,3.若該樣本的平均值為1，則樣本方差為______________． 5．(2010·江蘇)某棉紡廠為了解一批棉花的質(zhì)量，從中隨機抽測了100根棉花纖維的長度(棉花纖維的長度是棉花質(zhì)量的重要指標)，所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間[5,40]中，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測的100根中，有______根棉花纖維的長度小于20 mm. 探究點一　頻率分布直方圖 例1　(2010·福州調(diào)研)如圖是某市有關部門根據(jù)該市干部的月收入情況，作抽樣調(diào)查后畫出的樣本頻率分布直方圖，已知圖中第一組的頻數(shù)為

7、4 000，請根據(jù)該圖提供的信息解答下列問題：(圖中每組包括左端點，不包括右端點，如第一組表示收入在[1 000,1 500))． (1)求樣本中月收入在[2 500,3 500)的人數(shù)； (2)為了分析干部的收入與年齡、職業(yè)等方面的關系，必須從樣本的各組中按月收入再用分層抽樣方法抽出100人作進一步分析，則月收入在[1 500,2 000)的這段應抽多少人？ (3)試估計樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)． 變式遷移1　為了解某校高三學生的視力情況，隨機地抽查了該校100名高三學生的視力情況，得到頻率分布直方圖如圖，由于不慎將部分數(shù)據(jù)丟失，但

8、知道前4組頻數(shù)成等比數(shù)列，后6組的頻數(shù)成等差數(shù)列，設最大頻率為a，視力在4.6到5.0之間的學生數(shù)為b，則a，b值分別為________和________． 探究點二　用樣本數(shù)字特征估計總體數(shù)字特征 例2　甲、乙、丙三名射箭運動員在某次測試中各射箭20次，三人的測試成績?nèi)绫硭荆? 甲的成績 環(huán)數(shù) 7 8 9 10 頻數(shù) 5 5 5 5 乙的成績 環(huán)數(shù) 7 8 9 10 頻數(shù) 6 4 4 6 丙的成績 環(huán)數(shù) 7 8 9 10 頻數(shù) 4 6 6 4 s1、s2、s

9、3分別表示甲、乙、丙三名運動員這次測試成績的標準差，則有s1，s2，s3的大小關系為______________，三名運動員中________成績最穩(wěn)定． 變式遷移2　甲、乙兩名射擊運動員參加某大型運動會的預選賽，他們分別射擊了5次，成績?nèi)缦卤?單位：環(huán))： 甲 10 8 9 9 9 乙 10 10 7 9 9 如果甲、乙兩人中只有1人入選，則入選的最佳人選應是________． 探究點三　用莖葉圖分析數(shù)據(jù) 例3　隨機抽取某中學甲、乙兩班各10名同學，測量他們的身高(單位：cm)，獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖． (1)根據(jù)莖葉圖判斷哪個班的平均身高較高；

10、 (2)計算甲班的樣本方差； (3)現(xiàn)從乙班這10名同學中隨機抽取兩名身高不低于173 cm的同學，求身高為176 cm的同學被抽中的概率． 變式遷移3　(2010·天津漢沽模擬)某班甲、乙兩學生的高考備考成績?nèi)缦拢? 甲：512　554　528　549　536　556　534　541　522　538 乙：515　558　521　543　532　559　536　548　527　531 (1)用莖葉圖表示兩學生的成績； (2)分別求兩學生成績的中位數(shù)和平均分． 1．幾種表示頻率分布的方法的優(yōu)點與不足：

11、 (1)頻率分布表在數(shù)量表示上比較確切，但不夠直觀、形象，分析數(shù)據(jù)分布的總體態(tài)勢不太方便． (2)頻率分布直方圖能夠很容易地表示大量數(shù)據(jù)，非常直觀地表明分布的形狀，使我們能夠看到在分布表中看不清楚的數(shù)據(jù)模式．但從直方圖本身得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，也就是說，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了． (3)頻率分布折線圖的優(yōu)點是它反映了數(shù)據(jù)的變化趨勢， 如果樣本容量不斷增大，分組的組距不斷縮小，那么折線圖就趨向于總體分布的密度曲線． (4)用莖葉圖優(yōu)點是原有信息不會抹掉，能夠展示數(shù)據(jù)的分布情況，但當樣本數(shù)據(jù)較多或數(shù)據(jù)位數(shù)較多時，莖葉圖就顯得不太方便了． 2．標準差、方差描述了

12、一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大?。畼藴什?、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，標準差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，因為方差與原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以雖然方差與標準差在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上是一樣的，但在解決實際問題時，一般多采用標準差． (滿分：90分) 一、填空題(每小題6分，共48分) 1．(2010·陜西改編)如圖，樣本A和B分別取自兩個不同的總體，它們的樣本平均數(shù)分別為A和B，樣本標準差分別為sA和sB，則A________B，sA________sB(填大小關系)． 2．(2010·寧波期末)10名工人某天生產(chǎn)同一種零件，生產(chǎn)的件數(shù)

13、分別是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，設其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則a＝________，b＝________，c＝________. 3．(2010·浙江金華十校3月模擬)為了了解某校高三學生的視力情況，隨機地抽查了該校100名高三學生的視力情況，得到頻率分布直方圖如圖，由于不慎將部分數(shù)據(jù)丟失，但知道后五組頻數(shù)和為62，設視力在4.6～4.8之間的學生數(shù)為a，最大頻率為0.32，則a的值為________． 4．下圖是某學校舉行的運動會上，七位評委為某體操項目打出的分數(shù)的莖葉統(tǒng)計圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為___

14、_____和________． 5．(2011·四川改編)有一個容量為66的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下： [11.5,15.5)　2　 [15.5,19.5)　4　 [19.5,23.5)　9 [23.5,27.5)　18　[27.5,31.5)　11　[31.5,35.5)　12 [35.5,39.5)　7　 [39.5,43.5)　3 根據(jù)樣本的頻率分布估計，數(shù)據(jù)落在[31.5,43.5)的概率約是________． 6．(2010·天津)甲、乙兩人在10天中每天加工零件的個數(shù)用莖葉圖表示如下圖，中間一列的數(shù)字表示零件個數(shù)的十位數(shù)，兩邊的數(shù)字表示零件個數(shù)的個位數(shù)，則這

15、10天甲、乙兩人日加工零件的平均數(shù)分別為______和__________________________________________． 7．(2010·福建)將容量為n的樣本中的數(shù)據(jù)分成6組，繪制頻率分布直方圖，若第一組至第六組數(shù)據(jù)的頻率之比為2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三組數(shù)據(jù)的頻數(shù)之和等于27，則n＝________. 8．(2011·江蘇)某老師從星期一到星期五收到的信件數(shù)分別為10,6,8,5,6，則該組數(shù)據(jù)的方差s2＝________. 二、解答題(共42分) 9．(14分)甲、乙兩人參加某體育項目訓練，近期的五次測試成績得分情況如圖所示． (1)分別求出

16、兩人得分的平均數(shù)與方差； (2)根據(jù)圖和上面算得的結果，對兩人的訓練成績作出評價． 10．(14分)(2010·湖北)為了了解一個小水庫中養(yǎng)殖的魚的有關情況，從這個水庫中多個不同位置捕撈出100條魚，稱得每條魚的質(zhì)量(單位：kg)，并將所得數(shù)據(jù)分組，畫出頻率分布直方圖(如圖所示)． (1)在下面表格中填寫相應的頻率； 分組 頻率 (2)估計數(shù)據(jù)落在中的概率為多少； (3)將上面捕撈的100條魚分別作一記號后再放回水庫．幾天后再從水庫的多處不同位置捕撈出120條魚，其中帶有記號的魚有

17、6條．請根據(jù)這一情況來估計該水庫中魚的總條數(shù)． 11．(14分)(2010·安徽)某市2010年4月1日－4月30日對空氣污染指數(shù)的監(jiān)測數(shù)據(jù)如下(主要污染物為可吸入顆粒物)： 61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95， 91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45. (1)完成頻率分布表． (2)作出頻率分布直方圖． (3)根據(jù)國家標準，污染指數(shù)在0～50之間時，空氣質(zhì)量為優(yōu)；在51～100之間時，為良；在101～150之間時，為輕微污

18、染；在151～200之間時，為輕度污染． 請你依據(jù)所給數(shù)據(jù)和上述標準，對該市的空氣質(zhì)量給出一個簡短評價． 學案55　總體分布及特征數(shù)的估計 答案 自主梳理 1．頻率與組距的比值　小長方形的面積　等于1　3.(1)中點　5.(1)最多　(2)中間　(3)　6.(1)平均距離　(2)　(3)[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2] 自我檢測 1. 解析　在頻率分布直方圖中橫軸是組距，高為， 所以|a－b|＝. 2．91.5　91.5 解析　將這組數(shù)據(jù)從小到大排列，得 87,89,90,91,92,93,94,96. 故平

19、均數(shù)＝＝91.5， 中位數(shù)為＝91.5. 3．32 解析　∵中間一個占總面積的，即＝， ∴x＝32. 4．2 解析　由樣本平均值為1，知(a＋0＋1＋2＋3)＝1，故a＝－1. ∴樣本方差s2＝[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝(4＋1＋0＋1＋4)＝2. 5．30 解析　在頻率分布直方圖中小于20 mm的頻率是0.01×5＋0.01×5＋0.04×5＝0.3，故小于20 mm的棉花纖維的根數(shù)是0.3×100＝30(根)． 課堂活動區(qū) 例1　解題導引　(1)解關于圖形信息題的關鍵是正確理解各種統(tǒng)計圖表中各個量的含義，靈活運用這些信

20、息和數(shù)據(jù)去發(fā)現(xiàn)結論． (2)在頻率分布直方圖中，最高矩形的中點對應值是眾數(shù)；而中位數(shù)的左右兩邊的直方圖面積相等；平均數(shù)是直方圖的“重心”． 解　(1)∵月收入在[1 000,1 500)的概率為0.000 8×500＝0.4，且有4 000人， ∴樣本的容量n＝＝10 000； 月收入在[1 500,2 000)的頻率為0.000 4×500＝0.2； 月收入在[2 000,2 500)的頻率為0.000 3×500＝0.15； 月收入在[3 500,4 000)的頻率為0.000 1×500＝0.05. ∴月收入在[2 500,3 500)的頻率為 1－(0.4＋0.2＋0.

21、15＋0.05)＝0.2. ∴樣本中月收入在[2 500,3 500)的人數(shù)為 0.2×10 000＝2 000. (2)∵月收入在[1 500,2 000)的人數(shù)為 0.2×10 000＝2 000， ∴再從10 000人中用分層抽樣方法抽出100人， 則月收入在[1 500,2 000)的這段應抽取100×＝20(人)． (3)由(1)知月收入在[1 000,2 000)的頻率為0.4＋0.2＝0.6>0.5， ∴樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為 1 500＋＝1 500＋250＝1 750(元)． 變式遷移1　0.27　78 解析　由頻率分布直方圖知組距為0.1. 4.3～4.

22、4間的頻數(shù)為100×0.1×0.1＝1. 4.4～4.5間的頻數(shù)為100×0.1×0.3＝3. 又前4組的頻數(shù)成等比數(shù)列，∴公比為3. 從而4.6～4.7間的頻數(shù)最大，且為1×33＝27. ∴a＝0.27. 根據(jù)后6組頻數(shù)成等差數(shù)列，且共有100－13＝87(人)． 設公差為d，則6×27＋d＝87. ∴d＝－5，從而b＝4×27＋×(－5)＝78. 例2　s2>s1>s3　丙 解析　由已知可得甲、乙、丙的平均成績均為8.5. 方法一　∵s＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]， ∴s1＝＝. 同理s2＝，s3＝，∴s2>s1>s3. 丙成績最穩(wěn)定． 方

23、法二　∵s＝(x＋x＋…＋x)－2， ∴s＝(5×72＋5×82＋5×92＋5×102)－8.52＝73.5－72.25＝1.25＝， ∴s1＝.同理s2＝，s3＝， ∴s2>s1>s3.丙成績最穩(wěn)定． 變式遷移2　甲 解析　甲＝乙＝9，s＝[(9－10)2＋(9－8)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝， s＝[(9－10)2＋(9－10)2＋(9－7)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝>s，故甲更穩(wěn)定． 例3　解題導引　莖葉圖在樣本數(shù)據(jù)較少，較為集中且位數(shù)不多時比較適用．由于它較好地保留了原始數(shù)據(jù)，所以可以幫助我們分析樣本數(shù)據(jù)的大致頻率分布，還可以用來分析樣本數(shù)據(jù)

24、的一些數(shù)字特征．但當樣本數(shù)據(jù)較多時，莖葉圖就顯得不太方便了．因為數(shù)據(jù)較多時，枝葉就會很長，需要占據(jù)較多的空間． 解　(1)由莖葉圖可知：甲班身高集中于160～179之間，而乙班身高集中于170～180之間．因此乙班平均身高高于甲班． (2)＝＝170， 甲班的樣本方差為 [(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2. (3)設身高為176 cm的同學被抽中的事件為A， 從乙班10名同學中抽中兩名身

25、高不低于173 cm的同學有：(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)共10個基本事件，而事件A含有4個基本事件，∴P(A)＝＝. 變式遷移3　解　(1)兩學生成績的莖葉圖如圖所示． (2)將甲、乙兩學生的成績從小到大排列為： 甲：512　522　528　534　536　538　541　549　554　556 乙：515　521　527　531　532　536　543　548　558　559 從以上排列可知甲學生成績的中位數(shù)

26、為 ＝537. 乙學生成績的中位數(shù)為＝534. 甲學生成績的平均分為 500＋＝537， 乙學生成績的平均分為 500＋＝537. 課后練習區(qū) 1．<　> 解析　A中的數(shù)據(jù)都不大于B中的數(shù)據(jù)，所以AsB. 2．14.7　15　17 3．54 解析　前兩組中的頻數(shù)為100×(0.05＋0.11)＝16. ∵后五組頻數(shù)和為62，∴前三組為38. ∴第三組為22.又最大頻率為0.32的最大頻數(shù)為0.32×100＝32，∴a＝22＋32＝54. 4．85　1.6 解析　去掉最高分93，最低分79， 平均數(shù)為(84＋8

27、4＋86＋84＋87)＝85， 方差s2＝[(84－85)2＋(84－85)2＋(86－85)2＋(84－85)2＋(87－85)2]＝＝1.6. 5. 解析　由條件可知，落在[31.5,43.5)的數(shù)據(jù)有12＋7＋3＝22(個)，故所求概率約為＝. 6．24　23 解析　甲＝(10×2＋20×5＋30×3＋17＋6＋7)＝24， 乙＝(10×3＋20×4＋30×3＋17＋11＋2)＝23. 7．60 解析　∵第一組至第六組數(shù)據(jù)的頻率之比為2∶3∶4∶6∶4∶1，∴前三組頻數(shù)為·n＝27，故n＝60. 8．3.2 解析?。剑?， ∴s2＝[(10－7)2＋(6－7)2＋(

28、8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝＝3.2. 9．解　(1)甲、乙兩人五次測試的成績分別為： 甲　10分　13分　12分　14分　16分 乙　13分　14分　12分　12分　14分 甲、乙兩人的平均成績甲＝乙，都是13分，(6分) s＝[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4， s＝[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8.(12分) (2)由s>s，可知乙的成績較穩(wěn)定． 從折線圖看，甲的成績基本上呈上升狀態(tài)，而乙的成績在平均線上下波動，可知甲的成績在不斷

29、提高，而乙的成績則無明顯提高．(14分) 10．解　(1)根據(jù)頻率分布直方圖可知，頻率＝組距×(頻率/組距)，故可得下表： 分組 頻率 0.05 0.20 0.28 0.30 0.15 0.02 (6分) (2)因為0.30＋0.15＋0.02＝0.47，所以數(shù)據(jù)落在[1.15,1.30)中的概率約為0.47.(10分) (3)因為＝2 000， 所以水庫中魚的總條數(shù)約為2 000.(14分) 11．解　(1)頻率分布表： 分組 頻數(shù) 頻率 [41,51) 2 [51,61) 1 [61,71) 4 [71,81) 6 [81,91) 10 [91,101) 5 [101,111] 2 (6分) (2)頻率分布直方圖如圖所示． (10分) (3)答對下述兩條中的一條即可： ①該市有一個月中空氣污染指數(shù)有2天處于優(yōu)的水平，占當月天數(shù)的；有26天處于良的水平，占當月天數(shù)的；處于優(yōu)或良的天數(shù)為28，占當月天數(shù)的.說明該市空氣質(zhì)量基本良好． ②輕微污染有2天，占當月天數(shù)的；污染指數(shù)在80以上的接近輕微污染的天數(shù)15，加上處于輕微污染的天數(shù)2，占當月天數(shù)的，超過50%；說明該市空氣質(zhì)量有待進一步改善．(14分)