新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫 第2章學(xué)案5
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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料
學(xué)案5 函數(shù)的單調(diào)性與最值
導(dǎo)學(xué)目標(biāo): 1.理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值及其幾何意義.2.會(huì)用定義判斷函數(shù)的單調(diào)性,會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及會(huì)用單調(diào)性求函數(shù)的最值.
自主梳理
1.單調(diào)性
(1)定義:一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)锳,如果對于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個(gè)值x1,x2,當(dāng)x1
2、______;(x1-x2)(f(x1)-f(x2))<0?<0?f(x)在[a,b]上是單調(diào)________. (3)單調(diào)區(qū)間:如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)或減函數(shù),那么說函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上具有單調(diào)性,單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間統(tǒng)稱為__________. (4)函數(shù)y=x+(a>0)在 (-∞,-),(,+∞)上單調(diào)________;在(-,0),(0,)上單調(diào)________;函數(shù)y=x+(a<0)在____________上單調(diào)遞增. 2.最值 一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)锳,如果存在x0∈A,使得對于任意的x∈A,都有f(x)≤f(x0)(或≥f(
3、x0)),則稱f(x0)為y=f(x)的最____(或最____)值. 自我檢測 1.若函數(shù)y=ax與y=-在(0,+∞)上都是減函數(shù),則y=ax2+bx在(0,+∞)上是________________.(用“單調(diào)減函數(shù)”、“單調(diào)增函數(shù)”、“不單調(diào)”填空) 2.(2011·連云港模擬)設(shè)f(x)是(-∞,+∞)上的增函數(shù),a為實(shí)數(shù),則有f(a2+1)________f(a).(填“>”、“<”或“=”) 3.下列函數(shù)在(0,1)上是增函數(shù)的是________(填序號). ①y=1-2x;②y=;③y=-x2+2x;④y=5. 4.若f(x)=x2+2(a-1)x+4是區(qū)間(-∞,
4、4]上的減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 5.當(dāng)x∈[0,5]時(shí),函數(shù)f(x)=3x2-4x+c的值域?yàn)開_____________________. 探究點(diǎn)一 函數(shù)單調(diào)性的判定及證明 例1 設(shè)函數(shù)f(x)=(a>b>0),求f(x)的單調(diào)區(qū)間,并說明f(x)在其單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性. 變式遷移1 已知f(x)是定義在R上的增函數(shù),對x∈R有f(x)>0,且f(5)=1,設(shè)F(x)=f(x)+,討論F(x)的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論. 探究點(diǎn)二 函數(shù)的單調(diào)性與最值 例2 已知函數(shù)f(x)=,x∈[1,+∞). (1)當(dāng)a=時(shí),求函數(shù)f(x
5、)的最小值; (2)若對任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 變式遷移2 已知函數(shù)f(x)=x-+在(1,+∞)上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 探究點(diǎn)三 抽象函數(shù)的單調(diào)性 例3 已知函數(shù)f(x)對于任意x,y∈R,總有f(x)+f(y)=f(x+y),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)<0,f(1)=-. (1)求證:f(x)在R上是減函數(shù); (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 變式遷移3 已知定義在區(qū)間(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足f()=f(x1)-f(x2),且當(dāng)x>1時(shí),f(x)<0.
6、(1)求f(1)的值;
(2)判斷f(x)的單調(diào)性;
(3)若f(3)=-1,解不等式f(|x|)<-2.
分類討論及數(shù)形結(jié)合思想
例 (14分)求f(x)=x2-2ax-1在區(qū)間[0,2]上的最大值和最小值.
【答題模板】
解 f(x)=(x-a)2-1-a2,對稱軸為x=a.[2分]
(1)當(dāng)a<0時(shí),由圖①可知,f(x)min=f(0)=-1,f(x)max=f(2)=3-4a.[5分]
(2)當(dāng)0≤a<1時(shí),由圖②可知,f(x)min=f(a)=-1-a2,f(x)max=f(2)=3-4a.[8分]
(3)當(dāng)1
7、min=f(a)=-1-a2,f(x)max=f(0)=-1.[11分]
(4)當(dāng)a>2時(shí),由圖④可知,f(x)min=f(2)=3-4a,f(x)max=f(0)=-1.
綜上,(1)當(dāng)a<0時(shí),f(x)min=-1,f(x)max=3-4a;
(2)當(dāng)0≤a<1時(shí),f(x)min=-1-a2,f(x)max=3-4a;
(3)當(dāng)12時(shí),f(x)min=3-4a,f(x)max=-1.[14分]
【突破思維障礙】
(1)二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是由圖象的對稱軸確定的.故只需確定對稱軸與區(qū)間的關(guān)系.由于對稱 8、軸是x=a,而a的取值不定,從而導(dǎo)致了分類討論.
(2)不是應(yīng)該分a<0,0≤a≤2,a>2三種情況討論嗎?為什么成了四種情況?這是由于拋物線的對稱軸在區(qū)間[0,2]所對應(yīng)的區(qū)域時(shí),最小值是在頂點(diǎn)處取得,但最大值卻有可能是f(0),也有可能是f(2).
函數(shù)的單調(diào)性的判定與單調(diào)區(qū)間的確定常用方法有:
(1)定義法;(2)導(dǎo)數(shù)法;(3)圖象法;(4)單調(diào)性的運(yùn)算性質(zhì).
總結(jié)如下:若函數(shù)f(x),g(x)在區(qū)間I上具有單調(diào)性,則在區(qū)間I上具有以下性質(zhì):
(1)f(x)與f(x)+C具有相同的單調(diào)性.
(2)f(x)與af(x),當(dāng)a>0時(shí),具有相同的單調(diào)性,當(dāng)a<0時(shí),具有相反的單 9、調(diào)性.
(3)當(dāng)f(x)恒不等于零時(shí),f(x)與具有相反的單調(diào)性.
(4)當(dāng)f(x),g(x)都是增(減)函數(shù)時(shí),則f(x)+g(x)是增(減)函數(shù).
(5)當(dāng)f(x),g(x)都是增(減)函數(shù)時(shí),則f(x)·g(x)當(dāng)兩者都恒大于零時(shí),是增(減)函數(shù);當(dāng)兩者都恒小于零時(shí),是減(增)函數(shù).
(滿分:90分)
一、填空題(每小題6分,共48分)
1.(2010·泰州模擬)“a=1”是“函數(shù)f(x)=x2-2ax+3在區(qū)間[1,+∞)上為增函數(shù)”的____________條件.
2.(2009·天津改編)已知函數(shù)f(x)=若f(2-a2)>f(a),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_____ 10、___.
3.(2009·寧夏,海南改編)用min{a,b,c}表示a,b,c三個(gè)數(shù)中的最小值.設(shè)f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),則f(x)的最大值為________.
4.若f(x)=-x2+2ax與g(x)=在區(qū)間[1,2]上都是減函數(shù),則a的取值范圍為________.
5.已知定義在R上的增函數(shù)f(x),滿足f(-x)+f(x)=0,x1,x2,x3∈R,且x1+x2>0,x2+x3>0,x3+x1>0,則f(x1)+f(x2)+f(x3)的符號為________(填“正”、“負(fù)”、“不確定”).
6.(2011·淮安調(diào)研)函數(shù)y=-(x-3)|x|的遞增 11、區(qū)間是________.
7.設(shè)f(x)是增函數(shù),則下列結(jié)論一定正確的是________(填序號).
①y=[f(x)]2是增函數(shù);
②y=是減函數(shù);
③y=-f(x)是減函數(shù);
④y=|f(x)|是增函數(shù).
8.(2011·蘇州質(zhì)檢)設(shè)0 12、0恒成立,求a的取值范圍.
11.(14分)已知f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數(shù),且f(1)=1,若a,b∈[-1,1],a+b≠0時(shí),有>0成立.
(1)判斷f(x)在[-1,1]上的單調(diào)性,并證明;
(2)解不等式:f(x+) 13、c,55+c]
課堂活動(dòng)區(qū)
例1 解題導(dǎo)引 對于給出具體解析式的函數(shù),判斷或證明其在某區(qū)間上的單調(diào)性問題,可以結(jié)合定義(基本步驟為:取點(diǎn),作差或作商,變形,判斷)來求解.可導(dǎo)函數(shù)則可以利用導(dǎo)數(shù)求解.有些函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)或多個(gè)基本初等函數(shù),利用其單調(diào)性可以方便求解.
解 在定義域內(nèi)任取x1,x2,且使x1 14、 15、f(x1)>1,
∴f(x1)·f(x2)>1,∴1->0,
∴F(x2)>F(x1).
綜上,F(xiàn)(x)在(-∞,5)上為減函數(shù),在(5,+∞)上為增函數(shù).
例2 解 (1)當(dāng)a=時(shí),f(x)=x++2,
設(shè)x1,x2∈[1,+∞)且x1 16、=>0恒成立,等價(jià)于x2+2x+a>0恒成立.
設(shè)y=x2+2x+a,x∈[1,+∞),
y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1遞增,
∴當(dāng)x=1時(shí),ymin=3+a,
于是當(dāng)且僅當(dāng)ymin=3+a>0時(shí),函數(shù)f(x)恒成立,
故a>-3.
方法二 f(x)=x++2,x∈[1,+∞),
當(dāng)a≥0時(shí),函數(shù)f(x)的值恒為正,滿足題意,當(dāng)a<0時(shí),函數(shù)f(x)遞增;
當(dāng)x=1時(shí),f(x)min=3+a,于是當(dāng)且僅當(dāng)f(x)min=3+a>0時(shí),函數(shù)f(x)>0恒成立,故a>-3.
方法三 在區(qū)間[1,+∞)上f(x)=>0恒成立等價(jià)于x2+2x+a>0恒成立.
即a>-x2 17、-2x恒成立.
又∵x∈[1,+∞),a>-x2-2x恒成立,
∴a應(yīng)大于函數(shù)u=-x2-2x,x∈[1,+∞)的最大值.
∴a>-x2-2x=-(x+1)2+1.
當(dāng)x=1時(shí),u取得最大值-3,∴a>-3.
變式遷移2 解 設(shè)1 18、及所求的結(jié)論來適當(dāng)取特殊值說明抽象函數(shù)的特點(diǎn).證明f(x)為單調(diào)減函數(shù),首選方法是用單調(diào)性的定義來證.(2)用函數(shù)的單調(diào)性求最值.
解 (1)方法一 ∵函數(shù)f(x)對于任意x,y∈R總有f(x)+f(y)=f(x+y),
∴令x=y(tǒng)=0,得f(0)=0.
再令y=-x,得f(-x)=-f(x).
在R上任取x1>x2,則x1-x2>0,
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2).
又∵x>0時(shí),f(x)<0,而x1-x2>0,
∴f(x1-x2)<0,即f(x1) 19、2)
=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)
=f(x1-x2).
又∵x>0時(shí),f(x)<0.而x1-x2>0,∴f(x1-x2)<0,
即f(x1) 20、遷移3 解 (1)令x1=x2>0,
代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.
(2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,則>1,
由于當(dāng)x>1時(shí),f(x)<0,
∴f()<0,即f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1) 21、f(-x) 22、
解析 f(x)在[a,+∞)上是減函數(shù),對于g(x),只有當(dāng)a>0時(shí),它有兩個(gè)減區(qū)間為(-∞,-1)和(-1,+∞),故只需區(qū)間[1,2]是f(x)和g(x)的減區(qū)間的子集即可,則a的取值范圍是00,x2+x3>0,x3+x1>0,
∴x1>-x2,x2>-x3,x3>-x1.
又∵f(x1)>f(-x2)=-f(x2),
f(x2)>f(-x3)=-f(x3),
f(x3)>f(-x1)=-f(x1),
∴f(x1)+f(x2)+f(x3)>-f(x2)-f(x3)-f(x1) 23、.
∴f(x1)+f(x2)+f(x3)>0.
6.[0,]
解析 y=.
畫圖象如圖所示:
可知遞增區(qū)間為[0,].
7.③
解析 舉例:設(shè)f(x)=x,易知①②④均不正確.
8.4
解析 y=+=,當(dāng)0 24、………………………………(6分)
(2)解 由題意a-<2x在(1,+∞)上恒成立,
設(shè)h(x)=2x+,則a 25、,
g(a)=f(-2)=7-3a≥0,得a≤.
又a>4,故此時(shí)的a不存在.…………………………………………………………(4分)
(2)當(dāng)-∈[-2,2],即-4≤a≤4時(shí),
g(a)=f(-)=3-a-≥0得-6≤a≤2.
又-4≤a≤4,故-4≤a≤2.……………………………………………………………(8分)
(3)當(dāng)->2,即a<-4時(shí),
g(a)=f(2)=7+a≥0得a≥-7.
又a<-4,故-7≤a<-4.………………………………………………………………(13分)
綜上得所求a的取值范圍是-7≤a≤2.………………………………………………(14分)
11.解 ( 26、1)任取x1,x2∈[-1,1],且x1
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