《新版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件: 專題突破練5 平面解析幾何中的高考熱點(diǎn)問題 理 北師大版》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《新版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件: 專題突破練5 平面解析幾何中的高考熱點(diǎn)問題 理 北師大版(4頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
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2、 1
專題突破練(五) 平面解析幾何中的高考熱點(diǎn)問題
(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第309頁)
1.設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直,直線MF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.
(1)若直線MN的斜率為,求C的離心率;
(2)若直線MN在y軸上的截距為2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.
[解] (1)根據(jù)c=及題設(shè)知M,=,2b
3、2=3ac.
將b2=a2-c2代入2b2=3ac,
解得=,=-2(舍去).
故C的離心率為.
(2)由題意,原點(diǎn)O為F1F2的中點(diǎn),MF2∥y軸,
所以直線MF1與y軸的交點(diǎn)D(0,2)是線段MF1的中點(diǎn),
故=4,即b2=4a.①
由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.
設(shè)N(x1,y1),由題意知y1<0,則
即
代入C的方程,得+=1.②
將①及c=代入②得+=1.
解得a=7,b2=4a=28,故a=7,b=2.
2.(20xx·??谡{(diào)研)已知橢圓E:+=1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn),離心率為,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn).
圖2
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方
4、程;
(2)如圖2,過橢圓E的左焦點(diǎn)F任作一條不垂直于坐標(biāo)軸的直線l,交橢圓E于P,Q兩點(diǎn),記弦PQ的中點(diǎn)為M, 過F作PQ的垂線FN交直線OM于點(diǎn)N,證明:點(diǎn)N在一條定直線上.
[解] (1)由題易得解得
所以c=2,所以橢圓E的方程為+y2=1.
(2)證明:設(shè)直線l的方程為
y=k(x+2)(k≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2),
聯(lián)立y=k(x+2)與+y2=1,
可得(1+5k2)x2+20k2x+20k2-5=0,
所以x1+x2=-,x1x2=.
設(shè)直線FN的方程為y=-(x+2),M(x0,y0),
則x0==-,y0=k(x0+2)=,
所以kO
5、M==-,
所以直線OM的方程為y=-x,
聯(lián)立解得
所以點(diǎn)N在定直線x=-上.
3.(20xx·合肥二檢)如圖3,已知拋物線E:y2=2px(p>0)與圓O:x2+y2=8相交于A,B兩點(diǎn),且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2.過劣弧AB上一動(dòng)點(diǎn)P(x0,y0)作圓O的切線交拋物線E于C,D兩點(diǎn),分別以C,D為切點(diǎn)作拋物線E的切線l1,l2,l1與l2相交于點(diǎn)M.
圖3
(1)求拋物線E的方程;
(2)求點(diǎn)M到直線CD距離的最大值.
[解] (1)由xA=2得y=4,故4p=4,解得p=1.
于是拋物線E的方程為y2=2x.
(2)設(shè)C,D,
切線l1:y-y1=k,
代入y2=2
6、x得ky2-2y+2y1-ky=0,
由Δ=4-4k(2y1-ky)=0解得k=,
∴l(xiāng)1的方程為y=x+,
同理,l2的方程為y=x+.
聯(lián)立解得
易得CD的方程為x0x+y0y=8,
其中x0,y0滿足x+y=8,x0∈[2,2].
聯(lián)立得x0y2+2y0y-16=0,
則代入
∴M(x,y)滿足
即點(diǎn)M的坐標(biāo)為.
點(diǎn)M到直線CD:x0x+y0y=8的距離d====為關(guān)于x0的單調(diào)遞減函數(shù),故當(dāng)且僅當(dāng)x0=2時(shí),dmax==.
4.(20xx·陜西質(zhì)檢(一))已知F1,F(xiàn)2為橢圓E:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓上,且|PF1|+|PF2|=4.
(
7、1)求橢圓E的方程;
(2)過F1的直線l1,l2分別交橢圓E于A,C和B,D,且l1⊥l2,問是否存在常數(shù)λ,使得,λ,成等差數(shù)列?若存在,求出λ的值,若不存在,請(qǐng)說明理由.
[解] (1)∵|PF1|+|PF2|=4,∴2a=4,a=2.
∴橢圓E的方程為+=1.
將P代入可得b2=3,
∴橢圓E的方程為+=1.
(2)存在.①當(dāng)AC的斜率為零或斜率不存在時(shí),
+=+=;
②當(dāng)AC的斜率k存在且k≠0時(shí),
設(shè)AC的方程為y=k(x+1),
代入橢圓方程+=1,并化簡(jiǎn)得
(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0.
設(shè)A(x1,y1),C(x2,y2),
則x1+x2=-,x1·x2=,
|AC|=|x1-x2|
==.
同理,∵直線BD的斜率為-,
∴|BD|==.
∴+=+=.
綜上,2λ=+=,∴λ=.
∴存在常數(shù)λ=,使得,λ,成等差數(shù)列.