新版一輪優(yōu)化探究文數(shù)蘇教版練習(xí)：第八章 第四節(jié)　直線、平面垂直的判定及其性質(zhì) Word版含解析

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2、 1 一、填空題 1．給定空間中的直線l及平面α，條件“直線l與平面α內(nèi)無數(shù)條直線都垂直”是“直線l與平面α垂直”的________條件． 解析：若直線l⊥平面α，由定義，l垂直α內(nèi)任意直線，所以l與α內(nèi)無數(shù)條直線都垂直． 若l與α內(nèi)無數(shù)條相互平行的直線垂直，則不能得出l與平面α垂直． 所以“直線l與平面α內(nèi)無數(shù)條直線都垂直”是“直線l與平面α垂直”的必要不充分條件．

3、 答案：必要不充分 2．已知直線l，m，n，平面α，m?α，n?α，則“l(fā)⊥α”是“l(fā)⊥m且l⊥n”的________條件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一) 解析：若l⊥α，則l垂直于平面α內(nèi)的任意直線，故l⊥m且l⊥n，但若l⊥m且l⊥n，不能得出l⊥α. 答案：充分不必要 3．設(shè)m、n是兩條不同的直線，α、β是兩個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題： ①若m⊥n，m⊥α，n?α，則n∥α； ②若m∥α，α⊥β，則m⊥β； ③若m⊥β，α⊥β，則m∥α或m?α； ④若m⊥n，m⊥α，n⊥β，則α⊥β. 則其中正確命題的序號為________．

4、解析：②中可能有m∥β，故②不正確． 答案：①③④ 4．已知平面α，β，γ，直線l，m滿足α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，l⊥m，那么：①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.由上述條件可推出的結(jié)論有________(填序號)． 解析：由條件知α⊥γ，γ∩α＝m，l?γ，l⊥m，則根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理有l(wèi)⊥α，即②成立；又l?β，根據(jù)面面垂直的判定定理有α⊥β，即④成立． 答案：②④ 5.如圖所示，PA⊥圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點(diǎn)，E、F分別是點(diǎn)A在PB、PC上的正投影，給出下列結(jié)論： ①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC. 其中

5、正確結(jié)論的序號是________． 解析：由題意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC， 又AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC. ∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C， ∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC. 又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF. ∴PB⊥EF.故①②③正確，④錯(cuò)． 答案：①②③ 6．正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運(yùn)動(dòng)并且總保持AP⊥BD1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是________． 解析：∵BD1⊥平面AB1C，當(dāng)P點(diǎn)在線段B1C上時(shí)，AP?平面AB1C，∴AP⊥BD1. 答案：線段B1C

6、7．下列五個(gè)正方體圖形中，l是正方體的一條對角線，點(diǎn)M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出l⊥面MNP的圖形的序號是________(寫出所有符合要求的圖形序號)． 解析：為了得到本題答案，必須對5個(gè)圖形逐一進(jìn)行判別．對于給定的正方體，l位置固定，截面MNP變動(dòng)，l與面MNP是否垂直，可從正、反兩方面進(jìn)行判斷．在MN，NP，MP三條線中，若有一條不垂直l，則可判定l與面MNP不垂直；若有兩條與l都垂直，則可斷定l⊥面MNP；若有l(wèi)的垂面∥面MNP，也可得l⊥面MNP. 答案：①④⑤ 8．如圖，平面ABC⊥平面BDC，∠BAC＝∠BDC＝90°，且AB＝AC＝a，則AD＝_______

7、_. 解析：取BC中點(diǎn)E，連結(jié)ED、AE， ∵AB＝AC，∴AE⊥BC. ∵平面ABC⊥平面BDC， ∴AE⊥平面BCD. ∴AE⊥ED. 在Rt△ABC和Rt△BCD中， AE＝ED＝BC＝a， ∴AD＝＝a. 答案：a 9．將正方形ABCD沿對角線BD折起，使平面ABD⊥平面CBD，E是CD的中點(diǎn)，則異面直線AE、BC所成角的正切值為________． 解析：如圖所示，取BD中點(diǎn)O，連結(jié)AO、OE， 則AO⊥BD. ∵平面ABD⊥平面CBD，∴AO⊥平面BCD， 又OE∥BC， ∴∠AEO即為AE、BC所成的角． 設(shè)正方形的邊長為2，則OE＝1，AO＝，

8、 ∴tan ∠AEO＝. 答案： 二、解答題 10．四面體ABCD中，AC＝BD，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，且EF＝AC，∠BDC＝90°.求證：BD⊥平面ACD. 證明：如圖所示，取CD的中點(diǎn)G，連結(jié)EG、FG. ∵E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)， ∴EG綊AC，F(xiàn)G綊BD. 又AC＝BD，∴EG＝FG＝AC. 在△EFG中，EG2＋FG2＝AC2＝EF2.∴EG⊥FG.∴BD⊥AC. 又∠BDC＝90°，即BD⊥CD，AC∩CD＝C， ∴BD⊥平面ACD. 11．在菱形ABCD中，∠A＝60°，線段AB的中點(diǎn)是E，現(xiàn)將△ADE沿DE折起到△FDE的位置，使平面

9、FDE和平面EBCD垂直，線段FC的中點(diǎn)是G. (1)證明：直線BG∥平面FDE； (2)判斷平面FEC和平面EBCD是否垂直，并證明你的結(jié)論． 解析：(1)證明：如圖，延長DE、CB相交于H，連結(jié)HF. ∵菱形ABCD，且E為AB中點(diǎn)， ∴BE∥CD，BE＝CD， ∴B為HC的中點(diǎn)． ∵G為線段FC的中點(diǎn)， ∴BG∥HF. ∵BG?平面FDE，HF?平面FDE， ∴直線BG∥平面FDE. (2)垂直． 證明：由菱形ABCD及∠A＝60°，得△ABD是正三角形． ∵E為AB中點(diǎn)，∴AE⊥DE，∴FE⊥DE. ∵平面FDE和平面EBCD垂直，且這兩個(gè)平面的交線是DE，

10、FE在平面FDE內(nèi)， ∴FE⊥平面EBCD， ∵FE?平面FEC， ∴平面FEC和平面EBCD垂直． 12．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD＝60°，Q為AD的中點(diǎn)． (1)若PA＝PD，求證：平面PQB⊥平面PAD； (2)點(diǎn)M在線段PC上，PM＝tPC，試確定實(shí)數(shù)t的值，使得PA∥平面MQB. 解析：(1)證明：連結(jié)BD，四邊形ABCD為菱形． ∵AD＝AB，∠BAD＝60°， ∴△ABD為正三角形，又Q為AD的中點(diǎn)， ∴AD⊥BQ. ∵PA＝PD，Q為AD的中點(diǎn)， ∴AD⊥PQ，又BQ∩PQ＝Q， ∴AD⊥平面PQB，而AD?平面PAD， ∴平面PQB⊥平面PAD. (2)當(dāng)t＝時(shí)，PA∥平面MQB. 連結(jié)AC交BQ于N，交BD于O，則O為BD的中點(diǎn)． 又∵BQ為△ABD邊AD上的中線， ∴N為正三角形ABD的中心，令菱形ABCD的邊長為a，則AN＝a，AC＝a. ∵PA∥平面MQB，PA?平面PAC，平面PAC∩平面MQB＝MN，∴PA∥MN，＝＝＝，即PM＝PC，t＝.