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1、新編人教版精品教學(xué)資料
1.2.2 函數(shù)的表示法
第1課時(shí) 函數(shù)的表示法
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解函數(shù)的三種表示法及各自的優(yōu)缺點(diǎn).2.掌握求函數(shù)解析式的常見方法(重點(diǎn)、難點(diǎn)).
預(yù)習(xí)教材P19-P20,完成下面問題:
知識點(diǎn) 函數(shù)的三種表示方法
表示法
定義
解析法
用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系
圖象法
用圖象表示兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系
列表法
列出表格來表示兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系
【預(yù)習(xí)評價(jià)】 (正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)任何一個(gè)函數(shù)都可以用列表法表示.( )
(2)任何一個(gè)函數(shù)都可以用圖象法表示.( )
(3)函數(shù)的圖象一定是
2、其定義區(qū)間上的一條連續(xù)不斷的曲線.( )
提示 (1)× 如果函數(shù)的定義域是連續(xù)的數(shù)集,則該函數(shù)就不能用列表法表示;
(2)× 有些函數(shù)的是不能畫出圖象的,如f(x)=;
(3)× 反例:f(x)=的圖象就不是連續(xù)的曲線.
題型一 作函數(shù)的圖象
【例1】 作出下列函數(shù)的圖象:
(1)y=x+1(x∈Z);
(2)y=x2-2x(x∈[0,3)).
解 (1)這個(gè)函數(shù)的圖象由一些點(diǎn)組成,這些點(diǎn)都在直線y=x+1上,如圖(1)所示.
(2)因?yàn)?≤x<3,所以這個(gè)函數(shù)的圖象是拋物線y=x2-2x介于0≤x<3之間的一部分,如圖(2)所示.
規(guī)律方法 作函數(shù)圖象的步驟
3、及注意點(diǎn)
(1)作函數(shù)圖象主要有三步:列表、描點(diǎn)、連線.作圖象時(shí)一般應(yīng)先確定函數(shù)的定義域,再在定義域內(nèi)化簡函數(shù)解析式,再列表畫出圖象.
(2)函數(shù)的圖象可能是平滑的曲線,也可能是一群孤立的點(diǎn),畫圖時(shí)要注意關(guān)鍵點(diǎn),如圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、區(qū)間端點(diǎn),二次函數(shù)的頂點(diǎn)等等,還要分清這些關(guān)鍵點(diǎn)是實(shí)心點(diǎn)還是空心點(diǎn).
【訓(xùn)練1】 畫出下列函數(shù)的圖象:
(1)y=x+1(x≤0);
(2)y=x2-2x(x>1或x<-1).
解 (1)y=x+1(x≤0)表示一條射線,圖象如圖(1).
(2)y=x2-2x=(x-1)2-1(x>1或x<-1)是拋物線y=x2-2x去掉-1≤x≤1之間的部分后剩余
4、曲線.如圖(2).
題型二 列表法表示函數(shù)
【例2】 已知函數(shù)f(x),g(x)分別由下表給出
x
1
2
3
f(x)
1
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
則f(g(1))的值為________;滿足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________.
解析 ∵g(1)=3,∴f(g(1))=f(3)=1.
f(g(x))與g(f(x))與x相對應(yīng)的值如下表所示:
x
1
2
3
f(g(x))
1
3
1
g(f(x))
3
1
3
∴f(g(x))>g(f(x))的解為x=2.
答案 1 2
5、
規(guī)律方法 列表法表示函數(shù)的相關(guān)問題的解法
解決此類問題關(guān)鍵在于弄清每個(gè)表格表示的函數(shù),對于f(g(x))這類函數(shù)值的求解,應(yīng)從內(nèi)到外逐層求解,而求解不等式,則可分類討論或列表解決.
【訓(xùn)練2】 已知函數(shù)f(x),g(x)分別由下表給出
x
1
2
3
f(x)
2
1
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
(1)f[g(1)]=__________;
(2)若g[f(x)]=2,則x=__________.
解析 (1)由表知g(1)=3,
∴f[g(1)]=f(3)=1;
(2)由表知g(2)=2,又g[f(x)]=2,得f(x)=2,
6、
再由表知x=1.
答案 (1)1 (2)1
考查方向
題型三 求函數(shù)的解析式
方向1 待定系數(shù)法求函數(shù)解析式
【例3-1】 (1)已知f(x)是一次函數(shù),且f(f(x))=16x-25,則函數(shù)f(x)的解析式為________.
(2)已知f(x)是二次函數(shù)且滿足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,則函數(shù)f(x)的解析式為________.
解析 (1)設(shè)f(x)=kx+b(k≠0),則f(f(x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=16x-25,所以解得k=4,b=-5或k=-4,b=,
所以f(x)=4x-5或f(x)=-4x+.
(2)設(shè)f(x)=ax
7、2+bx+c(a≠0),由f(0)=1得c=1,則f(x)=ax2+bx+1,f(x+1)-f(x)=[a(x+1)2+b(x+1)+1]-(ax2+bx+1)=2ax+a+b=2x.
故得解得a=1,b=-1,故得f(x)=x2-x+1.
答案 (1)f(x)=4x-5或f(x)=-4x+ (2)f(x)=x2-x+1
方向2 換元法(或配湊法)、方程組法求函數(shù)解析式
【例3-2】 (1)已知f(+1)=x+2,求f(x)的解析式;
(2)已知f(x)+2f(-x)=x2+2x,求f(x).
解 (1)法一 (換元法):令t=+1,則x=(t-1)2,t≥1,所以f(t)=(t-
8、1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1),
所以f(x)的解析式為f(x)=x2-1(x≥1).
法二 (配湊法):f(+1)=x+2=x+2+1-1=(+1)2-1.
因?yàn)椋?≥1,所以f(x)的解析式為f(x)=x2-1(x≥1).
(2)∵f(x)+2f(-x)=x2+2x,①
∴將x換成-x,得f(-x)+2f(x)=x2-2x.②
∴由①②得3f(x)=x2-6x,
∴f(x)=x2-2x.
規(guī)律方法 求函數(shù)解析式的類型及方法
(1)若已知所要求的解析式f(x)的類型,可用待定系數(shù)法求解,其步驟為:①設(shè)出所求函數(shù)含有待定系數(shù)的解析式;
②把已知條件代入解析式,列出
9、關(guān)于待定系數(shù)的方程(組);
③解方程(組),得到待定系數(shù)的值;
④將所求待定系數(shù)的值代回所設(shè)解析式.
(2)已知f(g(x))=h(x),求f(x),常用的有兩種方法:
①換元法,即令t=g(x),解出x,代入h(x)中,得到一個(gè)含t的解析式,即為函數(shù)解析式,注意:換元后新元的范圍.
②配湊法,即從f(g(x))的解析式中配湊出“g(x)”,即用g(x)來表示h(x),然后將解析式中的g(x)用x代替即可.
(3)方程組法:當(dāng)同一個(gè)對應(yīng)關(guān)系中的含有自變量的兩個(gè)表達(dá)式之間有互為相反數(shù)或互為倒數(shù)關(guān)系時(shí),可構(gòu)造方程組求解.
課堂達(dá)標(biāo)
1.下列函數(shù)y=f(x),則f(11)=(
10、)
x
0
11、)=x2+4x-5=(x-1)2+6(x-1),
∴f(x)=x2+6x;
∴f(x)的表達(dá)式是f(x)=x2+6x.故選A.
答案 A
3.已知函數(shù)f(x)由下表給出,則f(f(3))=________.
x
1
2
3
4
f(x)
3
2
4
1
解析 由題設(shè)給出的表知f(3)=4,則f(f(3))=f(4)=1,故填1.
答案 1
4.已知f(x)是一次函數(shù),若f(f(x))=4x+8,則f(x)的解析式為________.
解析 設(shè)f(x)=ax+b(a≠0),則f(f(x))=f(ax+b)=a2x+ab+b.
∴解得或
答案 f(x)=2x+或f(x)=-2x-8
5.已知函數(shù)f(x)=x2-2x(-1≤x≤2).
(1)畫出f(x)圖象的簡圖;
(2)根據(jù)圖象寫出f(x)的值域.
解 (1)f(x)圖象的簡圖如圖所示.
(2)觀察f(x)的圖象可知,f(x)圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是[-1,3],則f(x)的值域是[-1,3].
課堂小結(jié)
1.函數(shù)三種表示法的優(yōu)缺點(diǎn)
2.描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象的步驟:(1)求函數(shù)定義域;(2)化簡解析式;(3)列表;(4)描點(diǎn);(5)連線.
3.求函數(shù)解析式常用的方法有:(1)待定系數(shù)法;(2)換元法;(3)配湊法;(4)消元法等.