高考數學二輪課時作業(yè):層級二 專題三 第2講 數列求和及綜合應用 Word版含解析

上傳人:沈*** 文檔編號:63244154 上傳時間:2022-03-17 格式:DOC 頁數:7 大?。?27.50KB
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1、 層級二 專題三 第2講 限時50分鐘 滿分76分 一、選擇題(本大題共6小題,每小題5分,共30分) 1.(2020·重慶七校聯考)若數列{an}滿足-=0,則稱{an}為“夢想數列”.已知正項數列為“夢想數列”,且b1+b2+b3=1,則b6+b7+b8=(  ) A.4     B.16     C.32     D.64 解析:C [由-=0可得an+1=an,故{an}是公比為的等比數列,故是公比為的等比數列,則{bn}是公比為2的等比數列,b6+b7+b8=(b1+b2+b3)×25=32,故選C.] 2.(2020·江西省五校協(xié)作

2、體考試)設Sn是數列{an}的前n項和,若an+Sn=2n,2bn=2an+2-an+1,則++…+=(  ) A. B. C. D. 解析:D [因為an+Sn=2n ①,所以an+1+Sn+1=2n+1?、冢冢俚?an+1-an=2n,所以2an+2-an+1=2n+1.又2bn=2an+2-an+1=2n+1,所以bn=n+1,==-,則++…+=1-+-+…+-=1-=,故選D.] 3.(2020·廣東省六校聯考)已知數列{an}滿足a1+2a2+3a3+…+nan=(2n-1)·3n.設b

3、n=,Sn為數列{bn}的前n項和,若Sn<λ(λ為常數,n∈N*),則λ的最小值是(  ) A. B. C. D. 解析:C [a1+2a2+3a3+…+nan=(2n-1)·3n,① 當n≥2時,a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=(2n-3)·3n-1,② ①-②得,nan=4n·3n-1(n≥2),即an=4·3n-1(n≥2).當n=1時,a1=3≠4,所以an= bn= 所以Sn=+++…+=++++…+,③ Sn=++++…++,④ ③-④得,Sn=++++…+

4、-=+-, 所以Sn=-<,所以易知λ的最小值是,故選C.] 4.(2019·青島三模)已知f(n)表示正整數n的所有因數中最大的奇數,例如:12的因數有1,2,3,4,6,12,則f(12)=3;21的因數有1,3,7,21,則f(21)=21,那么∑100,i=51f(i)的值為(  ) A.2 488 B.2 495 C.2 498 D.2 500 解析:D [由f(n)的定義知f(n)=f(2n),且若n為奇數則f(n)=n, 則∑100,i=1f(i)=f(1)+f(2)+…+f(100) =1+3+5+

5、…+99+f(2)+f(4)+…+f(100) =+f(1)+f(2)+…+f(50) =2 500+∑50,i=1f(i), ∴∑100,i=51f(i)=∑100,i=1f(i)-∑50,i=1f(i)=2 500.] 5.(2019·深圳二模)已知數列{an}滿足2a1+22a2+…+2nan=n(n∈N*),數列的前n項和為Sn,則S1·S2·S3·…·S10=(  ) A. B. C. D. 解析:C [∵2a1+22a2+…+2nan=n(n∈N*),∴2a1+22a2+…

6、+2n-1an-1=n-1(n≥2),∴2nan=1(n≥2),當n=1時也滿足,故an=,故===-,Sn=1-+-+…+-=1-=,∴S1·S2·S3·…·S10=×××…××=,選C.] 6.(2019·濰坊三模)已知等差數列{an}中公差d≠0,a1=1,a1,a2,a5成等比數列,且a1,a2,ak1,ak2,…,akn成等比數列,若對任意的n∈N*,恒有≤(m∈N*),則m=(  ) A.0 B.1 C.2 D.1或2 解析:D [由已知可得,a=a1·a5,即(1+d)2=1·(1+4d),又d≠

7、0,解得d=2,所以an=2n-1.因為a1,a2,ak1,ak2,…,akn成等比數列,所以2kn-1=3n+1.令bn==,設數列{bn}中的最大項為bl,故滿足解得1≤l≤2,即數列{bn}中的最大項為b1,b2,所以m=1或2.] 二、填空題(本大題共2小題,每小題5分,共10分) 7.(2019·昆明三模)已知數列{an}中,a1=a2=1,an+2=則數列{an}的前20項和為________. 解析:由題意可知,數列{a2n}是首項為1,公比為2的等比數列,數列{a2n-1}是首項為1,公差為2的等差數列,故數列{an}的前20項和為+10×1+×2=1 123. 答案:

8、1 123 8.(2019·山師附中質檢)將數列{an}中的所有項按每一行比上一行多1項的規(guī)則排成如下數陣: a1 a2,a3 a4,a5,a6 a7,a8,a9,a10 …… 記數陣中的第1列數a1,a2,a4,…,構成的數列為{bn},Sn為數列{bn}的前n項和,若Sn=2bn-1,則a56=________. 解析:當n≥2時,∵Sn=2bn-1,∴Sn-1=2bn-1-1,∴bn=2bn-2bn-1,∴bn=2bn-1(n≥2且n∈N*),∵b1=2b1-1,∴b1=1,∴數列{bn}是首項為1,公比為2的等比數列,∴bn=2n-1. 設a1,a2,a4,a7,a1

9、1,…的下標1,2,4,7,11,…構成數列{cn},則c2-c1=1,c3-c2=2,c4-c3=3,c5-c4=4,…,cn-cn-1=n-1,累加得,cn-c1=1+2+3+4+…+(n-1),∴cn=+1,由cn=+1=56,得n=11,∴a56=b11=210=1 024. 答案:1 024 三、解答題(本大題共3小題,每小題12分,共36分) 9.(2020·鄭州三測)已知數列{an}滿足a1=1,2an·an+1+an+1-an=0,數列{bn}滿足bn=. (1)求數列{an}的通項公式; (2)記數列{bn}的前n項和為Sn,問:是否存在n,使得Sn的值是? 解析

10、:(1)因為2an·an+1+an+1-an=0, 所以an+1=, -=-=2, 由等差數列的定義可得是首項為=1,公差為d=2的等差數列. 故=1+2(n-1)=2n-1,所以an=. (2)由(1)得bn=, 所以Sn=++…+, 兩邊同乘以得,Sn=++…+, 兩式相減得Sn=+2-, 即Sn=+2×-=--, 所以Sn=3-. 因為Sn+1-Sn=-=>0,所以數列{Sn}是關于項數n的遞增數列,所以Sn≥S1=,因為<,所以不存在n,使得Sn=. 10.(2019·武漢二模)已知數列{an}和{bn}滿足a1a2a3…an=()bn(n∈N*).若{an}為

11、等比數列,且a1=2,b3=6+b2. (1)求an與bn; (2)設cn=-(n∈N*).記數列{cn}的前n項和為Sn. ①求Sn; ②求正整數k,使得對任意n∈N*均有Sk≥Sn. 解析:(1)由題意a1a2a3…an=()bn,b3-b2=6,知a3=()b3-b2=8. 又由a1=2,得公比q=2(q=-2舍去), 所以數列{an}的通項為an=2n(n∈N*). 所以,a1a2a3…an=2=()n(n+1). 故數列{bn}的通項為bn=n(n+1)(n∈N*). (2)①由(1)知cn=-=-(n∈N*), 所以Sn=-(n∈N*). ②因為c1=0,c

12、2>0,c3>0,c4>0; 當n≥5時, cn=, 而-=>0, 即數列當n≥5時是遞減的. 所以≤<1, 所以,當n≥5時,cn<0. 綜上,對任意n∈N*,恒有S4≥Sn,故k=4. 11.(文)(2020·浙江三地市聯考)已知數列{bn}滿足3(n+1)bn=nbn+1,且b1=3. (1)求數列{bn}的通項公式; (2)已知=,求證:≤++…+<1. 解析:(1)因為3(n+1)bn=nbn+1,所以=. 則=3×,=3×,=3×,…, =3×, 累乘,可得=3n-1×n,因為b1=3,所以bn=n·3n, 即數列{bn}的通項公式bn=n·3n.

13、(2)證明:因為=,所以an=·3n. 因為=· =·=· =·-·, 所以++…+=++…+ =1-·. 因為n∈N*,所以0<·≤, 所以≤1-·<1, 所以≤++…+<1. 11.(理)(2019·江蘇卷)定義首項為1且公比為正數的等比數列為“M-數列”. (1)已知等比數列{an}(n∈N*)滿足:a2a4=a5,a3-4a2+4a1=0,求證:數列{an}為“M數列”; (2)已知數列{bn}(n∈N*)滿足:b1=1,=-,其中Sn為數列{bn}的前n項和. ①求數列{bn}的通項公式; ②設m為正整數,若存在“M數列”{cn}(n∈N*),對任意正整

14、數k,當k≤m時,都有ck≤bk≤ck+1成立,求m的最大值. 解:(1)設等比數列{an}的公比為q,所以a1≠0, q≠0. 由得解得 因此數列{an}為“M數列”. (2)①因為=-,所以bn≠0. 由b1=1,S1=b1,得=-,則b2=2. 由=-,得Sn=, 當n≥2時,由bn=Sn-Sn-1, 得bn=-, 整理得bn+1+bn-1=2bn. 所以數列{bn}是首項和公差均為1的等差數列. 因此,數列{bn}的通項公式為bn=n(n∈N*). ②由①知,bk=k,k∈N*. 因為數列{cn}為“M數列”,設公比為q,所以c1=1, q>0. 因

15、為ck≤bk≤ck+1,所以qk-1≤k≤qk,其中k=1,2,3,…,m. 當k=1時,有q≥1; 當k=2,3,…,m時,有≤ln q≤. 設f(x)=(x>1),則f′(x)=. 令f′(x)=0,得x=e.列表如下: x (1,e) e (e,+∞) f′(x) + 0 - f(x)  極大值  因為=<=,所以f(k)max=f(3)=. 取q=,當k=1,2,3,4,5時,≤ln q,即k≤qk,經檢驗知qk-1≤k也成立.因此所求m的最大值不小于5. 若m≥6,分別取k=3,6,得3≤q3,且q5≤6,從而q15≥243,且q15≤216, 所以q不存在.因此所求m的最大值小于6. 綜上,所求m的最大值為5.

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