5、os x=.
(1)求sin2x-cos2x的值;
(2)求的值.
變式遷移1 已知sin(3π+α)=2sin,求下列各式的值.
(1);(2)sin2α+sin 2α.
探究點(diǎn)二 利用誘導(dǎo)公式化簡、求值
例2 (2011·合肥模擬)已知sin=-,α∈(0,π).
(1)求的值;
(2)求cos的值.
變式遷移2 設(shè)f(α)=
(1+2sin α≠0),則f=________.
探究點(diǎn)三 綜合應(yīng)用
例3 在△ABC中,若sin(2π-A)=-sin(π-B),cos A=-cos(π-B),求△ABC的三個(gè)內(nèi)角.
6、
變式遷移3 (2011·安陽模擬)已知△ABC中,sin A+cos A=,
(1)求sin A·cos A;
(2)判斷△ABC是銳角三角形還是鈍角三角形;
(3)求tan A的值.
轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用
例 (12分)已知α是三角形的內(nèi)角,且sin α+cos α=.
(1)求tan α的值;
(2)把用tan α表示出來,并求其值.
多角度審題 由sin α+cos α=應(yīng)聯(lián)想到隱含條件sin2α+cos2α=1,要求tan α,應(yīng)當(dāng)切化弦,所以只要求出sin α,cos α即可.
【答題模板】
解 (1)聯(lián)立方程
由①得cos
7、α=-sin α,將其代入②,整理得25sin2α-5sin α-12=0.[2分]
∵α是三角形的內(nèi)角,∴,[4分]
∴tan α=-.[6分]
(2)===,[8分]
∵tan α=-,∴=[10分]
==-.[12分]
【突破思維障礙】
由sin α+cos α=及sin2α+cos2α=1聯(lián)立方程組,利用角α的范圍,應(yīng)先求sin α再求cos α.(1)問切化弦即可求.(2)問應(yīng)弦化切,這時(shí)應(yīng)注意“1”的活用.
【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】
在求解sin α,cos α的過程中,若消去cos α得到關(guān)于sin α的方程,則求得兩解,然后應(yīng)根據(jù)α角的范圍舍去一個(gè)解,若不注意,則誤認(rèn)為
8、有兩解.
1.由一個(gè)角的三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值時(shí),要注意討論角的范圍.
2.注意公式的變形使用,弦切互換、三角代換、消元是三角代換的重要思想,要盡量少開方運(yùn)算,慎重確定符號(hào).注意“1”的靈活代換.
3.應(yīng)用誘導(dǎo)公式,重點(diǎn)是“函數(shù)名稱”與“正負(fù)號(hào)”的正確判斷.
(滿分:75分)
一、選擇題(每小題5分,共25分)
1.(2011·荊州模擬)已知△ABC中,=-,則cos A等于 ( )
A. B.
C.- D.-
2.已知tan α=-,且α為第二象限角,則sin α的值等于
9、 ( )
A. B.-
C. D.-
3.(2011·許昌月考)已知f(α)=,則f(-π)的值為 ( )
A. B.- C.- D.
4.設(shè)f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中a、b、α、β都是非零實(shí)數(shù),若f(2 002)=-1,則f(2 003)等于 ( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
5.(2010·全國Ⅰ)記cos(-80°
10、)=k,那么tan 100°等于 ( )
A. B.-
C. D.-
題號(hào)
1
2
3
4
5
答案
二、填空題(每小題4分,共12分)
6.(2010·全國Ⅱ)已知α是第二象限的角,tan α=-,則cos α=________.
7.sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=________.
8.(2010·東北育才學(xué)校高三第一次模擬考試)若tan α=2,則+cos2α=________.
三、解答題(共38分)
9.(12分)已知f(α)=.
11、
(1)化簡f(α);
(2)若α是第三象限角,且cos(α-)=,求f(α)的值.
10.(12分)化簡: (k∈Z).
11.(14分)(2011·秦皇島模擬)已知sin θ,cos θ是關(guān)于x的方程x2-ax+a=0(a∈R)的兩個(gè)根.
(1)求cos3(-θ)+sin3(-θ)的值;
(2)求tan(π-θ)-的值.
答案 自主梳理
1.(1)sin2α+cos2α=1 (2)=tan α 2.(1)sin α cos α tan α (2)-sin α?。璫os α tan α (3)-sin α cos α?。璽an
12、α (4)sin α -cos α?。璽an α (5)cos α sin α (6)cos α -sin α
自我檢測
1.C [cos 300°=cos(360°-60°)=cos 60°=.]
2.A [∵3sin α+cos α=0,sin2α+cos2α=1,
∴sin2α=,
∴=
==.]
3.B
4.A [cos(-π)-sin(-π)=cos(-4π-)-sin(-4π-)=cos(-)-sin(-)=cos+sin=.]
5.-
解析 sin(α-)=-sin(-α)
=-sin[(-α)+]
=-cos(-α)=-.
課堂活動(dòng)區(qū)
例1 解題導(dǎo)
13、引 學(xué)會(huì)利用方程思想解三角函數(shù)題,對于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α這三個(gè)式子,已知其中一個(gè)式子的值,就可以求出其余二式的值,但要注意對符號(hào)的判斷.
解 由sin x+cos x=得,
1+2sin xcos x=,則2sin xcos x=-.
∵-0,
即sin x-cos x<0.
則sin x-cos x
=-
=-=-.
(1)sin2x-cos2x=(sin x+cos x)(sin x-cos x)
=×=-.
(2)由,
得,則tan x=-.
即==.
變式遷移1 解 ∵s
14、in(3π+α)=2sin,
∴-sin α=-2cos α.
∴sin α=2cos α,即tan α=2.
方法一 (直接代入法):
(1)原式==-.
(2)原式===.
方法二 (同除轉(zhuǎn)化法):
(1)原式===-.
(2)原式=sin2α+2sin αcos α
===.
例2 解題導(dǎo)引 三角誘導(dǎo)公式記憶有一定規(guī)律:的本質(zhì)是:奇變偶不變(對k而言,指k取奇數(shù)或偶數(shù)),符號(hào)看象限(看原函數(shù),同時(shí)可把α看成是銳角).誘導(dǎo)公式的應(yīng)用是求任意角的三角函數(shù)值,其一般步驟:(1)負(fù)角變正角,再寫成2kπ+α,0≤α<2π;(2)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù).
解 (1)∵sin=-,
15、α∈(0,π),
∴cos α=-,sin α=.
∴==-.
(2)∵cos α=-,sin α=,
∴sin 2α=-,cos 2α=-,
cos=-cos 2α+sin 2α=-.
變式遷移2
解析 ∵f(α)=
===,
∴f=
===.
例3 解題導(dǎo)引 先利用誘導(dǎo)公式化簡已知條件,再利用平方關(guān)系求得cos A.求角時(shí),一般先求出該角的某一三角函數(shù)值,再確定該角的范圍,最后求角.誘導(dǎo)公式在三角形中常用結(jié)論有:A+B=π-C;++=.
解 由已知得
①2+②2得2cos2A=1,即cos A=±.
(1)當(dāng)cos A=時(shí),cos B=,
又A、B是三角形的
16、內(nèi)角,
∴A=,B=,∴C=π-(A+B)=π.
(2)當(dāng)cos A=-時(shí),cos B=-.
又A、B是三角形的內(nèi)角,
∴A=π,B=π,不合題意.
綜上知,A=,B=,C=π.
變式遷移3 解 (1)∵sin A+cos A=,①
∴兩邊平方得1+2sin Acos A=,
∴sin A·cos A=-.
(2)由(1)sin A·cos A=-<0,且00,cos A<0,∴sin A-cos A>0,
∴
17、sin A-cos A=,②
∴由①,②得sin A=,cos A=-,
∴tan A==-.
課后練習(xí)區(qū)
1.D [∵A為△ABC中的角,=-,
∴sin A=-cos A,A為鈍角,∴cos A<0.
代入sin2A+cos2A=1,求得cos A=-.]
2.C [已知tan α=-,且α為第二象限角,
有cos α=-=-,所以sin α=.]
3.C [∵f(α)==-cos α,∴f(-π)
=-cos(-π)=-cos(10π+)=-cos=-.]
4.C [∵f(2 002)=asin(2 002π+α)+bcos(2 002π+β)
=asin α+b
18、cos β=-1,
∴f(2 003)=asin(2 003π+α)+bcos(2 003π+β)
=asin[2 002π+(π+α)]+bcos[2 002π+(π+β)]
=asin(π+α)+bcos(π+β)=-(asin α+bcos β)=1.]
5.B [∵cos(-80°)=cos 80°=k,
sin 80°==.
∴tan 100°=-tan 80°=-.]
6.-
解析 ∵tan α=-,∴=-,
又∵sin2α+cos2α=1,α是第二象限的角,
∴cos α=-.
7.
解析 sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°
=
19、sin21°+sin22°+…+sin245°+…+sin2(90°-2°)+
sin2(90°-1°)
=sin21°+sin22°+…+2+…+cos22°+cos21°
=(sin21°+cos21°)+(sin22°+cos22°)+…+(sin244°+cos244°)+=44+=.
8.
解析 原式=+
=3+=3+=.
9.解 (1)f(α)=
==-cos α.…………………………………………………………(5分)
(2)∵α是第三象限角,且cos(α-)=-sin α=,
∴sin α=-,……………………………………………………………………………(8分)
20、
∴cos α=-=-=-,
∴f(α)=-cos α=.…………………………………………………………………(12分)
10.解 當(dāng)k為偶數(shù)2n (n∈Z)時(shí),
原式=
=
===-1;……………………………………………………(6分)
當(dāng)k為奇數(shù)2n+1 (n∈Z)時(shí),
原式=
===-1.
∴當(dāng)k∈Z時(shí),原式=-1.………………………………………………………………(12分)
11.解 由已知原方程的判別式Δ≥0,
即(-a)2-4a≥0,∴a≥4或a≤0.………………………………………………………(3分)
又,(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ,則a2-2a-1=0,(6分)
從而a=1-或a=1+(舍去),
因此sin θ+cos θ=sin θcos θ=1-.…………………………………………………(8分)
(1)cos3(-θ)+sin3(-θ)=sin3θ+cos3θ
=(sin θ+cos θ)(sin2θ-sin θcos θ+cos2θ)=(1-)[1-(1-)]=-2.………(11分)
(2)tan(π-θ)-=-tan θ-
=-(+)=-=-=1+.
……………………………………………………………………………………………(14分)