新編高中數(shù)學(xué)人教版A版必修一學(xué)案:第一單元 章末復(fù)習(xí)課 含答案

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1、新編人教版精品教學(xué)資料 章末復(fù)習(xí)課 網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建 核心歸納 1.集合的“三性” 正確理解集合元素的三性,即確定性、互異性和無序性.在集合運算中,常利用元素的互異性檢驗所得的結(jié)論是否正確,因互異性易被忽略,在解決含參集合問題時應(yīng)格外注意. 2.集合與集合之間的關(guān)系 集合與集合之間的關(guān)系有包含、真包含和相等.判斷集合與集合之間的關(guān)系的本質(zhì)是判斷元素與集合的關(guān)系,包含關(guān)系的傳遞性是推理的重要依據(jù).空集比較特殊,它不包含任何元素,是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集.解題時,已知條件中出現(xiàn)A?B時,不要遺漏A=?. 3.集合與集合之間的運算 并、交、補是集合間的基本運

2、算,Venn圖與數(shù)軸是集合運算的重要工具.注意集合之間的運算與集合間的關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化,如A?B?A∩B=A?A∪B=B. 4.函數(shù)與映射的概念 (1)已知A,B是兩個非空集合,在對應(yīng)關(guān)系f的作用下,對于A中的任意一個元素x,在B中都有唯一的一個元素與之對應(yīng),這個對應(yīng)叫做從A到B的映射,記作f:A→B.若f:A→B是從A到B的映射,且B中任一元素在A中有且只有一個元素與之對應(yīng),則這樣的映射叫做從A到B的一一映射. (2)函數(shù)是一個特殊的映射,其特殊點在于A,B都為非空數(shù)集,函數(shù)有三要素:定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系.兩個函數(shù)只有當(dāng)定義域和對應(yīng)關(guān)系分別相同時,這兩個函數(shù)才是同一函數(shù). 5.函數(shù)的

3、單調(diào)性 (1)函數(shù)的單調(diào)性主要涉及求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小,利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式等相關(guān)問題.深刻理解函數(shù)單調(diào)性的定義是解答此類問題的關(guān)鍵. (2)函數(shù)單調(diào)性的證明 根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義分為四個步驟證明,步驟如下: ①取值:任取x1,x2∈D,且x10; ②作差變形:Δy=y(tǒng)2-y1=f(x2)-f(x1)=…,向有利于判斷差的符號的方向變形; ③判斷符號:確定Δy的符號,當(dāng)符號不確定時,可以進行分類討論; ④下結(jié)論:根據(jù)定義得出結(jié)論. (3)證明函數(shù)單調(diào)性的等價變形: ①f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)?任意x1

4、1)0?[f(x1)-f(x2)]·(x1-x2)>0; ②f(x)是單調(diào)遞減函數(shù)?任意x1f(x2)?<0?[f(x1)-f(x2)]·(x1-x2)<0. 6.函數(shù)的奇偶性 判定函數(shù)奇偶性,一是用其定義判斷,即先看函數(shù)f(x)的定義域是否關(guān)于原點對稱,再檢驗f(-x)與f(x)的關(guān)系;二是用其圖象判斷,考察函數(shù)的圖象是否關(guān)于原點或y軸對稱去判斷,但必須注意它是函數(shù)這一大前提. 要點一 集合的基本概念 解決集合的概念問題的兩個注意點 (1)研究一個集合,首先要看集合中的代表元素.然后再看元素的限制條件,當(dāng)集合用描述法表示時,注意弄清元素

5、表示的意義是什么. (2)對于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性. 【例1】 集合M={x|ax2-3x-2=0,a∈R}中只有一個元素,求a的取值范圍. 解 由題意可知若集合M中只有一個元素,則方程ax2-3x-2=0只有一個根,當(dāng)a=0時,方程為-3x-2=0,只有一個根x=-;當(dāng)a≠0時,Δ=(-3)2-4×a×(-2)=0,得a=-.綜上所述,a的取值范圍是. 【訓(xùn)練1】 已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,則m的值為________. 解析 因為3∈A,則m+2=3或2m2+m=3,當(dāng)m+2=3,即m=1時,m+2=2m2+m,

6、不符合題意,故舍去;當(dāng)2m2+m=3,即m=1或m=-,m=1不合題意,若m=-,m+2≠2m2+m,滿足題意,故m=-. 答案?。? 要點二 集合間的基本關(guān)系 兩集合間關(guān)系的判斷 (1)定義法. ①判斷一個集合A中的任意元素是否屬于另一集合B,若是,則A?B,否則A不是B的子集; ②判斷另一個集合B中的任意元素是否屬于第一個集合A,若是,則B?A,否則B不是A的子集;若既有A?B,又有B?A,則A=B. (2)數(shù)形結(jié)合法. 對于不等式表示的數(shù)集,可在數(shù)軸上標(biāo)出集合的元素,直觀地進行判斷,但要注意端點值的取值. 【例2】 已知集合A={x|2x-3≥3x+5},B={x|x≤2

7、m-1},若A?B,則實數(shù)m的取值范圍是________. 解析 解不等式2x-3≥3x+5得x≤-8,即A={x|x≤-8},因為A?B,所以2m-1≥-8,解得m≥-. 答案 m≥- 【訓(xùn)練2】 已知集合A={x|=,x∈R},B={1,m},若A?B,則m的值為(  ) A.2    B.-1 C.-1或2   D.2或 解析 由=,可得解得x=2,∴A={2},又∵B={1,m},A?B,∴m=2. 答案 A 考查方向  要點三 集合的基本運算 集合基本運算的方法及注意點 (1)一般來講,集合中的元素若是離散的,則用Venn圖表示;集合中的元素若是連續(xù)的實數(shù),則用數(shù)

8、軸表示,此時要注意端點的情況. (2)進行集合的運算時要看集合的組成,并且要對有的集合進行化簡. (3)涉及含字母的集合時,要注意該集合是否可能為空集. 方向1 集合的運算 【例3-1】 設(shè)全集U={x∈N*|x<6},集合A={1,3},B={3,5},則?U(A∪B)等于(  ) A.{1,4}    B.{1,5}    C.{2,5}   D.{2,4} 解析 U={1,2,3,4,5},A∪B={1,3,5},所以?U(A∪B)={2,4}. 答案 D 方向2 利用集合運算求參數(shù) 【例3-2】 (1)已知集合A={1,3,},B={1,m},A∪B=A,則m等于( 

9、 ) A.0或    B.0或3 C.1或   D.1或3 (2)設(shè)集合A={0,1},集合B={x|x>a},若A∩B=?,則實數(shù)a的取值范圍是(  ) A.a(chǎn)≤1    B.a(chǎn)≥1    C.a(chǎn)≥0   D.a(chǎn)≤0 解析 (1)由A∪B=A知B?A,所以m=3或m=,若m=3,A={1,3,},B={1,3},滿足A∪B=A;若m=,即m=1或0,當(dāng)m=1時,=1,不合題意,舍去,當(dāng)m=0時,A={1,3,0},B={1,0},滿足A∪B=A,故選B. (2)因為A∩B=?,所以0?B,且1?B,所以a≥1. 答案 (1)B (2)B 【訓(xùn)練3】 (1)已知集合A={x∈R|

10、|x|≤2},B={x∈R|x≤1},則A∩B等于(  ) A.{x∈R|x≤2}    B.{x∈R|1≤x≤2} C.{x∈R|-2≤x≤2}   D.{x∈R|-2≤x≤1} (2)設(shè)集合M={x|-3≤x<7},N={x|2x+k≤0},若M∩N≠?,則實數(shù)k的取值范圍為________. 解析 (1)A={x∈R||x|≤2}={x∈R|-2≤x≤2},∴A∩B={x∈R|-2≤x≤2}∩{x∈R|x≤1}={x∈R|-2≤x≤1}. (2)因為N={x|2x+k≤0}={x|x≤-}, 且M∩N≠?,所以-≥-3?k≤6. 答案 (1)D (2)k≤6 要點四 求函

11、數(shù)的定義域  求函數(shù)定義域的類型與方法 (1)已給出函數(shù)解析式:函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合. (2)實際問題:求函數(shù)的定義域既要考慮解析式有意義,還應(yīng)考慮使實際問題有意義. (3)復(fù)合函數(shù)問題: ①若f(x)的定義域為[a,b],f(g(x))的定義域應(yīng)由a≤g(x)≤b解出; ②若f(g(x))的定義域為[a,b],則f(x)的定義域為g(x)在[a,b]上的值域. 注意:①f(x)中的x與f(g(x))中的g(x)地位相同; ②定義域所指永遠是x的范圍. 【例4】 (1)函數(shù)f(x)=+(2x-1)0的定義域為(  ) A.    B. C.  

12、 D.∪ (2)已知函數(shù)y=f(x-1)的定義域是[-1,2],則y=f(1-3x)的定義域為(  ) A.    B. C.[0,1]   D. 解析 (1)由題意知解得x<1且x≠,即f(x)的定義域是∪. (2)由y=f(x-1)的定義域是[-1,2],則x-1∈[-2,1],即f(x)的定義域是[-2,1],令-2≤1-3x≤1解得0≤x≤1,即y=f(1-3x)的定義域為[0,1]. 答案 (1)D (2)C 【訓(xùn)練4】 已知函數(shù)f(x)=-2x+3的值域為[-5,5],則它的定義域為(  ) A.[-5,5]    B.[-7,13] C.[-1,4]   D.[

13、-4,1] 解析 可以畫出函數(shù)y=-2x+3的圖象,再根據(jù)圖象來求;還可以運用觀察法來求,當(dāng)f(x)=-5時,x=4;當(dāng)f(x)=5時,x=-1,所以定義域為[-1,4]. 答案 C 要點五 求函數(shù)的解析式  求函數(shù)解析式的題型與相應(yīng)的解法 (1)已知形如f(g(x))的解析式求f(x)的解析式,使用換元法或配湊法. (2)已知函數(shù)的類型(往往是一次函數(shù)或二次函數(shù),使用待定系數(shù)法). (3)含f(x)與f(-x)或f(x)與f,使用解方程組法. (4)已知一個區(qū)間的解析式,求另一個區(qū)間的解析式,可用奇偶性轉(zhuǎn)移法. 【例5】 (1)已知f(2x-3)=2x2-3x,則f(x)=

14、________. (2)已知f(x)-3f(-x)=2x-1,則f(x)=________. 解析 (1)令2x-3=t,得x=(t+3),則f(t)=2×(t+3)2-(t+3)=t2+t,所以f(x)=x2+x. (2)因為f(x)-3f(-x)=2x-1,以-x代替x得f(-x)-3f(x)=-2x-1,兩式聯(lián)立得f(x)=x+. 答案 (1)x2+x (2)x+ 【訓(xùn)練5】 已知f(x)是一次函數(shù),且滿足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x)的解析式. 解 設(shè)f(x)=ax+b(a≠0),則3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-

15、2b=ax+5a+b,即ax+5a+b=2x+17,不論x為何值都成立,所以解得所以f(x)=2x+7. 要點六 函數(shù)的概念與性質(zhì) 函數(shù)單調(diào)性與奇偶性應(yīng)用的常見題型 (1)用定義判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性. (2)利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求單調(diào)區(qū)間. (3)利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性比較大小,解不等式. (4)利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求參數(shù)的取值范圍. 【例6】  已知函數(shù)f(x)=是奇函數(shù),且f(2)=. (1)求實數(shù)m和n的值; (2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,-1]上的最值. 解 (1)∵f(x)是奇函數(shù), ∴f(-x)=-f(x), ∴=-=. 比較得n=

16、-n,n=0. 又f(2)=,∴=,解得m=2. 因此,實數(shù)m和n的值分別是2和0. (2)由(1)知f(x)==+. 任取x1,x2∈[-2,-1],且x1<x2, 則f(x1)-f(x2)=(x1-x2) =(x1-x2)·. ∵-2≤x1<x2≤-1, ∴x1-x2<0,x1x2>1,x1x2-1>0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). ∴函數(shù)f(x)在[-2,-1]上為增函數(shù), ∴f(x)max=f(-1)=-,f(x)min=f(-2)=-. 【訓(xùn)練6】 設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù),且滿足f(-x)=f(x),f(x)在(-∞,0)上

17、單調(diào)遞增,且f(2a2+a+1)0, 2a2-4a+3=2(a-1)2+1>0, 由f(2a2+a+1)2a2-4a+3, 得5a>2,a>. ∴a的取值范圍是a>. 要點七 函數(shù)的圖象及應(yīng)用  作函數(shù)圖象的方法 (1)描點法——求定義域;化簡;列表、描點、連線. (2)變換法——熟知函數(shù)的圖象的

18、平移、伸縮、對稱、翻轉(zhuǎn). ①平移:y=f(x) y=f(x±h); y=f(x) y=f(x)±k.(其中h>0,k>0) ②對稱:y=f(x)y=f(-x); y=f(x)y=-f(x); y=f(x) y=-f(-x). 特別提醒:要利用單調(diào)性、奇偶性、對稱性簡化作圖. 【例7】 已知函數(shù)f(x)=x2-2|x|+a,其中x∈[-3,3]. (1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性. (2)若a=-1,試說明函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并求出函數(shù)f(x)的值域. 解 (1)因為定義域[-3,3]關(guān)于原點對稱, f(-x)=(-x)2-2|-x|+a =x2-2|x|+a=f(x),

19、 即f(-x)=f(x), 所以f(x)是偶函數(shù). (2)當(dāng)0≤x≤3時,f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2; 當(dāng)-3≤x<0時,f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2. 即f(x)= 根據(jù)二次函數(shù)的作圖方法,可得函數(shù)的圖象,如圖所示. 函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間為[-3,-1],(-1,0),[0,1],(1,3]. f(x)在區(qū)間[-3,-1],[0,1]上為減函數(shù),在(-1,0),(1,3]上為增函數(shù). 當(dāng)0≤x≤3時,函數(shù)f(x)=(x-1)2-2的最小值為f(1)=-2,最大值為f(3)=2; 當(dāng)-3≤x<0時,函數(shù)f(x)=(x+1)2-2的最小值為

20、f(-1)=-2,最大值為f(-3)=2. 故函數(shù)f(x)的值域為[-2,2]. 【訓(xùn)練7】 對于任意x∈R,函數(shù)f(x)表示-x+3,x+,x2-4x+3中的較大者,則f(x)的最小值是________. 解析 首先應(yīng)理解題意,“函數(shù)f(x)表示-x+3,x+,x2-4x+3中的較大者”是指對某個區(qū)間而言,函數(shù)f(x)表示-x+3,x+,x2-4x+3中最大的一個. 如圖,分別畫出三個函數(shù)的圖象,得到三個交點A(0,3),B(1,2),C(5,8). 從圖象觀察可得函數(shù)f(x)的表達式:f(x)= f(x)的圖象是圖中的實線部分,圖象的最低點是點B(1,2),所以f(x)的最小值是2. 答案 2

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