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新版-□□新版數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)資料□□-新版
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技法強(qiáng)化訓(xùn)練(三) 分類討論思想
(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第161頁)
題組1 由概念、法則、公式引起的分類討論
1．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝Pn－1(P是常數(shù))，則數(shù)列{an}是( )
【導(dǎo)學(xué)號(hào)：68334017】
A．等差數(shù)列 B．等比數(shù)列
C．等差數(shù)列或等比數(shù)列 D．以上都不對(duì)
D [∵Sn＝Pn－1，
3、 ∴a1＝P－1，an＝Sn－Sn－1＝(P－1)Pn－1(n≥2)．
當(dāng)P≠1且P≠0時(shí)，{an}是等比數(shù)列；
當(dāng)P＝1時(shí)，{an}是等差數(shù)列；
當(dāng)P＝0時(shí)，a1＝－1，an＝0(n≥2)，此時(shí){an}既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列．]
2．已知函數(shù)f(x)＝若存在x1，x2∈R，且x1≠x2，使得f(x1)＝f(x2)成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：68334018】
A．(－∞，2) B．(－∞，4)
C．[2,4] D．(2，＋∞)
B [當(dāng)－＜1，即a＜2時(shí)，顯然滿足條件；
當(dāng)a≥2時(shí)，由－1＋a＞2a－5得2≤a＜4，
綜上可知a＜4.
4、]
3．已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，＋∞)，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖1所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，則不等式f(x2－6)＞1的解集為( )
圖1
A．(－3，－2)∪(2,3)
B．(－，)
C．(2,3)
D．(－∞，－)∪(，＋∞)
A [由導(dǎo)函數(shù)圖象知，當(dāng)x＜0時(shí)，f′(x)＞0，
即f(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)，
當(dāng)x＞0時(shí)，f′(x)＜0，即f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，
又不等式f(x2－6)＞1等價(jià)于f(x2－6)＞f(－2)或f(x2－6)＞f(3)，故－2＜x2－6≤0或0≤x
5、2－6＜3，解得x∈(－3，－2)∪(2,3)．]
4．已知實(shí)數(shù)m是2,8的等比中項(xiàng)，則曲線x2－＝1的離心率為( )
A. B.
C. D.或
D [由題意可知，m2＝2×8＝16，∴m＝±4.
(1)當(dāng)m＝4時(shí)，曲線為雙曲線x2－＝1.
此時(shí)離心率e＝.
(2)當(dāng)m＝－4時(shí)，曲線為橢圓x2＋＝1.
此時(shí)離心率e＝.]
5．設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項(xiàng)和Sn>0(n＝1,2,3，…)，則q的取值范圍是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：68334019】
(－1,0)∪(0，＋∞) [因?yàn)閧an}是等比數(shù)列，Sn>0，可得a1＝S1>
6、0，q≠0.
當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1>0；
當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝>0，
即>0(n∈N*)，則有?、?
或?、?
由①得－11.
故q的取值范圍是(－1,0)∪(0，＋∞)．]
6．若x＞0且x≠1，則函數(shù)y＝lg x＋logx10的值域?yàn)開_______．
(－∞，－2]∪[2，＋∞) [當(dāng)x＞1時(shí)，y＝lg x＋≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)lg x＝1，即x＝10時(shí)等號(hào)成立；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＝lg x＋＝－≤－2＝－2，當(dāng)且僅當(dāng)lg x＝，即x＝時(shí)等號(hào)成立．∴y∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．]
題組2 由參數(shù)變化引起的分類討論
7．已知集合A＝{
7、x|1≤x＜5}，C＝{x|－a＜x≤a＋3}．若C∩A＝C，則a的取值范圍為( )
A. B.
C．(－∞，－1] D.
C [因?yàn)镃∩A＝C，所以C?A.
①當(dāng)C＝?時(shí)，滿足C?A，此時(shí)－a≥a＋3，得a≤－；
②當(dāng)C≠?時(shí)，要使C?A，則
解得－＜a≤－1.由①②得a≤－1.]
8．已知不等式組，所表示的平面區(qū)域?yàn)镈，若直線y＝kx－3與平面區(qū)域D有公共點(diǎn)，則k的取值范圍為( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：68334020】
A．[－3,3]
B.∪
C．(－∞，－3]∪[3，＋∞)
D.
C [滿足不等式組的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示．∵y＝kx－
8、3過定點(diǎn)(0，－3)，∴當(dāng)y＝kx－3過點(diǎn)C(1,0)時(shí)，k＝3；當(dāng)y＝kx－3過點(diǎn)B(－1,0)時(shí)，k＝－3.
∴k≤－3或k≥3時(shí)，直線y＝kx－3與平面區(qū)域D有公共點(diǎn)，故選C.]
9．已知函數(shù)f(x)＝(a＋1)ln x＋ax2＋1，試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性．
[解] 由題意知f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)， 1分
f′(x)＝＋2ax＝. 2分
①當(dāng)a≥0時(shí)，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增. 4分
②當(dāng)a≤－1時(shí)，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減. 6分
③當(dāng)－1
9、x∈時(shí)，f′(x)>0；
當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)<0.
故f(x)在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減. 10分
綜上，當(dāng)a≥0時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；
當(dāng)a≤－1時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；
當(dāng)－1
10、
11．正三棱柱的側(cè)面展開圖是邊長分別為6和4的矩形，則它的體積為________.
【導(dǎo)學(xué)號(hào)：68334021】
4或 [若側(cè)面矩形的長為6，寬為4，則
V＝S底×h＝×2×2×sin 60°×4＝4.
若側(cè)面矩形的長為4，寬為6，則
V＝S底×h＝×××sin 60°×6＝.]
12．已知中心在原點(diǎn)O，左焦點(diǎn)為F1(－1,0)的橢圓C的左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，F(xiàn)1到直線AB的距離為|OB|.
圖2
(1)求橢圓C的方程；
(2)若橢圓C1的方程為：＋＝1(m＞n＞0)，橢圓C2的方程為：＋＝λ(λ＞0，且λ≠1)，則稱橢圓C2是橢圓C1的λ倍相似橢圓．
11、如圖2，已知C2是橢圓C的3倍相似橢圓，若橢圓C的任意一條切線l交橢圓C2于兩點(diǎn)M，N，試求弦長|MN|的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：68334022】
[解] (1)設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a＞b＞0)，
∴直線AB的方程為＋＝1，
∴F1(－1,0)到直線AB的距離d＝＝b， 2分
a2＋b2＝7(a－1)2，又b2＝a2－1，
解得a＝2，b＝， 3分
故橢圓C的方程為＋＝1. 4分
(2)橢圓C的3倍相似橢圓C2的方程為＋＝1， 5分
①若切線l垂直于x軸，則其方程為x＝±2，
易求得|MN|＝2. 6分
②若切線l不垂直于x軸，可設(shè)其方程y＝k
12、x＋b，
將y＝kx＋b代入橢圓C的方程，
得(3＋4k2)x2＋8kbx＋4b2－12＝0， 7分
∴Δ＝(8kb)2－4(3＋4k2)(4b2－12)＝48(4k2－3－b2)＝0，即b2＝4k2＋3，(*)
8分
記M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)．
將y＝kx＋b代入橢圓C2的方程，得(3＋4k2)x2＋8kbx＋4b2－36＝0， 9分
此時(shí)x1＋x2＝－，x1x2＝，|x1－x2|＝， 10分
∴|MN|＝×
＝4＝2.
∵3＋4k2≥3，∴1＜1＋≤，
即2＜2≤4.
綜合①②得：弦長|MN|的取值范圍為[2，4]. 15分
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