新編高考數(shù)學人教A版理科含答案導學案【第四章】三角函數(shù)、解三角形 學案20

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1、新編高考數(shù)學復習資料 學案20 函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象及 三角函數(shù)模型的簡單應用 導學目標: 1.了解函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的物理意義;能畫出y=Asin(ωx+φ)的圖象,了解參數(shù)A,ω,φ對函數(shù)圖象變化的影響.2.了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型,會用三角函數(shù)解決一些簡單實際問題. 自主梳理 1.用五點法畫y=Asin(ωx+φ)一個周期內的簡圖 用五點法畫y=Asin(ωx+φ)一個周期內的簡圖時,要找五個特征點.如下表所示. X Ωx+φ y= Asin(ωx+φ) 0 A 0 -

2、A 0 2.圖象變換:函數(shù)y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)的圖象可由函數(shù)y=sin x的圖象作如下變換得到: (1)相位變換:y=sin xy=sin(x+φ),把y=sin x圖象上所有的點向____(φ>0)或向____(φ<0)平行移動__________個單位. (2)周期變換:y=sin (x+φ)→y=sin(ωx+φ),把y=sin(x+φ)圖象上各點的橫坐標____(0<ω<1)或____(ω>1)到原來的________倍(縱坐標不變). (3)振幅變換:y=sin (ωx+φ)→y=Asin(ωx+φ),把y=sin(ωx+φ)圖象上各點的縱坐標_

3、_____(A>1)或______(00,ω>0),x∈(-∞,+∞)表示一個振動量時,則____叫做振幅,T=________叫做周期,f=______叫做頻率,________叫做相位,____叫做初相. 函數(shù)y=Acos(ωx+φ)的最小正周期為____________.y=Atan(ωx+φ)的最小正周期為________. 自我檢測 1.(2011·池州月考)要得到函數(shù)y=sin的圖象,可以把函數(shù)y=sin 2x的圖象(  ) A.向左平移個單位 B.向右平移個單位 C.向左平移個

4、單位 D.向右平移個單位 2.已知函數(shù)f(x)=sin (x∈R,ω>0)的最小正周期為π.將y=f(x)的圖象向左平移|φ|個單位長度,所得圖象關于y軸對稱,則φ的一個值是 (  ) A. B. C. D. 3.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+)(x∈R,ω>0)的最小正周期為π,為了得到函數(shù)g(x)=cos ωx的圖象,只要將y=f(x)的圖象 (  ) A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度 C.向左平移

5、個單位長度 D.向右平移個單位長度 4.(2011·太原高三調研)函數(shù)y=sin的一條對稱軸方程是 (  ) A.x= B.x= C.x= D.x= 5.(2011·六安月考)若動直線x=a與函數(shù)f(x)=sin x和g(x)=cos x的圖象分別交于M、N兩點,則|MN|的最大值為 (  ) A.1 B. C. D.2 探究點一 三角函數(shù)的圖象及變換 例1 已知函數(shù)y=2sin. (1)

6、求它的振幅、周期、初相;(2)用“五點法”作出它在一個周期內的圖象;(3)說明y=2sin的圖象可由y=sin x的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到. 變式遷移1 設f(x)=cos2x+sin xcos x+sin2x (x∈R). (1)畫出f(x)在上的圖象; (2)求函數(shù)的單調增減區(qū)間; (3)如何由y=sin x的圖象變換得到f(x)的圖象? 探究點二 求y=Asin(ωx+φ)的解析式 例2 已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|<,x∈R)的圖象的一部分如圖所示.求函數(shù)f(x)的解析式. 變式

7、遷移2 (2011·寧波模擬)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|<)的圖象與y軸的交點為(0,1),它在y軸右側的第一個最高點和第一個最低點的坐標分別為(x0,2)和(x0+2π,-2). (1)求f(x)的解析式及x0的值; (2)若銳角θ滿足cos θ=,求f(4θ)的值. 探究點三 三角函數(shù)模型的簡單應用 例3 已知海灣內海浪的高度y(米)是時間t(0≤t≤24,單位:小時)的函數(shù),記作y=f(t).下表是某日各時刻記錄的浪高數(shù)據(jù): t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 1.0

8、0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 經(jīng)長期觀測,y=f(t)的曲線可近似地看成是函數(shù)y=Acos ωt+b.(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),求函數(shù)y=Acos ωt+b的最小正周期T,振幅A及函數(shù)表達式;(2)依據(jù)規(guī)定,當海浪高度高于1米時才對沖浪愛好者開放,請依據(jù)(1)的結論,判斷一天內的上午8∶00至晚上20∶00之間,有多少時間可供沖浪者進行運動? 變式遷移3 交流電的電壓E(單位:伏)與時間t(單位:秒)的關系可用E=220sin表示,求: (1)開始時的電壓;(2)最大電壓值重復出現(xiàn)一次的時間間隔;(3)電壓的最大值和第一次取得最大值時的時

9、間. 數(shù)形結合思想的應用 例 (12分)設關于θ的方程cos θ+sin θ+a=0在區(qū)間(0,2π)內有相異的兩個實根α、β. (1)求實數(shù)a的取值范圍; (2)求α+β的值. 【答題模板】 解 (1)原方程可化為sin(θ+)=-, 作出函數(shù)y=sin(x+)(x∈(0,2π))的圖象. [3分] 由圖知,方程在(0,2π)內有相異實根α,β的充要條件是. 即-2

10、分] 當-2

11、用三角函數(shù)有界性求a的范圍,不僅過程繁瑣,而且很容易漏掉a≠-的限制,而從圖象中可以清楚地看出當a=-時,方程只有一解. 1.從“整體換元”的思想認識、理解、運用“五點法作圖”,尤其在求y=Asin(ωx+φ)的單調區(qū)間、解析式等相關問題中要充分理解基本函數(shù)y=sin x的作用. 2.三角函數(shù)自身綜合問題:要以課本為主,充分掌握公式之間的內在聯(lián)系,從函數(shù)名稱、角度、式子結構等方面觀察,尋找聯(lián)系,結合單位圓或函數(shù)圖象等分析解決問題. 3.三角函數(shù)模型應用的解題步驟: (1)根據(jù)圖象建立解析式或根據(jù)解析式作出圖象. (2)將實際問題抽象為與三角函數(shù)有關的簡單函數(shù)模型. (3)利用收

12、集到的數(shù)據(jù)作出散點圖,并根據(jù)散點圖進行函數(shù)擬合,從而得到函數(shù)模型. (滿分:75分) 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.將函數(shù)y=sin的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),再將所得的圖象向左平移個單位,得到的圖象對應的解析式是 (  ) A.y=sin x B.y=sin C.y=sin D.y=sin 2.(2011·銀川調研)如圖所示的是某函數(shù)圖象的一部分,則此函數(shù)是 (  ) A.y=sin B.y=sin C.y=cos D.y=cos 3.

13、為得到函數(shù)y=cos的圖象,只需將函數(shù)y=sin 2x的圖象 (  ) A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度 C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度 4.(2009·遼寧)已知函數(shù)f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖象如圖所示,f()=-,則f(0)等于 (  ) A.- B.- C. D. 5.(2011·煙臺月考)若函數(shù)y=Asin(ωx+φ)

14、+m(A>0,ω>0)的最大值為4,最小值為0,最小正周期為,直線x=是其圖象的一條對稱軸,則它的解析式是 (  ) A.y=4sin B.y=2sin+2 C.y=2sin+2 D.y=2sin+2 題號 1 2 3 4 5 答案 二、填空題(每小題4分,共12分) 6.已知函數(shù)y=sin(ωx+φ) (ω>0,-π≤φ<π)的圖象如圖所示,則φ=________. 7.(2010·濰坊五校聯(lián)考)函數(shù)f(x)=cos 2x的圖象向左平移個單位長度后得到g(x)的圖象,則g(x)=______.

15、 8.(2010·福建)已知函數(shù)f(x)=3sin (ω>0)和g(x)=2cos(2x+φ)+1的圖象的對稱軸完全相同.若x∈,則f(x)的取值范圍是____________. 三、解答題(共38分) 9.(12分)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<,x∈R)的圖象的一部分如下圖所示. (1)求函數(shù)f(x)的解析式; (2)當x∈[-6,-]時,求函數(shù)y=f(x)+f(x+2)的最大值與最小值及相應的x的值. 10.(12分)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,0<ω≤2且0≤φ≤π)是R上的偶函數(shù),其圖象過點M(0,

16、2).又f(x)的圖象關于點N對稱且在區(qū)間[0,π]上是減函數(shù),求f(x)的解析式. 11.(14分)(2010·山東)已知函數(shù)f(x)=sin(π-ωx)·cos ωx+cos2ωx (ω>0)的最小正周期為π, (1)求ω的值; (2)將函數(shù)y=f(x)的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的,縱坐標不變,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求函數(shù)y=g(x)在區(qū)間上的最小值. 答案 自主梳理 1.     0  π  2π 2.(1)左 右 |φ| (2)伸長 縮短  (3)伸長 縮短 A 3.A   ωx+φ φ   自我檢測 1.B 2.D 3.A 

17、4.D 5.B 課堂活動區(qū) 例1 解題導引 (1)作三角函數(shù)圖象的基本方法就是五點法,此法注意在作出一個周期上的簡圖后,應向兩邊伸展一下,以示整個定義域上的圖象; (2)變換法作圖象的關鍵是看x軸上是先平移后伸縮還是先伸縮后平移,對于后者可利用ωx+φ=ω來確定平移單位. 解 (1)y=2sin的振幅A=2,周期T==π,初相φ=. (2)令X=2x+,則y=2sin=2sin X. 列表: X - X 0 π 2π y=sin X 0 1 0 -1 0 y=2sin 0 2 0 -2 0 描點連線,得圖象如圖所示:

18、 (3)將y=sin x的圖象上每一點的橫坐標x縮短為原來的倍(縱坐標不變),得到y(tǒng)=sin 2x的圖象;再將y=sin 2x的圖象向左平移個單位,得到y(tǒng)=sin 2=sin的圖象;再將y=sin的圖象上每一點的橫坐標保持不變,縱坐標伸長為原來的2倍,得到y(tǒng)=2sin的圖象. 變式遷移1 解 y=·+sin 2x+· =1+sin 2x-cos 2x=1+sin. (1)(五點法)設X=2x-, 則x=X+,令X=0,,π,,2π, 于是五點分別為,,,,,描點連線即可得圖象,如下圖. (2)由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z, 得單調增區(qū)間為,k∈Z. 由+2kπ≤

19、2x-≤+2kπ,k∈Z, 得單調減區(qū)間為,k∈Z. (3)把y=sin x的圖象向右平移個單位;再把橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變);最后把所得圖象向上平移1個單位即得y=sin+1的圖象. 例2 解題導引 確定y=Asin(ωx+φ)+b的解析式的步驟: (1)求A,b.確定函數(shù)的最大值M和最小值m,則A=,b=.(2)求ω.確定函數(shù)的周期T,則ω=.(3)求參數(shù)φ是本題的關鍵,由特殊點求φ時,一定要分清特殊點是“五點法”的第幾個點. 解 由圖象可知A=2,T=8. ∴ω===. 方法一 由圖象過點(1,2), 得2sin=2, ∴sin=1.∵|φ|<,∴φ=, ∴

20、f(x)=2sin. 方法二 ∵點(1,2)對應“五點”中的第二個點. ∴×1+φ=,∴φ=, ∴f(x)=2sin. 變式遷移2 解 (1)由題意可得: A=2,=2π,即=4π,∴ω=, f(x)=2sin,f(0)=2sin φ=1, 由|φ|<,∴φ=.∴f(x)=2sin(x+). f(x0)=2sin=2, 所以x0+=2kπ+,x0=4kπ+ (k∈Z), 又∵x0是最小的正數(shù),∴x0=. (2)f(4θ)=2sin =sin 2θ+cos 2θ, ∵θ∈,cos θ=,∴sin θ=, ∴cos 2θ=2cos2θ-1=-, sin 2θ=2si

21、n θcos θ=, ∴f(4θ)=×-=. 例3 解題導引 (1)三角函數(shù)模型在實際中的應用體現(xiàn)在兩個方面,一是已知函數(shù)模型,如本例,關鍵是準確理解自變量的意義及自變量與函數(shù)之間的對應法則,二是把實際問題抽象轉化成數(shù)學問題,建立三角函數(shù)模型,再利用三角函數(shù)的有關知識解決問題,其關鍵是建模.(2)如何從表格中得到A、ω、b的值是解題的關鍵也是易錯點,同時第二問中解三角不等式也是易錯點.(3)對于三角函數(shù)模型y=Asin(ωx+φ)+k (A>0,ω>0)中參數(shù)的確定有如下結論:①A=;②k=;③ω=;④φ由特殊點確定. 解 (1)由表中數(shù)據(jù),知周期T=12, ∴ω===, 由t=0,

22、y=1.5,得A+b=1.5; 由t=3,y=1.0,得b=1.0, ∴A=0.5,b=1,∴y=cos t+1. (2)由題知,當y>1時才可對沖浪者開放, ∴cos t+1>1,∴cos t>0, ∴2kπ-

23、(秒). (3)當100πt+=,t=秒時,第一次取得最大值,電壓的最大值為220伏. 課后練習區(qū) 1.C 2.D 3.A 4.C 5.D 6. 7.-sin 2x 8. 9.解 (1)由圖象知A=2, ∵T==8,∴ω=.……………………………………………………………………(2分) 又圖象經(jīng)過點(-1,0),∴2sin(-+φ)=0. ∵|φ|<,∴φ=. ∴f(x)=2sin(x+).………………………………………………………………………(5分) (2)y=f(x)+f(x+2) =2sin(x+)+2sin(x++) =2sin(x+)=2cosx.……………

24、………………………………………………(8分) ∵x∈[-6,-],∴-≤x≤-. ∴當x=-,即x=-時,y=f(x)+f(x+2)取得最大值; 當x=-π,即x=-4時,y=f(x)+f(x+2)取得最小值-2.………………………(12分) 10.解 根據(jù)f(x)是R上的偶函數(shù),圖象過點M(0,2),可得f(-x)=f(x)且A=2, 則有2sin(-ωx+φ)=2sin(ωx+φ), 即sin ωxcos φ=0, ∴cos φ=0,即φ=kπ+ (k∈Z). 而0≤φ≤π,∴φ=.………………………………………………………………………(4分) 再由f(x)=2sin(-

25、ωx+)=2cos ωx的圖象關于點N對稱,f()=2cos(π)=0 ∴cos π=0,……………………………………………………………………………(8分) 即π=kπ+ (k∈Z),ω= (k∈Z). 又0<ω≤2,∴ω=或ω=2.……………………………………………………………(10分) 最后根據(jù)f(x)在區(qū)間[0,π]上是減函數(shù), 可知只有ω=滿足條件. 所以f(x)=2cos x.………………………………………………………………………(12分) 11.解 (1)f(x)=sin(π-ωx)cos ωx+cos2ωx =sin ωxcos ωx+ =sin 2ωx+cos 2ωx+ =sin+.……………………………………………………………………(6分) 由于ω>0,依題意得=π,所以ω=1.………………………………………………(8分) (2)由(1)知f(x)=sin+, 所以g(x)=f(2x) =sin+.……………………………………………………………………(10分) 當0≤x≤時,≤4x+≤. 所以≤sin≤1. 因此1≤g(x)≤,…………………………………………………………………(13分) 所以g(x)在此區(qū)間內的最小值為1.…………………………………………………(14分)

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