新編高考數(shù)學(xué)人教A版理科含答案導(dǎo)學(xué)案【第四章】三角函數(shù)、解三角形 學(xué)案22

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 學(xué)案22 簡單的三角恒等變換 導(dǎo)學(xué)目標(biāo): 1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式,并熟練應(yīng)用.2.能運(yùn)用兩角和與差的三角公式進(jìn)行簡單的恒等變換. 自主梳理 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α=________________; (2)cos 2α=______________=________________-1=1-________________; (3)tan 2α=________________________ (α≠+且α≠kπ+). 2.公式的逆向變換及有關(guān)變形 (1)sin αcos α=______________

2、______?cos α=; (2)降冪公式:sin2α=________________,cos2α=________________; 升冪公式:1+cos α=________________,1-cos α=_____________; 變形:1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=________________________. 自我檢測 1.(2010·陜西)函數(shù)f(x)=2sin xcos x是 (  ) A.最小正周期為2π的奇函數(shù) B.最小正周期為2π的偶函數(shù)

3、 C.最小正周期為π的奇函數(shù) D.最小正周期為π的偶函數(shù) 2.函數(shù)f(x)=cos 2x-2sin x的最小值和最大值分別為 (  ) A.-3,1 B.-2,2 C.-3, D.-2, 3.函數(shù)f(x)=sin xcos x的最小值是 (  ) A.-1 B.- C. D.1 4.(2011·清遠(yuǎn)月考)已知A、B為直角三角形的兩個(gè)銳角,則sin A·sin B (  ) A.有最大值,最小

4、值0 B.有最小值,無最大值 C.既無最大值也無最小值 D.有最大值,無最小值 探究點(diǎn)一 三角函數(shù)式的化簡 例1 求函數(shù)y=7-4sin xcos x+4cos2x-4cos4x的最大值和最小值. 變式遷移1 (2011·泰安模擬)已知函數(shù)f(x)=. (1)求f的值; (2)當(dāng)x∈時(shí),求g(x)=f(x)+sin 2x的最大值和最小值. 探究點(diǎn)二 三角函數(shù)式的求值 例2 已知sin(+2α)·sin(-2α)=,α∈(,),求2sin2α+tan α--1的值. 變式遷移2 (1)已知α是第一象限角,且cos α=,求

5、的值. (2)已知cos(α+)=,≤α<,求cos(2α+)的值. 探究點(diǎn)三 三角恒等式的證明 例3 (2011·蘇北四市模擬)已知sin(2α+β)=3sin β,設(shè)tan α=x,tan β=y(tǒng),記y=f(x). (1)求證:tan(α+β)=2tan α; (2)求f(x)的解析表達(dá)式; (3)若角α是一個(gè)三角形的最小內(nèi)角,試求函數(shù)f(x)的值域. 變式遷移3 求證: =. 轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用 例 (12分)(2010·江西)已知函數(shù)f(x)= sin2x+msinsin. (1)當(dāng)m=0時(shí),求f(x)在區(qū)間

6、上的取值范圍; (2)當(dāng)tan α=2時(shí),f(α)=,求m的值. 【答題模板】 解 (1)當(dāng)m=0時(shí),f(x)=sin2x =sin2x+sin xcos x= =,[3分] 由已知x∈,得2x-∈,[4分] 所以sin∈,[5分] 從而得f(x)的值域?yàn)?[6分] (2)f(x)=sin2x+sin xcos x-cos 2x =+sin 2x-cos 2x =[sin 2x-(1+m)cos 2x]+,[8分] 由tan α=2,得sin 2α===, cos 2α===-.[10分] 所以=+,[11分] 解得m=-2.[12分] 【突破思維障礙】 三角

7、函數(shù)式的化簡是指利用誘導(dǎo)公式、同角基本關(guān)系式、和與差的三角函數(shù)公式、二倍角公式等,將較復(fù)雜的三角函數(shù)式化得更簡潔、更清楚地顯示出式子的結(jié)果.化簡三角函數(shù)式的基本要求是:(1)能求出數(shù)值的要求出數(shù)值;(2)使三角函數(shù)式的項(xiàng)數(shù)最少、次數(shù)最低、角與函數(shù)的種類最少;(3)分式中的分母盡量不含根式等. 1.求值中主要有三類求值問題: (1)“給角求值”:一般所給出的角都是非特殊角,從表面來看是很難的,但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系,解題時(shí),要利用觀察得到的關(guān)系,結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解. (2)“給值求值”:給出某些角的三角函數(shù)式的值,求另外一些角的三角函數(shù)

8、值,解題關(guān)鍵在于“變角”,使其角相同或具有某種關(guān)系. (3)“給值求角”:實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”,關(guān)鍵也是變角,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角. 2.三角恒等變換的常用方法、技巧和原則: (1)在化簡求值和證明時(shí)常用如下方法:切割化弦法,升冪降冪法,和積互化法,輔助元素法,“1”的代換法等. (2)常用的拆角、拼角技巧如:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,α=(α-β)+β,=+,是的二倍角等. (3)化繁為簡:變復(fù)角為單角,變不同角為同角,化非同名函數(shù)為同名函數(shù),化高次為低次,化多項(xiàng)式為單項(xiàng)式,化無理式為有理式. 消除差異

9、:消除已知與未知、條件與結(jié)論、左端與右端以及各項(xiàng)的次數(shù)、角、函數(shù)名稱、結(jié)構(gòu)等方面的差異. (滿分:75分) 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.(2011·平頂山月考)已知0<α<π,3sin 2α=sin α,則cos(α-π)等于 (  ) A. B.- C. D.- 2.已知tan(α+β)=,tan=,那么tan等于 (  ) A. B. C. D. 3.(2011·石家莊模擬)已知cos 2α= (其中α∈),則sin α的值為 (  ) A.

10、 B.- C. D.- 4.若f(x)=2tan x-,則f的值為 (  ) A.- B.8 C.4 D.-4 5.(2010·福建廈門外國語學(xué)校高三第二次月考)在△ABC中,若cos 2B+3cos(A+C)+2=0,則sin B的值是 (  ) A. B. C. D.1 題號(hào) 1 2 3 4 5 答案 二、填空題(每小題4分,共12分) 6.(2010·全國Ⅰ)已知α為第二象限的角,且sin

11、 α=,則tan 2α=________. 7.函數(shù)y=2cos2x+sin 2x的最小值是________. 8.若=-,則cos α+sin α的值為________. 三、解答題(共38分) 9.(12分)化簡:(1)cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°; (2). 10.(12分)(2011·南京模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=sin xcos x-cos xsin-. (1)求f(x)的最小正周期; (2)當(dāng)∈時(shí),求函數(shù)f(x)的最大值和最小值. 11.(14分)(2010·北京)已知函數(shù)f(x)=2cos 2x+sin2x

12、-4cos x. (1)求f()的值; (2)求f(x)的最大值和最小值. 答案 自主梳理 1.(1)2sin αcos α (2)cos2α-sin2α 2cos2α 2sin2α (3) 2.(1)sin 2α (2)  2cos2 2sin2 (sin α±cos α)2 自我檢測 1.C 2.C 3.B 4.D 課堂活動(dòng)區(qū) 例1 解題導(dǎo)引 化簡的原則是形式簡單,三角函數(shù)名稱盡量少,次數(shù)盡量低,最好不含分母,能求值的盡量求值.本題要充分利用倍角公式進(jìn)行降冪,利用配方變?yōu)閺?fù)合函數(shù),重視復(fù)合函數(shù)中間變量的范圍是關(guān)鍵. 解 y=7-4sin xcos x+

13、4cos2x-4cos4x =7-2sin 2x+4cos2x(1-cos2x) =7-2sin 2x+4cos2xsin2x =7-2sin 2x+sin22x=(1-sin 2x)2+6, 由于函數(shù)z=(u-1)2+6在[-1,1]中的最大值為zmax=(-1-1)2+6=10,最小值為zmin=(1-1)2+6=6, 故當(dāng)sin 2x=-1時(shí),y取得最大值10, 當(dāng)sin 2x=1時(shí),y取得最小值6. 變式遷移1 解 (1)f(x) = = ===2cos 2x, ∴f=2cos=2cos =. (2)g(x)=cos 2x+sin 2x =sin. ∵x∈,

14、∴2x+∈, ∴當(dāng)x=時(shí),g(x)max=, 當(dāng)x=0時(shí),g(x)min=1. 例2 解題導(dǎo)引 (1)這類問題一般是先化簡再求值;化簡后目標(biāo)更明確; (2)如果能從已知條件中求出特殊值,應(yīng)轉(zhuǎn)化為特殊角,可簡化運(yùn)算,對(duì)切函數(shù)通常化為弦函數(shù). 解 由sin(+2α)·sin(-2α) =sin(+2α)·cos(+2α) =sin(+4α)=cos 4α=, ∴cos 4α=,又α∈(,),故α=, ∴2sin2α+tan α--1 =-cos 2α+ =-cos 2α+ =-cos-=. 變式遷移2 解 (1)∵α是第一象限角,cos α=, ∴sin α=. ∴=

15、 = ===-. (2)cos(2α+)=cos 2αcos-sin 2αsin =(cos 2α-sin 2α), ∵≤α<π, ∴≤α+<π. 又cos(α+)=>0, 故可知π<α+<π, ∴sin(α+)=-, 從而cos 2α=sin(2α+) =2sin(α+)cos(α+) =2×(-)×=-. sin 2α=-cos(2α+) =1-2cos2(α+) =1-2×()2=. ∴cos(2α+)=(cos 2α-sin 2α)=×(--) =-. 例3 解題導(dǎo)引 本題的關(guān)鍵是第(1)小題的恒等式證明,對(duì)于三角恒等式的證明,我們要注意觀察、分析條

16、件恒等式與目標(biāo)恒等式的異同,特別是分析已知和要求的角之間的關(guān)系,再分析函數(shù)名之間的關(guān)系,則容易找到思路.證明三角恒等式的實(shí)質(zhì)就是消除等式兩邊的差異,有目的地化繁為簡,左右歸一或變更論證.對(duì)于第(2)小題同樣要從角的關(guān)系入手,利用兩角和的正切公式可得關(guān)系.第(3)小題則利用基本不等式求解即可. (1)證明 由sin(2α+β)=3sin β,得sin[(α+β)+α] =3sin[(α+β)-α], 即sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α=3sin(α+β)cos α-3cos(α+β)sin α, ∴sin(α+β)cos α=2cos(α+β)sin α, ∴ta

17、n(α+β)=2tan α. (2)解 由(1)得=2tan α,即=2x, ∴y=,即f(x)=. (3)解 ∵角α是一個(gè)三角形的最小內(nèi)角, ∴0<α≤,0

18、 [因?yàn)棣粒拢溅粒拢? 所以α+=(α+β)-. 所以tan=tan ==.] 3.B [∵=cos 2α=1-2sin2α, ∴sin2α=.又∵α∈, ∴sin α=-.] 4.B [f(x)=2tan x+=2tan x+ == ∴f==8.] 5.C [由cos 2B+3cos(A+C)+2=0化簡變形,得2cos2B-3cos B+1=0, ∴cos B=或cos B=1(舍). ∴sin B=.] 6.- 解析 因?yàn)棣翞榈诙笙薜慕?,又sin α=, 所以cos α=-,tan α==-, 所以tan 2α==-. 7.1- 解析 ∵y=2

19、cos2x+sin 2x=sin 2x+1+cos 2x =sin 2x+cos 2x+1=sin+1, ∴當(dāng)sin(2x+)=-1時(shí),函數(shù)取得最小值1-. 8. 解析 ∵= =-(sin α+cos α)=-, ∴cos α+sin α=. 9.解 (1)∵sin 2α=2sin αcos α, ∴cos α=,…………………………………………………………………………(2分) ∴原式=··· ==.……………………………………………………………………(6分) (2)原式=………………………………………………………(9分) ===tan4α.……………………………………

20、…………………(12分) 10.解 f(x)=sin xcos x-cos xsin- =sin 2x-cos 2x-1 =sin-1.…………………………………………………………………………(4分) (1)T==π,故f(x)的最小正周期為π.…………………………………………………(6分) (2)因?yàn)?≤x≤,所以-≤2x-≤. 所以當(dāng)2x-=,即x=時(shí),f(x)有最大值0, ……………………………………………………………………………………………(10分) 當(dāng)2x-=-,即x=0時(shí),f(x)有最小值-. ……………………………………………………………………………………………(12分) 11.解 (1)f()=2cos+sin2-4cos =-1+-2=-.………………………………………………………………………(4分) (2)f(x)=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)-4cos x =3cos2x-4cos x-1 =3(cos x-)2-,x∈R.………………………………………………………………(10分) 因?yàn)閏os x∈[-1,1], 所以,當(dāng)cos x=-1時(shí),f(x)取得最大值6; 當(dāng)cos x=時(shí),f(x)取得最小值-.…………………………………………………(14分)

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