高三數(shù)學(xué)北師大版文一輪課后限時集訓(xùn)：42 空間圖形的基本關(guān)系與公理 Word版含解析

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1、 空間圖形的基本關(guān)系與公理 建議用時：45分鐘 一、選擇題 1．下列命題中，真命題的個數(shù)為(　　) ①如果兩個平面有三個不在一條直線上的公共點(diǎn)，那么這兩個平面重合； ②兩條直線可以確定一個平面； ③空間中，相交于同一點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi)； ④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，則M∈l. A．1 B．2　　　　 C．3　　　　 D．4 B　[根據(jù)公理2，可判斷①是真命題；兩條異面直線不能確定一個平面，故②是假命題；在空間，相交于同一點(diǎn)的三條直線不一定共面(如墻角)，故③是假命題；根據(jù)平面的性質(zhì)可知④是真命題．綜上，真命題的個數(shù)為2.] 2．在正方體AB

2、CD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是線段BC，CD1的中點(diǎn)，則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是(　　) A．相交 B．異面 C．平行 D．垂直 A　[由BCAD，ADA1D1知，BCA1D1，從而四邊形A1BCD1是平行四邊形，所以A1B∥CD1，又EF平面A1BCD1，EF∩D1C＝F，則A1B與EF相交．] 3．a(chǎn)，b，c是兩兩不同的三條直線，下面四個命題中，真命題是(　　) A．若直線a，b異面，b，c異面，則a，c異面 B．若直線a，b相交，b，c相交，則a，c相交 C．若a∥b，則a，b與c所成的角相等 D．若a⊥b，b⊥c，則a∥c C　[對于A，B，D，a與c

3、可能相交、平行或異面，因此A，B，D不正確，根據(jù)異面直線所成角的定義知C正確．] 4．在空間四邊形ABCD各邊AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，如果EF，GH相交于點(diǎn)P，那么(　　) A．點(diǎn)P必在直線AC上 B．點(diǎn)P必在直線BD上 C．點(diǎn)P必在平面DBC內(nèi) D．點(diǎn)P必在平面ABC外 A　[如圖，因為EF平面ABC，而GH平面ADC，且EF和GH相交于點(diǎn)P，所以點(diǎn)P在兩平面的交線上，因為AC是兩平面的交線，所以點(diǎn)P必在直線AC上．] 5．如圖所示，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，則異面直線A1B與AD1所成角的

4、余弦值為(　　) A. B. C. D. D　[連接BC1，易證BC1∥AD1， 則∠A1BC1即為異面直線A1B與AD1所成的角． 連接A1C1，由AB＝1，AA1＝2， 則A1C1＝，A1B＝BC1＝， 在△A1BC1中，由余弦定理得 cos∠A1BC1＝＝.] 二、填空題 6．已知AE是長方體ABCD-EFGH的一條棱，則在這個長方體的十二條棱中，與AE異面且垂直的棱共有________條． 4　[作出長方體ABCD-EFGH. 在這個長方體的十二條棱中，與AE異面且垂直的棱有：GH、GF、BC、CD.共4條．] 7．已知在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AC

5、，BD的中點(diǎn)．若AB＝2，CD＝4，EF⊥AB，則EF與CD所成角的度數(shù)為________． 30°　[如圖，設(shè)G為AD的中點(diǎn)，連接GF，GE，則GF，GE分別為△ABD，△ACD的中位線． 由此可得GF∥AB，且GF＝AB＝1， GE∥CD，且GE＝CD＝2， ∴∠FEG或其補(bǔ)角即為EF與CD所成的角． 又∵EF⊥AB，GF∥AB，∴EF⊥GF. 因此，在Rt△EFG中，GF＝1，GE＝2， sin∠GEF＝＝，可得∠GEF＝30°， ∴EF與CD所成角的度數(shù)為30°.] 8．如圖是正四面體的平面展開圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點(diǎn)，在這個正四面體中，

6、 ①GH與EF平行； ②BD與MN為異面直線； ③GH與MN成60°角； ④DE與MN垂直． 以上四個命題中，正確命題的序號是________． ②③④　[如圖，把平面展開圖還原成正四面體，知GH與EF為異面直線，BD與MN為異面直線，GH與MN成60°角，DE與MN垂直，故②③④正確．] 三、解答題 9．已知空間四邊形ABCD(如圖所示)，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別是BC，CD上的點(diǎn)，且CG＝BC，CH＝DC. 求證：(1)E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面； (2)三直線FH，EG，AC共點(diǎn)． [證明](1)連接EF，GH， 因為E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)

7、，所以EF∥BD. 又因為CG＝BC，CH＝DC， 所以GH∥BD，所以EF∥GH， 所以E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面． (2)易知FH與直線AC不平行，但共面，所以設(shè)FH∩AC＝M， 所以M∈平面EFHG，M∈平面ABC. 又因為平面EFHG∩平面ABC＝EG， 所以M∈EG，所以FH，EG，AC共點(diǎn)． 10．如圖所示，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點(diǎn)．已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2.求： (1)三棱錐P-ABC的體積； (2)異面直線BC與AD所成角的余弦值． [解](1)S△ABC＝×2×2＝2， 三棱錐P-ABC的體積為 V＝

8、S△ABC·PA＝×2×2＝. (2)如圖，取PB的中點(diǎn)E，連接DE，AE，則ED∥BC，所以∠ADE是異面直線BC與AD所成的角(或其補(bǔ)角)． 在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2，cos∠ADE＝＝. 故異面直線BC與AD所成角的余弦值為. 1．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BB1，則AB1與BC1所成角的大小為(　　) A．30°　　　　 B．60° C．75° D．90° D　[將正三棱柱ABC-A1B1C1補(bǔ)為四棱柱ABCD-A1B1C1D1，連接C1D，BD，則C1D∥B1A，∠BC1D為所求角或其補(bǔ)角．設(shè)BB1＝，則BC＝CD＝2，∠BCD＝120

9、°，BD＝2，又因為BC1＝C1D＝，所以∠BC1D＝90°.] 2．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱CC1，A1D1的中點(diǎn)，則異面直線A1B與MN所成的角為(　　) A．30°　　　B．45° C．60°　　　D．90° A　[如圖，取C1D1的中點(diǎn)P，連接PM，PN，CD1. 因為M為棱CC1的中點(diǎn)，P為C1D1的中點(diǎn)，所以PM∥CD1，所以PM∥A1B， 則∠PMN是異面直線A1B與MN所成角的平面角． 設(shè)AB＝2， 在△PMN中，PM＝PN＝，MN＝， 則cos∠PMN＝＝，即∠PMN＝30°. 故選A.] 3.如圖所示，在四面體ABCD中

10、作截面PQR，若PQ與CB的延長線交于點(diǎn)M，RQ與DB的延長線交于點(diǎn)N，RP與DC的延長線交于點(diǎn)K.給出以下命題： ①直線MN平面PQR； ②點(diǎn)K在直線MN上； ③M，N，K，A四點(diǎn)共面． 其中正確結(jié)論的序號為________． ①②③　[由題意知，M∈PQ，N∈RQ，K∈RP， 從而點(diǎn)M，N，K∈平面PQR. 所以直線MN平面PQR，故①正確． 同理可得點(diǎn)M，N，K∈平面BCD. 從而點(diǎn)M，N，K在平面PQR與平面BCD的交線上，即點(diǎn)K在直線MN上，故②正確． 因為A?直線MN，從而點(diǎn)M，N，K，A四點(diǎn)共面，故③正確．] 4．如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面A

11、BCD是邊長為2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M為OA的中點(diǎn)． (1)求四棱錐O-ABCD的體積； (2)求異面直線OC與MD所成角的正切值． [解](1)由已知可求得正方形ABCD的面積S＝4，所以四棱錐O-ABCD的體積V＝×4×2＝. (2)如圖，連接AC，設(shè)線段AC的中點(diǎn)為E，連接ME，DE，又M為OA中點(diǎn)， ∴ME∥OC， 則∠EMD(或其補(bǔ)角)為異面直線OC與MD所成的角，由已知可得DE＝，EM＝，MD＝， ∵()2＋()2＝()2， 即DE2＋EM2＝MD2， ∴△DEM為直角三角形，且∠DEM＝90°， ∴tan∠EMD＝＝＝. ∴異面直線O

12、C與MD所成角的正切值為. 5．如圖，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與四邊形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BCAD，BEFA，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點(diǎn)． (1)求證：四邊形BCHG是平行四邊形； (2)C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)是否共面？為什么？ [解](1)證明：由題設(shè)知，F(xiàn)G＝GA，F(xiàn)H＝HD， 所以GHAD. 又BCAD， 故GHBC.所以四邊形BCHG是平行四邊形． (2)C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面．理由如下： 由BEFA，G是FA的中點(diǎn)知，BEGF， 所以EFBG. 由(1)知BG∥CH， 所以EF∥CH，故EC，F(xiàn)H共面． 又點(diǎn)

13、D在直線FH上， 所以C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面． 1．平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. A　[根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)，將m，n所成的角轉(zhuǎn)化為平面CB1D1與平面ABCD的交線及平面CB1D1與平面ABB1A1的交線所成的角． 設(shè)平面CB1D1∩平面ABCD＝m1.∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m. 又平面ABCD∥平面A1B1C1D1， 且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1， ∴B1D1∥m1.∴B1D

14、1∥m. ∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1，且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1，同理可證CD1∥n. 因此直線m與n所成的角即直線B1D1與CD1所成的角． 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形， 故直線B1D1與CD1所成角為60°，其正弦值為.] 2．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. C　[如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1的一側(cè)補(bǔ)上一個相同的長方體EFBA-E1F1B1A1.連接B1F，由長方體性質(zhì)可知，B1F∥AD1，所以∠DB1F為異面直線AD1與DB1所成的角或其補(bǔ)角． 連接DF，由題意，得DF＝＝， FB1＝＝2，DB1＝＝. 在△DFB1中，由余弦定理，得DF2＝FB＋DB－2FB1·DB1cos∠DB1F，即5＝4＋5－2×2××cos∠DB1F，∴cos∠DB1F＝.]