2019年高考數(shù)學(xué)練習(xí)題匯總2019屆高三數(shù)學(xué)專題練習(xí) 平行垂直關(guān)系的證明

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1、 2019屆高三數(shù)學(xué)專題練習(xí) 平行垂直關(guān)系的證明 1.平行關(guān)系的證明 例1:如圖,,,,分別是正方體的棱,,,的中點(diǎn). 求證: (1)平面; (2)平面平面. 2.垂直關(guān)系的證明 例2:如圖,在三棱柱中,側(cè)棱底面,為棱的中點(diǎn).,,. (1)求證:平面; (2)求證:平面; (3)在棱上是否存在點(diǎn),使得平面平面?如果存在,求此時(shí)的值;如果不存 在,請(qǐng)說明理由. 一、單選題 1.平面外有兩條直線和,如果和在平面內(nèi)的射影分別是和,給出下列四個(gè)命題: ①;②;③

2、與相交與相交或重合;④與平行與平行或重合;其中不正確的命題個(gè)數(shù)是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知、為兩條不同的直線,、為兩個(gè)不同的平面,則下列命題中正確的是( ) A.若,,且,則 B.若平面內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等,則 C.若,,則 D.若,,則 3.給出下列四種說法: ①若平面,直線,則; ②若直線,直線,直線,則; ③若平面,直線,則; ④若直線,,則.其中正確說法的個(gè)數(shù)為( ) A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè) 4.已知、為兩條不同的直線,、為兩個(gè)不同的平面,則下列命題中正確的有( ) (1),,,

3、 (2), (3),, (4), A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3 5.如圖,在正方體中,分別是的中點(diǎn),則下列命題正確的是( ) A. B. C. D. 6.已知是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,則下列命題正確的是( ) A.若垂直于同一平面,則平行 B.若平行于同一平面,則平行 C.若不平行,則在內(nèi)不存在與平行的直線 D.若不平行,則不可能垂直于同一平面 7.已知是兩條不重合的直線,,,是三個(gè)兩兩不重合的平面,給出下列四個(gè)命題: ①若,則; ②若,則; ③若,則; ④若是異面直線,,則.其中真命題是( ) A.①和② B.

4、①和③ C.③和④ D.①和④ 8.如圖,正方體的棱長為1,線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且;則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( ). A. B. C.三棱錐的體積為定值 D.的面積與的面積相等 9.如圖所示,是圓的直徑,垂直于圓所在的平面,點(diǎn)是圓周上不同于的任意一點(diǎn),分別為的中點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是( ) A. B.與所成的角為 C.平面 D.平面平面 10.如圖,在三棱柱中,側(cè)棱底面,底面三角形是正三角形,是中點(diǎn),則下列敘述正確的是( ) A.與是異面直線 B.平面 C.,為異面直線且 D.平面 11.設(shè)分別是正方體的棱上兩點(diǎn),且,給出下列四個(gè)命題:

5、 ①三棱錐的體積為定值;②異面直線與所成的角為;③平面;④直線與平面所成的角為.其中正確的命題為( ) A.①② B.②③ C.①②④ D.①④ 12.如下圖,梯形中,,,將沿對(duì)角線折起.設(shè)折起后點(diǎn)的位置為,并且平面平面.給出下面四個(gè)命題: ①;②三棱錐的體積為;③平面; ④平面平面.其中正確命題的序號(hào)是( ) A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 二、填空題 13.設(shè)是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,則下列命題正確的是________.(填序號(hào)) ①若,,則;②若,,則; ③若,,則;④若,,則. 14.一個(gè)正方體紙盒展開后如圖所示,在原正

6、方體紙盒中有如下結(jié)論 ①;②與所成的角為;③與是異面直線;④. 以上四個(gè)命題中,正確命題的序號(hào)是_________. 15.若四面體的三組對(duì)棱分別相等,即,給出下列結(jié)論: ①四面體每組對(duì)棱相互垂直; ②四面體每個(gè)面的面積相等; ③從四面體每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大而小于; ④連接四面體每組對(duì)棱中點(diǎn)的線段相互垂直平分. 其中正確結(jié)論的序號(hào)是__________.(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)) 16.如圖,一張矩形白紙,,,分別為的中點(diǎn),現(xiàn)分別將,沿折起,且在平面同側(cè),下列命題正確的是____________(寫出所有正確命題的序號(hào)). ①當(dāng)平面平面時(shí),平面 ②當(dāng)

7、平面平面時(shí), ③當(dāng)重合于點(diǎn)時(shí), ④當(dāng)重合于點(diǎn)時(shí),三棱錐的外接球的表面積為 三、解答題 17.如圖,四棱錐中,,,,為正三角形. 且. (1)證明:平面平面; (2)若點(diǎn)到底面的距離為2,是線段上一點(diǎn),且平面,求四面體的體積. 18.如圖,四邊形為正方形,平面,,,,. (1)求證:; (2)若點(diǎn)在線段上,且滿足,求證:平面; (3)求證:平面. 答案 1.平行關(guān)系的證明 例1:如圖,,,,分別是正方體的棱,,,的中點(diǎn). 求證: (1)平面; (2

8、)平面平面. 【答案】(1)見解析;(2)見解析. 【解析】證明(1)如圖,取的中點(diǎn),連接,, 因?yàn)?,所以,所以四邊形為平行四邊形,故? 因?yàn)槠矫?,平面,所以平面? (2)由題意可知.連接,, 因?yàn)?,所以四邊形是平行四邊形,? 又,,所以平面平面. 2.垂直關(guān)系的證明 例2:如圖,在三棱柱中,側(cè)棱底面,為棱的中點(diǎn).,,. (1)求證:平面; (2)求證:平面; (3)在棱上是否存在點(diǎn),使得平面平面?如果存在,求此時(shí)的值;如果不存在,請(qǐng)說明理由. 【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)存在,. 【解析】(1)證明:連接與,兩線交于點(diǎn),連接.

9、 在中,∵,分別為,的中點(diǎn),∴, 又∵平面,平面,∴平面. (2)證明:∵側(cè)棱底面,平面,∴, 又∵為棱的中點(diǎn),,∴. ∵,,平面,∴平面,∴ ∵,∴.又∵,∴在和中,, ∴, 即,∴ ∵,,平面,∴平面. (3)解:當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn),即時(shí),平面平面 證明如下: 設(shè)的中點(diǎn)為,連接,,∵,分別為,的中點(diǎn),∴, 且.又∵為的中點(diǎn),∴,且, ∴四邊形為平行四邊形,∴, ∵平面,∴平面.又∵平面, ∴平面平面. 一、單選題 1.平面外有兩條直線和,如果和在平面內(nèi)的射影分別是和,給出下列四個(gè)命題:①;②;③與相交與相交或重合;④與平行與平行或重合;

10、其中不正確的命題個(gè)數(shù)是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【解析】結(jié)合題意逐一分析所給的四個(gè)說法,在如圖所示的正方體中: 對(duì)于說法①:若取平面為,,分別為,,分別為, 滿足,但是不滿足,該說法錯(cuò)誤;對(duì)于說法②:若取平面為,,分別為,分別為,滿足,但是不滿足, 該說法錯(cuò)誤;對(duì)于說法③:若取平面為,,分別為,分別為, 滿足與相交,但是與異面,該說法錯(cuò)誤;對(duì)于說法④:若取平面為, 、分別為,、分別為,滿足與平行, 但是與異面,該說法錯(cuò)誤;綜上可得:不正確的命題個(gè)數(shù)是4.本題選擇D選項(xiàng). 2.已知、為兩條不同的直線,、為兩個(gè)不同的平面,則下列命題中正確

11、的是( ) A.若,,且,則 B.若平面內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等,則 C.若,,則 D.若,,則 【答案】D 【解析】對(duì)于選項(xiàng)A,若,,且,則l不一定垂直平面,∵有可能和平行, ∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤; 對(duì)于選項(xiàng)B,若平面內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等,則、可能相交或平行,∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤; 對(duì)于選項(xiàng)C,若,則有可能在平面內(nèi),∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤; 對(duì)于選項(xiàng)D,由于兩平行線中有一條垂直平面,則另一條也垂直平面,∴該選項(xiàng)正確,故答案為D. 3.給出下列四種說法: ①若平面,直線,則; ②若直線,直線,直線,則; ③若平面,直線,則; ④若直線,,則.其中正確說法的個(gè)數(shù)為(

12、 ) A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè) 【答案】D 【解析】若平面,直線,則可異面; 若直線,直線,直線,則可相交,此時(shí)平行兩平面的交線; 若直線,,則可相交,此時(shí)平行兩平面的交線; 若平面,直線,則無交點(diǎn),即;故選D. 4.已知、為兩條不同的直線,、為兩個(gè)不同的平面,則下列命題中正確的有( ) (1),,, (2), (3),,(4), A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3 【答案】B 【解析】由,,,,若相交,則可得,若,則與可能平行也可能相交,故(1)錯(cuò)誤; 若,根據(jù)線面垂直的第二判定定理可得,故(2)正確; 若,,,則或異面,故(3)

13、錯(cuò)誤; 若,,則或,故(4)錯(cuò)誤;故選B. 5.如圖,在正方體中,分別是的中點(diǎn),則下列命題正確的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A:和是異面直線,故選項(xiàng)不正確; B:和是異面直線,故選項(xiàng)不正確; C:記.∵正方體中,分別是的中點(diǎn), ∴,,∴為平行四邊形,∴, ∵平面,平面,∴平面. D:由C知,而面和面相交,故選項(xiàng)不正確;故選C. 6.已知是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,則下列命題正確的是( ) A.若垂直于同一平面,則平行 B.若平行于同一平面,則平行 C.若不平行,則在內(nèi)不存在與平行的直線 D.若不平行,則不

14、可能垂直于同一平面 【答案】D 【解析】垂直于同一平面的兩平面相交或平行,A不正確; 平行于同一平面的兩直線可相交、平行或異面,B不正確; 平面不平行即相交,在一個(gè)平面內(nèi)平行兩平面交線的直線與另一平面平行,C不正確; D為直線與平面垂直性質(zhì)定理的逆否命題,故D正確.故選D. 7.已知是兩條不重合的直線,,,是三個(gè)兩兩不重合的平面,給出下列四個(gè)命題: ①若,則; ②若,則; ③若,則; ④若是異面直線,,則.其中真命題是( ) A.①和② B.①和③ C.③和④ D.①和④ 【答案】D 【解析】逐一考查所給的命題: ①由線面垂直的性質(zhì)定理可得若,則,命題正確;

15、 ②如圖所示的正方體中,取平面分別為平面, 滿足,但是不滿足,命題錯(cuò)誤; ③如圖所示的正方體中,取平面分別為平面, 直線分別為,滿足,但是不滿足,命題錯(cuò)誤; ④若是異面直線,,由面面平行的性質(zhì)定理易知,命題正確; 綜上可得,真命題是①和④,本題選擇D選項(xiàng). 8.如圖,正方體的棱長為1,線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且;則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( ). A. B. C.三棱錐的體積為定值 D.的面積與的面積相等 【答案】D 【解析】在正方體中,平面, 而平面,故,故A正確. 又平面,因此平面,故B正確. 當(dāng)變化時(shí),三角形的面積不變,點(diǎn)到平面的距離就是到平面的距離,它是

16、一個(gè)定值,故三棱錐的體積為定值(此時(shí)可看成三棱錐的體積),故C正確. 在正方體中,點(diǎn)到的距離為,而到的距離為1,D是錯(cuò)誤的,故選D. 9.如圖所示,是圓的直徑,垂直于圓所在的平面,點(diǎn)是圓周上不同于的任意一點(diǎn),分別為的中點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是( ) A. B.與所成的角為 C.平面 D.平面平面 【答案】D 【解析】對(duì)于A項(xiàng),與異面,故A項(xiàng)錯(cuò); 對(duì)于B項(xiàng),可證平面,故,∴所成的角為,因此B項(xiàng)錯(cuò); 對(duì)于C項(xiàng),與不垂直,∴不可能垂直平面,故C項(xiàng)錯(cuò); 對(duì)于D項(xiàng),由于,平面,平面,∴, ∵,∴平面,平面,∴平面平面,故選D. 10.如圖,在三棱柱中,側(cè)棱底面,

17、底面三角形是正三角形,是中點(diǎn),則下列敘述正確的是( ) A.與是異面直線 B.平面 C.,為異面直線且 D.平面 【答案】C 【解析】對(duì)于A項(xiàng),與在同一個(gè)側(cè)面中,故不是異面直線,∴A錯(cuò); 對(duì)于B項(xiàng),由題意知,上底面是一個(gè)正三角形,故平面不可能,∴B錯(cuò); 對(duì)于C項(xiàng),∵,為在兩個(gè)平行平面中且不平行的兩條直線,故它們是異面直線,∴C正確; 對(duì)于D項(xiàng),∵所在的平面與平面相交,且與交線有公共點(diǎn), 故平面不正確,∴D項(xiàng)不正確;故選C. 11.設(shè)分別是正方體的棱上兩點(diǎn),且,給出下列四個(gè)命題: ①三棱錐的體積為定值;②異面直線與所成的角為;③平面;④直線與平面所成的角為.

18、其中正確的命題為( ) A.①② B.②③ C.①②④ D.①④ 【答案】A 【解析】由題意得,如圖所示, ①中,三棱錐的體積的為,∴體積為定值; ②中,在正方體中,,∴異面直線與所成的角就是直線與所成的角, 即,∴這正確的; ③中,由②可知,直線與不垂直,∴面不成立,∴是錯(cuò)誤的; ④中,根據(jù)斜線與平面所成的角,可知與平面所成的角,即為,∴不正確. 12.如下圖,梯形中,,,將沿對(duì)角線折起.設(shè)折起后點(diǎn)的位置為,并且平面平面.給出下面四個(gè)命題: ①;②三棱錐的體積為;③平面; ④平面平面.其中正確命題的序號(hào)是( ) A.①② B.③④ C.

19、①③ D.②④ 【答案】B 【解析】①∵,∴, ∵,∴, ∵平面平面,且平面平面,∴平面, ∵平面,∴,故不成立,故①錯(cuò)誤; ②棱錐的體積為,故②錯(cuò)誤; ③由①知平面,故③正確; ④由①知平面,又∵平面,∴, 又,且、平面,, ∴平面,又平面, ∴平面平面,故④正確.故選B. 二、填空題 13.設(shè)是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,則下列命題正確的是________.(填序號(hào)) ①若,,則;②若,,則; ③若,,則;④若,,則. 【答案】③ 【解析】,,則,與可能相交也可能異面,∴①不正確; ,,則,還有與可能相交,∴②不正確; ,,則,滿足直線與平面

20、垂直的性質(zhì)定理,故③正確; ,,則,也可能,也可能,∴④不正確; 故答案為③. 14.一個(gè)正方體紙盒展開后如圖所示,在原正方體紙盒中有如下結(jié)論 ①;②與所成的角為;③與是異面直線;④. 以上四個(gè)命題中,正確命題的序號(hào)是_________. 【答案】①③ 【解析】把正方體的平面展開圖還原成原來的正方體,如圖: 則,與異面,,只有①③正確.故答案為①③. 15.若四面體的三組對(duì)棱分別相等,即,給出下列結(jié)論: ①四面體每組對(duì)棱相互垂直; ②四面體每個(gè)面的面積相等; ③從四面體每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大而小于; ④連接四面體每組對(duì)棱中點(diǎn)的線段相互垂直平分.

21、 其中正確結(jié)論的序號(hào)是__________.(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)) 【答案】②④ 【解析】①將四面體的三組對(duì)棱分別看作平行六面體的對(duì)角線,由于三組對(duì)棱分別相等, ∴平行六面體為長方體. 由于長方體的各面不一定為正方形,∴同一面上的面對(duì)角線不一定垂直,從而每組對(duì)棱不一定相互垂直.①錯(cuò)誤; ②四面體的每個(gè)面是全等的三角形,面積是相等的.②正確; ③由②,四面體的每個(gè)面是全等的三角形,從四面體每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角能夠等量代換為同一個(gè)三角形內(nèi)的三個(gè)內(nèi)角,它們之和為.③錯(cuò)誤; ④連接四面體每組對(duì)棱中點(diǎn)構(gòu)成菱形,線段互垂直平分④正確,故答案為②④. 16.如圖,一張矩

22、形白紙,,,分別為的中點(diǎn),現(xiàn)分別將,沿折起,且在平面同側(cè),下列命題正確的是____________(寫出所有正確命題的序號(hào)). ①當(dāng)平面平面時(shí),平面 ②當(dāng)平面平面時(shí), ③當(dāng)重合于點(diǎn)時(shí), ④當(dāng)重合于點(diǎn)時(shí),三棱錐的外接球的表面積為 【答案】①④ 【解析】在中,,在中,, ∴,由題意,將沿折起, 且在平面同側(cè), 此時(shí)四點(diǎn)在同一平面內(nèi),平面平面, 平面平面,當(dāng)平面平面時(shí),得到, 顯然,∴四邊形是平行四邊形,∴, 進(jìn)而得到平面,∴①正確的; 由于折疊后,直線與直線為異面直線,∴與不平行,∴②錯(cuò)誤的; 折疊后,可得,,其中,, ∴和不垂直,∴③不正確; 當(dāng)重合于點(diǎn)時(shí)

23、,在三棱錐中,和均為直角三角形, ∴為外接球的直徑,即, 則三棱錐的外接球的表面積為,∴④是正確, 綜上正確命題的序號(hào)為①④. 三、解答題 17.如圖,四棱錐中,,,,為正三角形. 且. (1)證明:平面平面; (2)若點(diǎn)到底面的距離為2,是線段上一點(diǎn),且平面,求四面體的體積. 【答案】(1)見解析;(2). 【解析】(1)證明:∵,且,∴, 又為正三角形,∴,又∵,,∴, 又∵,,∴,, ∴平面,又∵平面, ∴平面平面. (2)如圖,連接,交于點(diǎn),∵, 且,∴,連接, ∵平面,∴,則, 由(1)點(diǎn)到平面的距離為2, ∴點(diǎn)到平面的距離為, ∴, 即四面體的體積為. 18.如圖,四邊形為正方形,平面,,,,. (1)求證:; (2)若點(diǎn)在線段上,且滿足,求證:平面; (3)求證:平面. 【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)見解析. 【解析】(1)∵,∴與確定平面, ∵平面,∴.由已知得且, ∴平面.又平面,∴. (2)過作,垂足為,連接,則. 又,∴.又且, ∴且,∴四邊形為平行四邊形,∴. 又平面,平面,∴平面. (3)由(1)可知,. 在四邊形中,,,,, ∴,則. 設(shè),∵, 故,則,即. 又∵,∴平面.

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