新編高中數(shù)學(xué)人教版A版必修一學(xué)案：第一單元 1.2.2 第2課時(shí) 分段函數(shù)及映射 含答案

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1、新編人教版精品教學(xué)資料 第2課時(shí)　分段函數(shù)及映射 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.理解分段函數(shù)的定義，并能解決簡(jiǎn)單的分段函數(shù)問題(重點(diǎn)).2.了解映射的概念以及它與函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別(難點(diǎn))． 預(yù)習(xí)教材P21－P22，完成下面問題： 知識(shí)點(diǎn)1　分段函數(shù) 分段函數(shù)的定義： (1)前提：在函數(shù)的定義域內(nèi)； (2)條件：在自變量x的不同取值范圍內(nèi)，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系； (3)結(jié)論：這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù)． 【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】 已知函數(shù)f(x)＝，則f＝________，f＝________. 解析　由題意得f＝2×－3＝－2，f＝f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1. 答案　－2?。? 知識(shí)點(diǎn)

2、2　映射 映射的定義： 【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】　(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)函數(shù)是特殊的映射．(　　) (2)在映射的定義中，對(duì)于集合B中的任意一個(gè)元素在集合A中都有一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)．(　　) (3)按照一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從集合A到集合B的映射與從集合B到集合A的映射是同一個(gè)映射．(　　) 提示　(1)√　根據(jù)映射的定義，當(dāng)映射中的集合是非空數(shù)集時(shí)，該映射就是函數(shù)，否則不是函數(shù)； (2)×　映射可以是“多對(duì)一”，但不可以是“一對(duì)多”； (3)×　從集合A到集合B的映射與從集合B到集合A的映射不是同一個(gè)映射． 題型一　映射的概念及應(yīng)用 【例1】　(1)下列對(duì)應(yīng)是集合

3、A到集合B上的映射的是(　　) A．A＝N*，B＝N*，f：x→|x－3| B．A＝N*，B＝{－1,1，－2}，f：x→(－1)x C．A＝Z，B＝Q，f：x→ D．A＝N*，B＝R，f：x→x的平方根 (2)已知映射f：A→B，在f的作用下，A中的元素(x，y)對(duì)應(yīng)到B中的元素(3x－2y＋1,4x＋3y－1)，求： ①A中元素(－1,2)在f作用下與之對(duì)應(yīng)的B中的元素． ②在映射f作用下，B中元素(1,1)對(duì)應(yīng)A中的元素． (1)解析　對(duì)于選項(xiàng)A，由于A中的元素3在對(duì)應(yīng)關(guān)系f的作用下與3的差的絕對(duì)值在B中找不到象，所以不是映射；對(duì)于選項(xiàng)B，對(duì)任意的正整數(shù)x，在集合B中有唯

4、一的1或－1與之對(duì)應(yīng)，符合映射的定義；對(duì)于選項(xiàng)C,0在f下無意義，所以不是映射；對(duì)于選項(xiàng)D，正整數(shù)在實(shí)數(shù)集R中有兩個(gè)平方根(互為相反數(shù))與之對(duì)應(yīng)，不滿足映射的定義，故該對(duì)應(yīng)不是映射． 答案　B (2)解　①由題意可知當(dāng)x＝－1，y＝2時(shí)，3x－2y＋1＝3×(－1)－2×2＋1＝－6， 4x＋3y－1＝4×(－1)＋3×2－1＝1，故A中元素(－1,2)在f的作用下與之對(duì)應(yīng)的B中的元素是(－6,1)． ②設(shè)在映射f作用下，B中元素(1,1)對(duì)應(yīng)A中的元素為(x，y)， 則解之得，即A中的元素為. 規(guī)律方法　1.判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)是不是映射的兩個(gè)關(guān)鍵 (1)對(duì)于A中的任意一個(gè)元素，在B中

5、是否有元素與之對(duì)應(yīng)． (2)B中的對(duì)應(yīng)元素是不是唯一的． 2．求對(duì)應(yīng)元素的兩種類型及處理思路(映射f：A→B) (1)若已知A中的元素a，求B中與之對(duì)應(yīng)的元素b，這時(shí)只要將元素a代入對(duì)應(yīng)關(guān)系f求解即可． (2)若已知B中的元素b，求A中與之對(duì)應(yīng)的元素a，這時(shí)構(gòu)造方程(組)進(jìn)行求解即可，需注意解得的結(jié)果可能有多個(gè)． 【訓(xùn)練1】　下列各個(gè)對(duì)應(yīng)中，構(gòu)成映射的是(　　) 解析　對(duì)于A，集合M中元素2在集合N中無元素與之對(duì)應(yīng)，對(duì)于C，D，均有M中的一個(gè)元素與集合N中的兩個(gè)元素對(duì)應(yīng)，不符合映射的定義，故選B． 答案　B 典例遷移 　題型二　分段函數(shù)求值問題 【例2】　已知函數(shù)f(x

6、)＝求f(－5)，f(1)，f. 解　由－5∈(－∞，－2]，1∈(－2,2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4， f(1)＝3×1＋5＝8，f＝f＝f＝3×＋5＝. 【遷移1】　(變換所求)例2條件不變，若f(a)＝3，求實(shí)數(shù)a的值． 解　當(dāng)a≤－2時(shí)，f(a)＝a＋1＝3，即a＝2>－2，不合題意，舍去； 當(dāng)－22x，求

7、x的取值范圍． 解　當(dāng)x≤－2時(shí)，f(x)>2x可化為x＋1>2x，即x<1，所以x≤－2； 當(dāng)－22x可化為3x＋5>2x，即x>－5，所以－22x可化為2x－1>2x，則x∈?. 綜上可得，x的取值范圍是{x|x<2}． 規(guī)律方法　1.求分段函數(shù)函數(shù)值的方法 (1)先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間． (2)然后代入該段的解析式求值，直到求出值為止．當(dāng)出現(xiàn)f(f(x0))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值． 2．由分段函數(shù)的函數(shù)值求自變量的方法 已知分段函數(shù)的函數(shù)值求對(duì)應(yīng)的自變量的值，可分段利用函數(shù)解析式求得自變量的值，但

8、應(yīng)注意檢驗(yàn)函數(shù)解析式的適用范圍，也可先判斷每一段上的函數(shù)值的范圍，確定解析式再求解． 【訓(xùn)練2】　函數(shù)f(x)＝若f(x0)＝8，則x0＝________. 解析　當(dāng)x0≤2時(shí)，f(x0)＝x＋2＝8，即x＝6， ∴x0＝－或x0＝(舍去)． 當(dāng)x0>2時(shí)，f(x0)＝2x0＝8，∴x0＝4. 綜上，x0＝－或x0＝4. 答案?。? 題型三　分段函數(shù)的圖象及應(yīng)用 【例3】　(1)已知f(x)的圖象如圖所示，則f(x)的解析式為________． (2)已知函數(shù)f(x)＝1＋(－2

9、函數(shù)f(x)的值域． (1)解析　當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝－1； 當(dāng)1

10、據(jù)圖象中的已知點(diǎn)，列出方程或方程組，求出該段內(nèi)的解析式． (4)下結(jié)論：最后用“{”表示出各段解析式，注意自變量的取值范圍． 2．作分段函數(shù)圖象的注意點(diǎn) 作分段函數(shù)的圖象時(shí)，定義域分界點(diǎn)處的函數(shù)取值情況決定著圖象在分界點(diǎn)處的斷開或連接，特別注意端點(diǎn)處是實(shí)心點(diǎn)還是空心點(diǎn)． 【訓(xùn)練3】　已知f(x)＝ (1)畫出f(x)的圖象； (2)求f(x)的值域． 解　 (1)利用描點(diǎn)法，作出f(x)的圖象，如圖所示． (2)由條件知，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽. 由圖象知，當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，f(x)＝x2的值域?yàn)閇0,1]， 當(dāng)x＞1或x＜－1時(shí)，f(x)＝1，所以f(x)的值域?yàn)閇

11、0,1]． 課堂達(dá)標(biāo) 1．已知函數(shù)f(x)＝則f(0)＝(　　) A．2　　　 B．　　　 C．1　　 D．0 解析　因?yàn)?∈(－∞，2)，所以f(0)＝＝1. 答案　C 2．下列圖形是函數(shù)y＝x|x|的圖象的是(　　) 解析　y＝故選D． 答案　D 3．如圖中所示的對(duì)應(yīng)： 其中構(gòu)成映射的個(gè)數(shù)為(　　) A．3　　　 B．4 C．5　　 D．6 解析　由映射的定義知①②③是映射． 答案　A 4．設(shè)函數(shù)f(x)＝，若f(a)＝4，則實(shí)數(shù)a＝________. 解析　當(dāng)a≤0時(shí)，f(a)＝－a＝4，即a＝－4；當(dāng)a>0時(shí)，f(a)＝a2＝4，a＝2(a＝－

12、2舍去)，故a＝－4或a＝2. 答案?。?或2 5．作出y＝的圖象，并求y的值域． 解　y＝　值域?yàn)閥∈[－7,7]． 圖象如右圖． 課堂小結(jié) 1．對(duì)分段函數(shù)的理解 (1)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)而非幾個(gè)函數(shù)． 分段函數(shù)的定義域是各段上“定義域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集． (2)分段函數(shù)的圖象應(yīng)分段來作，特別注意各段的自變量取值區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)的取值情況，以決定這些點(diǎn)的虛實(shí)情況． 2．函數(shù)與映射的關(guān)系 映射f：A→B，其中A、B是兩個(gè)“非空集合”，而函數(shù)y＝f(x)，x∈A為“非空的實(shí)數(shù)集”，其值域也是實(shí)數(shù)集．于是，函數(shù)是數(shù)集到數(shù)集的映射． 由此可知，映射是函數(shù)的推廣，函數(shù)是一種特殊的映射．